對(duì)于一些無定形高聚物（Amorphous Polymers），其力學(xué)響應(yīng)會(huì)隨著溫度的變化而變化：

1 在玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變溫度以下，材料的力學(xué)響應(yīng)與彈性體類似；

2 在玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變溫度以上，材料的力學(xué)響應(yīng)與超彈性體（比如橡膠）類似；

3 如果溫度更高，材料則會(huì)表現(xiàn)出類似粘性流體的性質(zhì)。

當(dāng)這種無定形高聚物的溫度達(dá)到玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變溫度以上時(shí)，材料所表現(xiàn)出的類似彈性體和粘性流體的聯(lián)合特性，稱為材料的粘彈性。

粘彈性材料有兩個(gè)重要的影響材料響應(yīng)的屬性：時(shí)間和溫度。粘彈性材料的響應(yīng)是時(shí)間相關(guān)的。通常，可以把粘彈性材料的應(yīng)變拆分成彈性部分和非彈性部分，彈性應(yīng)變的應(yīng)變是可恢復(fù)的，而且是在卸載之后立刻恢復(fù)；但是，非彈性的粘性應(yīng)變是不可恢復(fù)的，在整個(gè)時(shí)間歷程中都會(huì)存在。既然粘彈性材料的響應(yīng)是時(shí)間相關(guān)的，那么加載速率對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)也同樣會(huì)有影響。應(yīng)變率降低，體積模量和剪切模量也會(huì)跟著下降，此時(shí)，粘性響應(yīng)是其材料性能的邊界；反之，應(yīng)變率提高，體積模量和剪切模量也會(huì)跟著上升，此時(shí)，彈性響應(yīng)將是其材料性能的邊界（如下圖所示），所以，材料響應(yīng)其實(shí)是隨著應(yīng)變率的變化而變化，但是，不會(huì)超出其純彈性和純粘性的范圍。此外，有些材料的響應(yīng)也（有可能）是溫度相關(guān)的，溫度會(huì)帶來材料的松弛效應(yīng)。

圖1 粘彈性材料的響應(yīng)區(qū)間

粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系通過應(yīng)力應(yīng)變歷程來描述，可以將其表述成類似下式的遺傳積分（HereditaryIntegral）的形式：

應(yīng)力被拆分為偏斜項(xiàng)和體積項(xiàng)。剪切模量G(t)和體積模量K(t)是松弛函數(shù)，通過Prony級(jí)數(shù)來表征。而溫度的影響可以通過兩種方式來考慮，定義不同溫度下的Prony級(jí)數(shù)來描述G(t)和K(t)，或者通過時(shí)溫等效的方式（Thermorheologically Simple: TRS）來進(jìn)行描述。

如果將粘彈性材料看成是彈簧與阻尼的組合，那么會(huì)有以下幾種形式：

圖2 幾種粘彈性材料的物理理論模型

前文有提到，仿真中通過Prony級(jí)數(shù)來描述松弛效應(yīng)，它是一種廣義的Maxwell模型。之所以說它是一種廣義的Maxwell模型，是因?yàn)橛脩艨梢远x多項(xiàng)級(jí)數(shù)，而項(xiàng)數(shù)即為阻尼的個(gè)數(shù)，所以，仿真中的Maxwell模型其實(shí)是有多個(gè)串聯(lián)的彈簧阻尼系統(tǒng)并聯(lián)而成的，如下圖所示。

圖3 Prony級(jí)數(shù)所表征的廣義Maxwell物理理論模型

如前文所述，粘彈性材料的剪切模量G(t)和體積模量K(t)表示成以時(shí)間為變量的Prony級(jí)數(shù)。

其中，τ_i（上標(biāo)為G或K）為每個(gè)Prony級(jí)數(shù)項(xiàng)的松弛時(shí)間，G_∞和K_∞分別表示時(shí)間趨向無窮時(shí)的一個(gè)無限時(shí)間跨度下的模量趨近值，即表示當(dāng)時(shí)間持續(xù)足夠長(zhǎng)時(shí)，模量將恒定在一個(gè)值而不再變化。

為了更加方便地將松弛效應(yīng)下的模量描述在Prony級(jí)數(shù)中，我們引入了相對(duì)模量地概念，其定義如下式所示：

這樣，G_t和K_t可以寫成如下式的形式：

這樣，作為輸入的α_i和τ_i帶入到級(jí)數(shù)表達(dá)式中，即可以表征各模量。其中，G₀和K₀分別表示的是瞬時(shí)的剪切模量和體積模量，即無松弛效應(yīng)這部分響應(yīng)的貢獻(xiàn)；而G_∞和K_∞分別表示的是考慮松弛效應(yīng)的剪切模量和體積模量的一個(gè)極限值（時(shí)間無窮大）。

例子1：如下圖所示，如果G_∞為G₀的50%，Prony級(jí)數(shù)僅有一項(xiàng)，為α₁=0.5和τ₁=20。

圖4 例1模量松弛曲線

例子2：如下圖所示，如果G_∞為G₀的20%，Prony級(jí)數(shù)有兩項(xiàng)，分別為α₁=0.5和τ₁=20，以及α₂=0.3和τ₂=70。

圖5 例2模量松弛曲線

理論上，所有的α系數(shù)相加之后應(yīng)小于等于1，如果等于1，則表示模量在時(shí)間趨于無窮時(shí)為零。此外，在仿真中，還可以定義不同溫度下的不同的α_i和τ_i值，即可以考慮不同溫度對(duì)于松弛效應(yīng)的影響。