李善蘭之尖錐五率截積及無窮級數(shù)說(4)

上傳書齋：瀟湘館112

何世強  Ho Sai Keung

提要：清?李善蘭著《則古昔齋算十三種》，第三種為〈對數(shù)探源〉，其中亦提及尖錐形及對數(shù)，本文主要談及尖錐形由連比例五率所截之面積之探索。李善蘭又以一尖錐截線表一無窮級數(shù)。

關(guān)鍵詞：連比例  五率  尖錐  自然對數(shù)

第 1 節(jié)  李善蘭略傳

李善蘭（1810年－1882年）原名李心蘭，字竟芳，字壬叔，號秋紉，生于清嘉慶十五年（1810年）一月二日，浙江海寧縣硤石鎮(zhèn)人。據(jù)《則古昔齋算十三種》﹝簡稱《十三種》﹞自序，十歲時即通《九章算術(shù)》。道光二十五年（1845年）著《四元解》二卷。從此致力鉆研天文、歷法與算學(xué)，成為清代之著名數(shù)學(xué)家。

《十三種》第三種為〈對數(shù)探源〉，本文取材自此卷。

第 2 節(jié)  尖錐圖與連比例

筆者已有文名為〈李善蘭《十三種》之尖錐說與對數(shù) (1)〉、〈李善蘭《十三種》之尖錐全積與殘積說 (2)〉及〈李善蘭《十三種》之尖錐比例四率截積說 (3)〉，本文乃以上三文之延續(xù)及補充。

本文涉及李善蘭之〈對數(shù)尖錐圖〉之定理，現(xiàn)代數(shù)學(xué)亦少論及。

以下為《十三種》之〈對數(shù)尖錐圖〉：

上圖之甲為長方形，其他為尖錐形，包括乙之直角三角形。今設(shè)長方形之長為 k ，子丑闊為b，其他尖錐之底亦為 b。

《十三種》尚有以下之結(jié)論。《十三種》曰：

若于其直線上作連比例諸率，各如其線截之，則逐層前率截積與后率截之較，其積皆同也。

如圖作連比例五率，戊子為首率，戊子丑癸為首率截積，丁子為二率，丁子丑壬為二率截積，丙子為三率，丙子丑辛為三率截積，乙子為四率，乙子丑庚為四率截積，甲子為五率，甲子丑己為五率截積。丁戊癸壬為首率、二率兩截積之較，丙丁壬辛為二率、三率兩截積之較，乙丙辛庚為三率、四率兩載稍之較，甲乙庚己為四率、五率兩截積之較，此四較之積必同也。

以下為〈連比例五率尖錐圖〉：

引文文意指在OK 在線作連比例五率之線段，在各點上作橫線與右方曲線相交形成“截積”﹝所截之面積﹞。從下至上，以上線至底為前積，以下線至底為后積，依次以前積減以后積﹝以前者為被減數(shù)﹞，所得之差皆相等。

從上圖可知，戊子丑癸 EKML為首率截積，丁子丑壬 DKMJ為二率截積，丙子丑辛 CKMH為三率截積，乙子丑庚 BKMG為四率截積，甲子丑己 AKMF為五率截積。

化上圖為直角坐標系統(tǒng)，是為〈連比例五率尖錐橫圖〉：

以下為各點在 X 軸之坐標：

 A：，B：，C：，D：，E：，K：k。

以下為各“率”之長：

一率EK = k –，  二率DK = k –，  三率DB = k –，  四率BK = k –，

五率AK = k –。一率又稱為“首率”。

今先闡釋何謂“連比例五率”，即有五數(shù)稱為五率：一率、二率、三率、四率、五率。其相連比例之關(guān)系便是： = = = 。

將以上之五率代入可得以下等式：

 =  =  =

即 =  =  = ，今設(shè)各分數(shù)均等于 r ﹝五連比例等式﹞。

丁戊癸壬 DELJ為首率、二率兩截積之較，丙丁壬辛 CDJH為二率、三率兩截積之較，乙丙辛庚 BCHG為三率、四率兩載之較，甲乙庚己 ABGF為四率、五率兩截積之較。

DKMJ – EKML = DELJ 今先算出丁戊癸壬 DELJ

= = = – ln (k –) + ln (k –)

= ln= ln 。

同様情況可知﹝不列出算式﹞：

CKMH – DKMJ = CDJH丙丁壬辛，即 CDJH = = ln 。

BKMG – CKMH = BCHG乙丙辛庚，即BCHG = = ln 。

AKMF – BKMG = ABGF甲乙庚己，即ABGF = = ln 。

從前述之連比例式可知，以上各數(shù)除去自然對數(shù)之符號后，各數(shù)均相等。

即 =  =  =  = ，見前之五連比例等式。

以上之五連比例可擴展至六連、七連、……n連比例。此情況即《十三種》所云：“若于其直線上作連比例諸率，各如其線截之，則逐層前率截積與后率截之較，其積皆同也。”

附帶一提，筆者有文提及“比例四率”，以下為“比例四率”之形式：

一率：二率 = 三率：四率。或?qū)懗?/span>  =  ----------- (1)

其實“比例四率”一樣可以寫成以下之方式：

 = =  --------------------------------------------------- (2)

(2) 式與上文之連比例五率相類。如果 (2) 式略去中央之部分，即可得 (1) 式。又若果 (1) 式成立即：

=，即 ad = bc，左右方除以 c² 得：=，

左方 = × = × = ，

即若 (1) 成立，即 =，則 (2) 式 =  = 亦成立，此即“四連比例”或“比例四率”。

第 3 節(jié)  尖錐圖之直與橫比例

李善蘭之“無窮連比例”類似現(xiàn)代之遞減幾何級數(shù)。在尖錐圖上畫平行底部之橫線，由各曲線截成之截線成遞減幾何級數(shù)，在任何處作橫線所成之截線皆成立﹝底部除外﹞。

《十三種》曰：

此合尖錐之底為無窮比例，此合尖錐上任于何處作截線，其截線亦為無窮連比例。

以上乃尖錐圖之重要定理。以下為〈五尖錐縱橫比例圖〉，其點以天干地支及二十八宿命名。其左方是一長方形。以乙丙為底者乃直角三角形，但亦視作尖錐之一種。

以下之角、亢、氐、房、心、尾、箕、斗、牛、女、危、室乃二十八宿。

為方便起見，今將各點配以英文字母如上圖所示。

注意以下之比例：

因為 A’A室甲：A’A 室甲= 1：1，所以各尖錐底之比例為：

則 甲乙：乙丙 = 乙丙：丙丁 = 丙丁：丁戊 = 丁戊：戊己 = 戊己：己庚= 1：1。

寫成連續(xù)比例式：

AB：BC：CD：DE：EF：FG = 1：1：1：1：1：1，是為一與一比例之五尖錐。

若以上之圖非五尖錐，而是無窮尖錐，而各尖錐之底亦為 1，是為一與一比例之無窮尖錐。

《十三種》又以以下之例以說明此種比例法：

若取室辛線為室甲全線一百分之九十九，于辛點上作辛亥截線，則辛壬與壬癸、壬癸與癸子、癸子與子丑、子丑與丑寅、丑寅與寅亥，此六截線皆如一百與九十九之比例。此外無窮尖錐上之截線，亦必如一百與九十九之比例，是為一百與九十九之比例連之無窮也。

以上引文指若 A’A室甲：A’H 室辛 = 100：99，

則 辛壬：壬癸 = 壬癸：癸子 = 癸子：子丑 = 子丑：丑寅 = 丑寅：寅亥= 100：99。

即 HI：IJ = IJ：JK = JK：KL = KL：LM = LM：MU = 100：99。

寫成連續(xù)比例式：

HI：IJ ：JK ：KL ：LM ：MU

= 100：100()：100()²：100()³：100()⁵：100()⁶

上述是一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 100，公比為 0.99，末項為 95.099005。

無窮尖錐上之截線，其相關(guān)長度可表達一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 100，公比為 0.99。

《十三種》曰：

若取室卯線為全線八分之七，于卯點作截線，則卯辰與辰巳、辰已與巳未、已未與未申、未申與申酉、申酉與酉戌，皆如八與七之比例。此外無窮尖錐之截線亦必如八與七之比例，是為八與七之比例連之無窮也。

以上引文指若 A’A室甲：A’N 室卯 = 8：7，

則 卯辰：辰巳 = 辰已：巳未= 已未：未申 = 未申：申酉 = 申酉：酉戌 = 8：7，

即 NO：OP = OP：PQ = PQ：QR = QR：RS = RS：ST = 8：7。

寫成連續(xù)比例式：

NO：OP ：PQ：QR：RS：ST = 8：8()：8()²：8()³：8()⁴：8()⁵

上述是一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 8，公比為 ，末項為 4.103271。

無窮尖錐上之截線，其相關(guān)長度可表達一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 8，公比為。

又曰：

又或取室角線為全線四分之三，于角點作線截之，則角亢與亢氐、亢氐與氐房，皆如四與三之比例，是為四與三之比例連之無窮也。

以上引文指若 A’A室甲：A’V 室角 = 4：3，

則 角亢：亢氐 = 亢氐：氐房  …  = 4：3，

即 VW：WX = WX：XY  … = 4：3。

寫成連續(xù)比例式：4：3 ：：：：。

上述是一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 4，公比為 ，末項為 。

無窮尖錐上之截線，其相關(guān)長度可表達一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 4，公比為。

又曰：

又或取室心線為全線二分之一，于心點作線截之，則心尾與尾箕、尾箕與箕斗皆如二與一之比例，連之無窮也。

以上引文指若 A’A室甲：A’Z 室心 = 2：1，

則 心尾：尾箕 = 尾箕：箕斗  …  = 2：1，

即 ZC’：C’D’ = C’D’：D’E’  … = 2：1。

寫成連續(xù)比例式：2：1 ：：：：。

上述是一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 2，公比為 ，末項為 。

無窮尖錐上之截線，其相關(guān)長度可表達一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 2，公比為。

又曰：

又或取室牛線為全線二十分之三，則牛女與女危即如二十與三之比例，是二十與三之比例，連之無窮也。

牛之右方為女F’，女之右方為危G’。

以上引文指若 A’A室甲：A’Z 室牛 = 20：3，

則 牛女：女危  …  = 20：3，

即 BF’：F’G’  … = 20：3。

寫成連續(xù)比例式：20：3 ：：：：

上述是一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 20，公比為 ，末項為 。

無窮尖錐上之截線，其相關(guān)長度可表達一組遞減幾何級數(shù)，以首項為 20，公比為。

注意以上之級數(shù)皆為收斂之級數(shù)。

《十三種》曰：

凡連比例后率與前率之比，即如所取線與全線之比也。

注意以下之圖，李善蘭之說可闡釋如下：

今設(shè) OB = CF = 前率，OA = 全線 ，OF = 所取線，CP = 后率，所說之比即：

 =

從以上之比例說可知，從長方形之右上角畫曲線至其底部，則所形成之曲線唯一，即尖錐圖所形成之尖錐唯一。

依照以上之說法，曲線 1 至 5 可另作定義于后。

今設(shè) OB = 1，OA = a ，OF = x，FP = y，CP = y – 1，因為：

 =  ，所以  = ，所以 曲線 1 ﹝見前之〈五尖錐縱橫比例圖〉﹞方程為 y = 1 + ，依以上之理論容易可知：

曲線 2 方程為 y = 1 +  + ，

曲線 3 方程為 y = 1 +  +  + ，

曲線 4 方程為 y = 1 +  +  +  + ，

曲線 5 方程為 y = 1 +  +  +  +  + ，

……

曲線n 方程為 y = 1 +  +  +  …+ 。

以上之  = ，  =  = ，所以
 =  成立。此乃李善蘭以尖錐截線表一無窮級數(shù)之法。

以上各式右方是為一遞減級數(shù)，所以 < 1。

若 lim n → ∞  y =  = ，見上圖。

以下為原文：