說(shuō)起π，大家都會(huì)會(huì)心一笑，這個(gè)字母太有意思了，簡(jiǎn)直就是數(shù)的精靈，我們小時(shí)候還都學(xué)過(guò)茅以升背圓周率的故事，一首“山巔一寺一壺酒，”的兒歌也告訴我們?nèi)绾伪痴bπ，為了襯托高斯的神奇，人們居然說(shuō)他可以倒背圓周率。
最早給出圓周率的近似值的應(yīng)該是古埃及人。建于公元前2500年左右的胡夫金字塔的周長(zhǎng)和高的比值就是2倍圓周率，當(dāng)然這可能只是個(gè)巧合，因?yàn)槲覀冎缊A的周長(zhǎng)和直徑的比值就是2倍圓周率，而金字塔底面是正方形，這就意味著古埃及人已經(jīng)解決了化圓為方的幾何難題。
這雖然可能是個(gè)巧合，但埃及人還是在圓周率的計(jì)算上拔得了頭籌，古埃及的文物萊因德數(shù)學(xué)紙草書(shū)上就記載了圓周率等于分?jǐn)?shù)16/9的平方，大約是3.1605，同時(shí)期的一塊巴比倫石匾也有圓周率等于25/8的記載，晚了一千年的古印度《百道梵書(shū)》上則說(shuō)圓周率等于339/108，大約是3.139。
可以看出來(lái)，隨著時(shí)間的推移，圓周率的值越來(lái)越準(zhǔn)確，可是這一規(guī)律被中國(guó)人打破了，在公元前2世紀(jì)成書(shū)的《周髀算經(jīng)》中說(shuō)“徑一而周三”，這就是說(shuō)圓周率等于三，看起來(lái)在數(shù)學(xué)上我們確實(shí)在四大文明古國(guó)中是墊底的。
不過(guò)這些圓周率的值應(yīng)該都是測(cè)量無(wú)數(shù)個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑后才知道的，想一想那時(shí)候簡(jiǎn)陋的測(cè)量手段吧，能有這么精確確實(shí)很不容易，不過(guò)老是這么量下去也不是一回事，總得照顧更好的辦法。
阿基米德就接過(guò)了這個(gè)任務(wù)。
阿基米德用的方法是內(nèi)切和外接圓的正多邊形，很容易看出來(lái)，內(nèi)切正多邊形的周長(zhǎng)肯定是小于圓周長(zhǎng)，內(nèi)切正多邊形周長(zhǎng)和圓的直徑的比值就是圓周率的下限，同理，外接正多邊形和圓的直徑的比值就是圓周率的上限。
阿基米德先用正六邊形，他得出來(lái)的圓周率下限是3上限是4，這肯定不是阿基米德要的結(jié)果，那也沒(méi)關(guān)系，直接增加正多邊形的邊數(shù)就可以了，增加到正96邊形時(shí)，得到了上限是223/71下限是22/7，取平均值就是3.141851。
阿基米德的圓周率不僅僅是更加精確，關(guān)鍵是他不是量出來(lái)的，他是算出來(lái)的，對(duì)于阿基米德來(lái)說(shuō)算一下正多邊形的周長(zhǎng)那根本就不是事兒，這就開(kāi)啟了計(jì)算數(shù)學(xué)的先河。
阿基米德用的是周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算的，劉徽則要用面積來(lái)計(jì)算圓周率，這就是割圓術(shù)。
“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！边@是劉徽對(duì)割圓術(shù)的描述，看重點(diǎn)呀，“以至于不可割”，這是什么？這就是極限呀，極限再發(fā)展下去是什么？就是微積分啊，就是說(shuō)劉徽有了最早的微積分思想。
劉徽割圓術(shù)的方法和阿基米德差不多，不過(guò)只有一半，劉徽只用內(nèi)接正多邊形，而且劉徽用的是正多邊形的面積，劉徽用到了3072邊形，把圓周率算到了3.1416。
祖沖之用劉徽的方法又把圓周率推進(jìn)了一位，計(jì)算出圓周率在3.1415和3.1416之間，這個(gè)記錄保持了八百年，為了紀(jì)念祖沖之的偉大貢獻(xiàn)，在我們國(guó)家圓周率又叫做祖率。
祖沖之的記錄直到15世紀(jì)初才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西打破，他把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后17位，不過(guò)他的記錄很快就被打破了，德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蛟?596年算到了小數(shù)點(diǎn)后20位，但魯?shù)婪虿](méi)有滿(mǎn)足，投入了畢生精力去計(jì)算圓周率，在1610年算到了小數(shù)點(diǎn)后35位，他用了多少邊的正多邊形呢，是67108864正多邊形，這個(gè)數(shù)有點(diǎn)太大了，也怪不得他用一輩子去計(jì)算，為了紀(jì)念他這種無(wú)畏的精神，因此在德國(guó)圓周率也被稱(chēng)為魯?shù)婪蚵省?/p>
算到這個(gè)程度，基本上已經(jīng)把阿基米德的周長(zhǎng)算法和劉徽的割圓術(shù)用到極致了，要想算出更精確的數(shù)值必須得找點(diǎn)新方法了。
這個(gè)新方法是韋達(dá)首先提出來(lái)的，韋達(dá)就是提出二次方程根的韋達(dá)定理那個(gè)韋達(dá)，不要韋達(dá)只有韋達(dá)定理，他對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)是代數(shù)符號(hào)，我們現(xiàn)在方程的寫(xiě)法包括未知數(shù)為xy都來(lái)自于韋達(dá)，他還提出來(lái)了俄羅斯套娃一般的圓周率計(jì)算公式。
看看，像不像俄羅斯套娃。
還是看一下證明過(guò)程吧。
證明過(guò)程主要是應(yīng)用了三角函數(shù)的倍角公式，就是這個(gè)sin2x=2sinxcosx，換下寫(xiě)法就是
當(dāng)然了還可以繼續(xù)用倍角公式分成x/4，x/4也可以分成x/8，就變成了這樣：
要是到第n項(xiàng)呢，就成了這樣了
然后再方程兩邊都除以x，就變成這樣了
下面對(duì)n取極限，就是=1，那么式子就成了
現(xiàn)在已經(jīng)很清楚了吧，還沒(méi)有清楚呀，那就令x=π/2
左邊就變成了2/π，因?yàn)閟inπ/2=1呀。
然后再用余弦公式把
繼續(xù)寫(xiě)下去一直到n，就得到了韋達(dá)的公式。
不過(guò)有一點(diǎn)需要注意，在推導(dǎo)過(guò)程中我們用到了極限，而極限是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造的，韋達(dá)去世的時(shí)候，他們倆都還有出生，韋達(dá)絕對(duì)不會(huì)穿越到未來(lái)學(xué)會(huì)這種方法的，那么韋達(dá)用什么方法推導(dǎo)出來(lái)的呢？那誰(shuí)知道呀，說(shuō)不定他真有一種巧妙的方法。
有了這種俄羅斯套娃般的方法，理論上就可以無(wú)限次的計(jì)算下去，只要生命足夠長(zhǎng)，就可以推導(dǎo)到無(wú)數(shù)位，不過(guò)生命沒(méi)有那么長(zhǎng)，這種套娃的方法雖好，還是容易出問(wèn)題，首先這是乘法，每一項(xiàng)都相關(guān)，要是一項(xiàng)錯(cuò)了大家都跟著錯(cuò)，另外涉及到了根號(hào)二，這是個(gè)無(wú)理數(shù)，要是取近似值的話(huà)，這從一開(kāi)始就有點(diǎn)不準(zhǔn)，而且就算算得準(zhǔn)，也要到17重平方根才能達(dá)到九位精度，看來(lái)還得想辦法。
和乘法相比，加法就好多了，覺(jué)得精度夠了，后面的加法就可以舍去不算了，反正也不影響前面的，可什么樣的加法才能滿(mǎn)足計(jì)算π這種無(wú)理數(shù)呢？當(dāng)然是級(jí)數(shù)。
級(jí)數(shù)其實(shí)也是早就有了，比如莊子所說(shuō)的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”就可以表示為一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，不過(guò)對(duì)級(jí)數(shù)的系統(tǒng)研究，還是得等牛頓爵爺出世。
1869年，爵爺寫(xiě)出了《無(wú)限多項(xiàng)方程的分析學(xué)》，這就是最早的級(jí)數(shù)論文，隨后他的老冤家萊布尼茨也獨(dú)立得出了相同的結(jié)論，萊布尼茨這一輩子都是在爵爺屁股后面傻追，只要爵爺?shù)贸鍪裁唇Y(jié)論，他肯定立刻得出，這就是永遠(yuǎn)落后一步，不過(guò)對(duì)于用級(jí)數(shù)對(duì)圓周率的求解萊布尼茨卻是搶先了一步。
這就是萊布尼茨的圓周率求解公式，看起來(lái)是不是清爽多了，關(guān)鍵是計(jì)算簡(jiǎn)單呀，就是小學(xué)沒(méi)畢業(yè)也會(huì)算呀，可是這個(gè)公式有一個(gè)致命的缺點(diǎn)，就是級(jí)數(shù)收斂太慢了，要計(jì)算到300項(xiàng)才精確到了一位小數(shù)，這要是算到九位十位精度，估計(jì)也得半輩子。
不過(guò)萊布尼茨很高興，他終于超過(guò)牛頓一次了，可萊布尼茨的命還是這么苦，雖然牛頓沒(méi)有說(shuō)話(huà)，但這個(gè)級(jí)數(shù)并不是他第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的，而是英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷戈里先發(fā)現(xiàn)的，可憐的萊布尼茨又栽到了英國(guó)人手里，后來(lái)牛頓爵爺在搜集萊布尼茨“剽竊”微積分成果罪證的時(shí)候，又把這筆賬翻了出來(lái)，說(shuō)萊布尼茨“剽竊”別人成果已經(jīng)是慣犯了，連個(gè)簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)都“剽竊”，何況復(fù)雜的微積分呢，這當(dāng)然都是爵爺?shù)囊幻嬷~，其實(shí)萊布尼茨是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，這個(gè)級(jí)數(shù)也被叫做格雷戈里—萊布尼茨級(jí)數(shù)，萊布尼茨又排在了后面。
見(jiàn)萊布尼茨都知道怎么求圓周率了，爵爺當(dāng)然不開(kāi)心，立刻就整出來(lái)了一個(gè)。
別看看起來(lái)模樣不怎么樣，不如萊布尼茨的長(zhǎng)相秀氣，算起來(lái)也復(fù)雜了許多，關(guān)鍵是好用呀，收斂速度賊快，僅三項(xiàng)就能達(dá)到3.14，九項(xiàng)精度就能到八位，這就叫碾壓呀。
歐拉為自己的師爺感到不平，（萊布尼茨的學(xué)生是約翰.伯努利，約翰.伯努利是歐拉的老師，歐拉絕對(duì)是萊布尼茨的嫡傳徒孫），可是對(duì)手是牛頓呀，對(duì)于牛頓這種神一般的男人，像老師和師爺一樣打嘴炮是沒(méi)用的，最好的辦法就是做的比他還好。
于是歐拉就寫(xiě)出了自己的圓周率級(jí)數(shù)。
π=20arctan（1/7） 8arctan（3/97）
這有點(diǎn)過(guò)了吧，沒(méi)寫(xiě)錯(cuò)吧，怎么可能這么簡(jiǎn)潔呢？當(dāng)然沒(méi)錯(cuò)，別忘了，歐拉可是可以和牛頓齊名的數(shù)學(xué)大師，不過(guò)級(jí)數(shù)在哪呢？
還記得在前面說(shuō)過(guò)讓萊布尼茨很沒(méi)面子的格雷戈里嗎？他提出過(guò)反正切級(jí)數(shù)，就是這樣的。
要是令x=1呢，這就是萊布尼茨的級(jí)數(shù)呀。
萊布尼茨的所謂獨(dú)立結(jié)果只不過(guò)是人家的一個(gè)特例，所以說(shuō)也怪不得牛頓爵爺天天黑他。
同樣，只要用格雷戈里級(jí)數(shù)展開(kāi)歐拉級(jí)數(shù)中的反正切函數(shù)就可以了，關(guān)鍵是這個(gè)級(jí)數(shù)收斂速度非常快，僅僅只要計(jì)算前六項(xiàng)精度就可以12位。
歐拉果然名不虛傳，居然比爵爺還快，可是歐拉贏了嗎？當(dāng)然沒(méi)有呀，因?yàn)樗蛶煚斠粯右彩钦驹诹巳思腋窭赘昀锏募绨蛏稀?/p>
現(xiàn)在知道牛頓爵爺有多厲害了吧，萊布尼茨祖孫三代都贏不了一個(gè)牛頓。
按理說(shuō)到了這個(gè)程度就可以了吧，不能呀，因?yàn)橛《热死R努金還沒(méi)有出場(chǎng)呢。
要是說(shuō)牛頓爵爺是神的話(huà)，那么拉馬努金就是仙兒，他一輩子都是靠感覺(jué)寫(xiě)公式，個(gè)個(gè)都匪夷所思巧奪天工，來(lái)看看他怎么說(shuō)的吧。
看這模樣，是不是和爵爺?shù)墓讲畈欢嘌?，這才叫英雄所見(jiàn)略同，而且收斂速度快到了不可思議的地步，一項(xiàng)就可以達(dá)到七位有效精度。
要是兩項(xiàng)呢，就十六位了。
這已經(jīng)不是人能想出來(lái)的了，這就是鬼神莫測(cè)，就連牛頓也要甘拜下風(fēng)了。
圓周率的求解到拉馬努金已經(jīng)是極限了，剩下的就可以交給計(jì)算機(jī)了。
2021年8月17日，瑞士科學(xué)家使用超級(jí)計(jì)算機(jī)將圓周率π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬(wàn)億位，這是目前的最精確記錄。
