之前的兩章中，矩陣是在矩陣方程中出現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)我們理解它的意義為「對(duì)向量的一種封裝」，也就是一種「數(shù)據(jù)」的形式理解矩陣的。這一章，我們引入矩陣的另一層意義：線性變換。

一、變換

假如有如 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf$Ax=b 形式的方程：

$\begin{bmatrix} 4 & -3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$[42??30?15?31?]?????1111??????=[58?]

以往我們都是將其看成是幾個(gè)列向量的線性組合，即$1\begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix} 1\begin{bmatrix}-3 \\ 0\end{bmatrix} 1\begin{bmatrix}1 \\ 5\end{bmatrix} 1\begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$1[42?] 1[?30?] 1[15?] 1[31?]=[58?]，這次我們換個(gè)角度，把 $\mathbf{A}$A 看作一個(gè)整體，整個(gè)方程就是一個(gè) 4 維向量 $\mathbf{x}$x 乘以矩陣 $\mathbf{A}$A 后得到一個(gè) 2 維向量 $\mathbf$b。 以這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看的話，矩陣 $\mathbf{A}$A 就相當(dāng)于一個(gè)從一個(gè)向量集映射到另一個(gè)向量集的函數(shù)！。

假設(shè) $\mathbf{x}$x 是 $n$n 維向量，$\mathbf$b 是 $m$m 維向量，則 $\mathbf{A}$A 就是一個(gè) $R^n$Rn 到 $R^m$Rm 的變換。這個(gè)變換的定義域是 $R^n$Rn，上域是 $R^m$Rm，記作 $T: R^n \rightarrow R^m$T:Rn→Rm。$\mathbf{x}$x 是 $R^n$Rn 空間中的一個(gè)向量，$T(\mathbf{x})$T(x) 就是其變換到 $R^m$Rm 空間中的像，而全體像 $T(\mathbf{x})$T(x) 的集合就稱為變換 $T$T 的值域。圖示如下：

從這種觀點(diǎn)來(lái)看，矩陣就是一個(gè)函數(shù)：$\mathbf{x}\mapsto\mathbf{A}{x}$x?Ax！矩陣既可看作是數(shù)據(jù)的表示，又可看作是表示變換的函數(shù)，這不禁讓我聯(lián)想起了 lisp 里的「同像性」，也就是「代碼即數(shù)據(jù)」。我不知道他們之間有沒(méi)有更深一層的聯(lián)系，不過(guò)從這一層面再來(lái)看矩陣，感覺(jué)又多了一層趣味……

除此之外，以動(dòng)態(tài)的眼光來(lái)看待矩陣，也有助于我們理解為什么一些隨時(shí)間變化的系統(tǒng)可以用線性代數(shù)來(lái)建模。比如馬爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移矩陣，就是用靜態(tài)的矩陣來(lái)表示一個(gè)變換的過(guò)程。

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變換 $T$T 為 $\mathbf{x}\mapsto\mathbf{A}\mathbf{x}$x?Ax ，向量 $\mathbf{x}$x 若有 n 維，則變換的定義域就是 $R^n$Rn，$\mathbf{A}$A 就有 n 列；向量 $\mathbf$b 若有 m 維，則變換的上域就是 $R^m$Rm，$\mathbf{A}$A 就有 m 行（$\mathbf{A}$A 每一列有 m 個(gè)元素）。而變換的值域就是 $\mathbf{A}$A 中列的所有線性組合組成的集合。

也就是說(shuō)，像 $\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix}$???13?1??357????這樣的矩陣，所表達(dá)的變換就是一個(gè)二維到三維的映射 $T:R^2\rightarrow R^3$T:R2→R3。

再例如，矩陣$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$???100?010?000???? 所表達(dá)的變換就是一個(gè)投影：把 $R^3$R3 中的點(diǎn)投影到 $x_1 x_2$x1?x2?平面，因?yàn)椋?/p>

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix}$???100?010?000???????x1?x2?x3?????=???x1?x2?0????

二、線性變換

線性變換是一類滿足線性條件的變換。所謂的線性條件就是：

$T(\mathbf{u} \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) T(\mathbf{v}) \\ \text{和}\\ T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$T(u v)=T(u) T(v)和T(cu)=cT(u)

注意到，向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算在變換前和變換后的效果是一樣的，也就是所謂的線性變換保持了向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算。

我們假設(shè)有一個(gè)二維向量 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \end{bmatrix}= x_1 \mathbf{e}_1 x_2 \mathbf{e}_2$x=[x1?x2??]=x1?e1? x2?e2?，其中 $\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}, \mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}$e1?=[10?],e2?=[01?] 是 2$\times$× 2 單位矩陣 $\mathbf{I}_n$In? 的列向量。由于線性變換保持加法和數(shù)乘運(yùn)算，所以

$T(\mathbf{x})=x_1 T(\mathbf{e}_1) x_2 T(\mathbf{e}_2) = \begin{bmatrix}T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \mathbf{A}\mathbf{x}$T(x)=x1?T(e1?) x2?T(e2?)=[T(e1?)?T(e2?)?][x1?x2??]=Ax

這也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)線性變換$T: R^n \rightarrow R^m$T:Rn→Rm，都有唯一一個(gè)矩陣 $\mathbf{A}$A，使得 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$T(x)=Ax，其中 $\mathbf{A} = [ T(\mathbf{e}_1) \cdots T(\mathbf{e}_1) ]$A=[T(e1?)?T(e1?)]。$\mathbf{A}$A 被稱為是線性變換 $T$T 的標(biāo)準(zhǔn)矩陣。

總結(jié)一下，線性變換是滿足線性條件的變換，所謂線性條件就要求變換前后的加法和數(shù)乘運(yùn)算不變（變換前 a b 等于 c，則變換后 a’ b’ 也等于 c’）。 線性變換有兩種描述形式：$T:R^n \rightarrow R^m$T:Rn→Rm 和 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}$x?Ax，后者也被稱為矩陣變換

線性變換強(qiáng)調(diào)它作為映射的性質(zhì)，而矩陣變換則描述了映射是怎樣實(shí)現(xiàn)的。

三、幾何中的線性變換

借助上面線性變換的性質(zhì)，我們就很容易理解圖形學(xué)中一些專門用于變換的矩陣了，比如 2 維平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣：

$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}$A=[cosφsinφ??sinφcosφ?]

把它的列向量拆開(kāi)，就是 $T(\mathbf{e}_1) = \begin{bmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi \end{bmatrix}$T(e1?)=[cosφsinφ?]，$T(\mathbf{e}_2) = \begin{bmatrix}-\sin\varphi \\ \cos\varphi \end{bmatrix}$T(e2?)=[?sinφcosφ?]也就是 $\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}$[10?] 旋轉(zhuǎn)到 $\begin{bmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi\end{bmatrix}$[cosφsinφ?] ，$\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}$[01?] 旋轉(zhuǎn)到 $\begin{bmatrix}-\sin\varphi \\ \cos\varphi\end{bmatrix}$[?sinφcosφ?] 。

旋轉(zhuǎn)變換如下圖所示：

四、存在性和唯一性問(wèn)題

有了線性變換的概念，我們?cè)賮?lái)回顧之前兩章討論的解的存在性和唯一性的問(wèn)題。

4.1 解的存在性

非線性方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf$Ax=b 可以看做是一個(gè) $\mathbf{x}$x 所在空間到 $\mathbf$b 所在空間的映射。
對(duì)映射 $T=R^n\rightarrow R^m$T=Rn→Rm ，如果 $R^n$Rn 中任意向量 $\mathbf$b 都是 $R^n$Rn 中至少一個(gè) $\mathbf{x}$x 的像，則稱 $T$T 是 $R^n$Rn 到 $R^m$Rm 上的映射（或叫滿射），這時(shí)，非線性方程組對(duì)于任意的 $ \mathbf $ 都有解。反過(guò)來(lái)，如果存在 $\mathbf$b 使得非線性方程組無(wú)解，那么 $T$T 就不是 $R^n$Rn 到 $R^m$Rm 上的滿射。它們的幾何表示如下圖所示：

4.2 解的唯一性

如果任意的 $\mathbf\in R^m$b∈Rm 都是 $R^n$Rn 中最多一個(gè)向量 $\mathbf{x}$x 的像，那么就稱 $T$T 是一對(duì)一映射。

一對(duì)一映射也就是非線性方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf$Ax=b 對(duì)任意 $\mathbf$b 要么無(wú)解，要么有唯一解。也就是說(shuō)，當(dāng) 方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf$Ax=b 有無(wú)窮多解時(shí)（即方程含有自由變量，即不滿秩，即各列線性相關(guān)） ，$T$T 就不是一對(duì)一映射，這時(shí)齊次方程組 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$Ax=0 只有平凡解。

參考文獻(xiàn):

• 線性代數(shù)及其應(yīng)用：第3版/（美）萊（Lay, D.C.）著；沈復(fù)興等譯. ——北京：人民郵電出版社，2007.7

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