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數(shù)字世界是現(xiàn)實(shí)世界的鏡像，模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC則是連接這兩個(gè)世界的大門(mén)。采樣速率是ADC重要參數(shù)之一，圍繞采樣速率，有一條著名的定理：奈奎斯特采樣定理。 采樣定理： 只要采樣頻率大于或等于有效信號(hào)最高頻率的兩倍，采樣值就可以包含原始信號(hào)的所有信息，被采樣的信號(hào)就可以不失真地還原成原始信號(hào)。 采樣定理是美國(guó)電信工程師H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確地說(shuō)明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱(chēng)為香農(nóng)采樣定理。  為方便介紹，我們統(tǒng)稱(chēng)之為采樣定理。 在詳細(xì)介紹采樣定理之前，我們一定要知道一個(gè)非常有趣的頻率現(xiàn)象：'任何模擬信號(hào)，在離散化后，在頻率上都會(huì)按照采樣率周期性延拓?！?/p> 先拋個(gè)問(wèn)題： 我們以fs=100Hz的采樣率，采集一段模擬信號(hào)，得到了100個(gè)采樣點(diǎn)，我們能夠重構(gòu)出原始的模擬信號(hào)，得到模擬信號(hào)的頻率信息嗎？ 理論來(lái)講是不可能的，模擬信號(hào)一旦經(jīng)過(guò)采樣離散化后，其波形就已經(jīng)失真了，我們永遠(yuǎn)無(wú)法完美的重構(gòu)原始模擬信號(hào)。 其中一個(gè)重要原因是，我們無(wú)法區(qū)分離散后信號(hào)的頻率信息。 我們從時(shí)域和頻域兩個(gè)方向分別理解：'我們無(wú)法區(qū)分離散后信號(hào)的頻率信息’這句話的意義。 時(shí)域解釋 下圖藍(lán)色點(diǎn)是采集后的一段離散序列，我們無(wú)法知道采樣的原始信號(hào)是紅色曲線還是藍(lán)色點(diǎn)直連重構(gòu)的曲線。  通常情況下，我們重構(gòu)采集后的離散點(diǎn)方法是直接連接相鄰采樣點(diǎn)。 基于這樣的方法，我們直接重構(gòu)后的最低頻率為fa，而理論上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信號(hào)（n為≥0的整數(shù)，fa為原始信號(hào)頻率，fs為采樣頻率）。 比如一段頻率為fa=10Hz的模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò)采樣頻率fs=100Hz后，離散后的信號(hào)可以重構(gòu)為10Hz、110Hz、210Hz。這個(gè)特性就是信號(hào)頻率的模糊性。 頻域解釋 一段頻率為帶限為fa的模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò)采樣頻率fs采樣后，其在頻譜上的波形會(huì)按照f(shuō)s周期性復(fù)現(xiàn)，波形見(jiàn)下圖。  這是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，可以看到時(shí)域的結(jié)果和頻域的分析是統(tǒng)一的。 而這里面就隱含著著名的采樣定理。 同樣的，我們從時(shí)域和頻域分別看下采樣定理的理解。 時(shí)域分析 在時(shí)域的角度下，當(dāng)一個(gè)周期采集點(diǎn)數(shù)少于2個(gè)時(shí)，我們直連采樣點(diǎn)重構(gòu)信號(hào)，則頻率就錯(cuò)了；而當(dāng)一個(gè)周期采集兩個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，采用直連的重構(gòu)方式，我們起碼可以得到原始信號(hào)的頻率信息。  頻域解釋 如下圖所示，當(dāng)fs<2fa時(shí)，周期性復(fù)現(xiàn)的帶限信號(hào)，會(huì)有紅色重疊的地方，這會(huì)導(dǎo)致我們失去原始帶限信號(hào)的基本頻率信息，俗稱(chēng)頻譜混疊。  如上就可以提煉出采樣定理的基本要義了。 采樣定理與過(guò)采樣率 上文中的fa是信號(hào)的帶限（信號(hào)的最大頻率范圍），2*fa是采樣定理的基本要求；M*2*fa中，M就是過(guò)采樣率，過(guò)采樣率是對(duì)'采樣定理的最低采樣頻率’而言的。 過(guò)采樣率M每提高4倍，可以讓ADC分辨率B提高1bit。舉例如下： 過(guò)采樣率分別為4、16、64，ADC分辨率B分別會(huì)提高1、2、3bit。這個(gè)后面會(huì)繼續(xù)深入介紹。 具體原理與實(shí)現(xiàn)，公眾號(hào)會(huì)繼續(xù)更新。 然而過(guò)采樣并不是一直都有效的，它也會(huì)有限制因素，這個(gè)也是后話，咱們后面一一說(shuō)明。 傅里葉變換的提出讓人們看問(wèn)題的角度從時(shí)域變成了頻域，多了一個(gè)維度?？焖俑道锶~變換算法的提出普及了傅里葉變換在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域，離散傅里葉變換（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。  比如下圖是一個(gè)幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結(jié)果。 可以得到原始matlab代碼  信噪比（SNR）是信號(hào)與噪聲的比率，它是衡量通信或模擬系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)之一，與傅里葉變換更是有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。在很多情況下，我們是通過(guò)傅里葉變換來(lái)評(píng)估信噪比，如果評(píng)估方法不對(duì)，很難的到我們期望的結(jié)果，經(jīng)常會(huì)事與愿違。  求解SNR的過(guò)程，我們是用'評(píng)估SNR’來(lái)描述，這就是說(shuō)我們無(wú)法精確計(jì)算出SNR，只能進(jìn)行評(píng)估，事實(shí)也是如此。 評(píng)估SNR的方法分為時(shí)域和頻域兩種。我們以一組離散樣本點(diǎn)為分析目標(biāo)，看下如何評(píng)估SNR，及其誤區(qū)。 時(shí)域估計(jì)SNR Xs(n)為信號(hào)序列，Xn(n)為噪聲序列，則信號(hào)X(n)=Xs(n)+Xn(n)，是一組帶噪離散序列，在時(shí)域上評(píng)估X(n)的信噪比公式如下：  其意義為分別求取離散信號(hào)、噪聲功率和，計(jì)算二者之比。這里有個(gè)前提是，我們需要分離出信號(hào)與噪聲，然后才能求解， 然而問(wèn)題也在于此，對(duì)于一段給定的離散時(shí)間序列，我們很難完全分離出信號(hào)和噪聲，所以時(shí)域評(píng)估SNR是有局限性的，而且不夠直觀，所以通常我們?cè)陬l域下求解。 頻域估計(jì)SNR 在頻域上的SNR計(jì)算原理和時(shí)域很接近，還是求信號(hào)功率與噪聲功率只比。最簡(jiǎn)單的方法是在頻譜X(m)上設(shè)置閾值，閾值之上為信號(hào)，閾值之下為噪聲。這樣就會(huì)有閾值設(shè)置帶來(lái)的估計(jì)準(zhǔn)確性問(wèn)題，同時(shí)信號(hào)頻帶范圍內(nèi)或多或少也會(huì)有噪聲疊加進(jìn)來(lái)，在頻域計(jì)算SNR也是一個(gè)近似。 SNR以dB作為單位，SNR(dB)=10*log10(SNR)。 我們往往使用Matlab評(píng)估SNR，Matlab是非常強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，其集成了SNR計(jì)算函數(shù)，如果應(yīng)用不正確，誤差會(huì)非常大，無(wú)法得到預(yù)期結(jié)果，舉例如下。 下圖是一個(gè)幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結(jié)果。 用Matlab SNR函數(shù)計(jì)算計(jì)算信噪比的結(jié)果如下，藍(lán)色為感興趣的信號(hào)成分，橙色為噪聲。這個(gè)頻域圖就可以表征SNR，橙色的噪聲數(shù)值越小、越低，說(shuō)明信噪比越高、越好。即使紅色圓圈部分有一點(diǎn)噪聲，在評(píng)估單頻率成分信號(hào)的SNR時(shí)，這依然是一個(gè)非常有效的手段。 假如一信號(hào)x(n)=sin(4pi*t)+0.5*sin(18pi*t),如下圖是一個(gè)幅度為1、頻率為2Hz的正弦波疊加幅度為0.5、頻率為9Hz的正弦波的結(jié)果。 用Matlab SNR函數(shù)計(jì)算計(jì)算信噪比的結(jié)果如下，藍(lán)色為感興趣的信號(hào)成分，橙色為噪聲，matlab舍棄了頻率為9Hz、能量少的成分，只計(jì)算了2Hz信號(hào)的信噪比。 所以倘若我們的感興趣信號(hào)比較復(fù)雜，就不能直接用SNR函數(shù)直接計(jì)算。 所以我們一定要在理解DFT與SNR關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確使用matlab才能得到期望的SNR結(jié)果。 在過(guò)采樣中，信噪比、ADC有效位數(shù)、過(guò)采樣率是有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，了解了基本的概念后，我們一步一步理解過(guò)采樣的原理。 數(shù)字世界是模擬世界的鏡像，而ADC就是連接兩個(gè)世界的大門(mén)。一切模擬信號(hào)一旦經(jīng)過(guò)ADC離散化后，其幅值必然會(huì)失真，其重要原因是ADC分辨率有限，只能逼近真實(shí)幅值。 我們不可能抵達(dá)真理，只能無(wú)限的接近真理。 分辨率是ADC的重要參數(shù)之一，它和精度是兩個(gè)不同的量，精度描述的是離散結(jié)果的準(zhǔn)確性，而分辨率描述的是ADC能夠分辨的最小信號(hào)，為1LSB。 換言之，分辨率高的ADC能區(qū)分出更小的信號(hào)，但其轉(zhuǎn)化的結(jié)果準(zhǔn)確性受精度限制。 一個(gè)8bit ADC，可分辨出256種電平，當(dāng)輸入范圍是2.56V時(shí)，1LSB即為10mV。受分辨率限制，ADC輸出值和實(shí)際值之間存在誤差。 下圖是量化誤差的示意圖，對(duì)于變化小于1LSB的信號(hào)，ADC是無(wú)法區(qū)分出來(lái)的，輸入和輸出此時(shí)的誤差即為量化誤差。 量化噪聲的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型如下， e(t)=st, -q/2s < t < +q/2s 根據(jù)輸入信號(hào)、ADC分辨率和量化誤差的關(guān)系，我們可以推導(dǎo)出一條重要的SNR計(jì)算公式。詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程在公眾號(hào)后臺(tái)回復(fù)：過(guò)采樣 下面就是經(jīng)典的ADC SNR計(jì)算公式。 SNR = 6.02N + 1.76dB DC至fs/2帶寬范圍 如果使用數(shù)字濾波來(lái)濾除帶寬BW以外的噪聲成分，則等式中還要包括一個(gè)校正系數(shù)
或者寫(xiě)作
BW是信號(hào)帶寬，F(xiàn)S是采樣率，OSR=Fs/(2*BW)就是過(guò)采樣率。 我們所說(shuō)的過(guò)采樣率每提高4倍，可以提高ADC 1bit的有效分辨率就是根據(jù)上面的公式來(lái)的，過(guò)采樣率可以參考以前文章： 為什么“過(guò)采樣率每提高4倍，可以提高ADC 1bit的有效分辨率”？ 舉個(gè)栗子： 當(dāng)過(guò)采樣率OSR為1時(shí)，
當(dāng)過(guò)采樣率OSR為4時(shí)，
對(duì)比公式1和公式2，只有紅色框部分不同，即過(guò)采樣帶來(lái)的SNR收益和增加分辨率N是可以轉(zhuǎn)化等效的。 額外增加的位數(shù)N+： N+=10log(OSR)/6.02， 當(dāng)OSR=1,4,16，，，，時(shí)，N+=1,2,3，，，，， 這就是通常所說(shuō)的，過(guò)采樣率每增加4倍，可以提高1bit分辨率的原因。 那么是不是只要提高采樣速率就可以提高分辨率了呢？ 其實(shí)不對(duì)，從公式2可以看出，10log(4)變?yōu)?0log(1)了，這個(gè)過(guò)程還需要降低采樣，或者下抽，這么做除了降低數(shù)據(jù)量外，就是可以提高分辨率。 如何下抽，是一個(gè)學(xué)問(wèn)，如果簡(jiǎn)單的求平均，往往只提高信噪比，達(dá)不到提高有效位數(shù)的目的，好多人在這里會(huì)采坑。 如何正確使用下抽來(lái)增加有效位數(shù)？量化誤差與過(guò)采樣率最經(jīng)典的解釋是頻譜密度解釋?zhuān)邢蓿竺嫖恼露紩?huì)持續(xù)更新。 這應(yīng)該是過(guò)采樣系列的最后一篇文章，經(jīng)常有同學(xué)在使用FPGA、單片機(jī)或者DSP進(jìn)行過(guò)采樣時(shí)沒(méi)有正確設(shè)計(jì)代碼，導(dǎo)致結(jié)果異常，有些結(jié)果看似正常，而實(shí)際卻沒(méi)有意義。 這篇文章涉及到簡(jiǎn)單的整型數(shù)據(jù)和算術(shù)運(yùn)算，希望能有所幫助，僅供參考。 舉栗子，理想的8 bit ADC，編碼范圍是0-255，在參考電壓是255mV的情況下，分辨率是1mV。 對(duì)一個(gè)理想的9.6mV直流電壓進(jìn)行采樣，ADC無(wú)法分辨小數(shù)點(diǎn)后的0.6mV，采樣結(jié)果會(huì)被編碼為10，即10mV。 過(guò)采樣有效是有前提條件的，在這里是對(duì)9.6V的直流電壓加隨機(jī)噪聲。 過(guò)采樣 對(duì)疊加噪聲后的信號(hào)進(jìn)行4次采樣，理論上應(yīng)該得到[9.8, 9.6, 10.4, 9.6]4個(gè)離散的樣本點(diǎn)，而受到ADC分辨率的限制，實(shí)際只能得到[10, 10, 10, 10]4個(gè)編碼樣本，所有樣本點(diǎn)都只能分布在。。。8、9、10。。。整數(shù)上。
接下來(lái)就對(duì)這4個(gè)樣本點(diǎn)詳細(xì)介紹，直觀的感受過(guò)采樣的原理。 假設(shè)信號(hào)帶寬為B，我們分別分析采樣頻率F為2B sps/S和8B sps/S兩種情況。 當(dāng)采樣頻率為2B時(shí)，過(guò)采樣率OSR1=F/(2B)=1; 當(dāng)采樣頻率為8B時(shí)，過(guò)采樣率OSR4=F/(2B)=4; OSR4/OSR1=4，即過(guò)采樣率提高了4倍（注意：是提高了4倍），其分辨率應(yīng)該會(huì)增加1bit。 繼續(xù)以上面采樣9.6mV信號(hào)舉栗子。 當(dāng)以采樣頻率F=1采樣時(shí)，采集的結(jié)果是[10, 10,10, 10]中的任意一個(gè)，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制(0000 1010)。 當(dāng)以采樣頻率F=4采樣時(shí)，采集的結(jié)果是[10, 10,10, 10]4個(gè)序列。 下面對(duì)F=4的4個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行下抽處理（降采樣），可以減少計(jì)算量增加分辨率。
抽取 ADC是8bit的分辨率，但是在過(guò)采樣計(jì)算時(shí)，不能定義并初始化一個(gè)8bit的整形數(shù)據(jù)，如果初始化8bit的數(shù)據(jù)，計(jì)算過(guò)程會(huì)溢出，最終結(jié)果的位寬還是8bit，并沒(méi)有增加分辨率，在這里我們定義一個(gè)16bit的數(shù)據(jù)，預(yù)留了足夠的buffer。 對(duì)采樣得到的4個(gè)8bit數(shù)據(jù)求和運(yùn)算，需要計(jì)算最大位寬，求和后的最大位寬為8+2=10bit，相當(dāng)于左移了2bit，變?yōu)?0bit。
如果只是簡(jiǎn)單的求平均，求和后的結(jié)果再除以采樣個(gè)數(shù)4的話，則數(shù)據(jù)其實(shí)是右移2bit，又變回原來(lái)的8bit位寬，并沒(méi)有增加分辨率。 在這里我們選擇下抽方法是求和后除以2，即右移1bit，則數(shù)據(jù)從10bit變?yōu)?bit，相比于原始的8bit，增加了1bit分辨率（過(guò)采樣容易理解，更重要的是下抽）。 過(guò)采樣率為4時(shí)，采樣的4個(gè)數(shù)據(jù)序列[10, 10,10, 10]求和后是40，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制(00 0010 1000)，右移1bit后變?yōu)?0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制(0 0001 0100)
255mV參考電壓下，原始的8bit ADC，分辨率為1mV，采集的數(shù)據(jù)是9(0000 1001)，即9mV； 過(guò)采樣率增加4倍后： 255mV參考電壓下，9bit ADC，分辨率為0.5mV，采集的數(shù)據(jù)是20(0 0001 0100)，即10.0(9.98)mV； 過(guò)采樣率增加4倍的前提下，只提高了1bit分辨率，效果不是很明顯，繼續(xù)在9.6mV基礎(chǔ)上添加隨機(jī)噪聲，這次過(guò)采樣率再增加4倍，達(dá)到16倍，即采樣速率F=16，對(duì)16個(gè)采樣序列進(jìn)行計(jì)算舉例。
對(duì)采樣得到的16個(gè)8bit數(shù)據(jù)求和運(yùn)算，最大位寬是8+4=12bit。 求和：10*8+9*7+11=154，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制是(0000 1001 1010)，再右移2bit，則變?yōu)?0bit的38(00 0010 0110)，（再次強(qiáng)調(diào)，不能簡(jiǎn)單的求和然后求平均）。
9.6mV加噪信號(hào)： 1、255mV參考電壓下，原始的8bit ADC，分辨率為1mV，采集的數(shù)據(jù)是10(0000 1001)，即10mV 2、過(guò)采率為4后： 255mV參考電壓下，9bit ADC，分辨率為0.5mV，采集的數(shù)據(jù)是20(0 0001 0100)，即10.0(9.98)mV； 3、過(guò)采率為16后： 255mV參考電壓下，10bit ADC，分辨率為0.25mV，采集的數(shù)據(jù)是38(00 0010 0110)，即9.47mV； 從列舉的例子可以看出，過(guò)采樣率是可以提高分辨率的，但是提高采樣速率來(lái)提高分辨率的代價(jià)是巨大的（牛頓第三定律：得到點(diǎn)東西時(shí)總要舍棄點(diǎn)什么^_^）。 － The End － |
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