?浙江省慈溪市觀城中學(xué) 何凱果

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，解題依賴于方法.對一道數(shù)學(xué)問題而言，解題方法往往不止一種，有的屬于“通法”，有的則屬于“特法”“巧法”.雖然在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中我們提倡要“淡化特殊技巧，注重通性通法”，但對于很多學(xué)生而言，若能掌握一些“特法”“巧法”就能在解題中起到化繁為簡、事半功倍的效果，因此，讓學(xué)生掌握更多好的解題技巧與方法是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要任務(wù).由于這些“特法”“巧法”往往具有很高的思維含量，學(xué)生不僅很難想到，而且即使“當(dāng)時理解了”，但在解題中卻“想不到去用”.那么，如何讓學(xué)生真正地掌握并能靈活運(yùn)用這些“特法”“巧法”呢？眾所周知“數(shù)學(xué)是自然的”，那么數(shù)學(xué)解題方法的教學(xué)更要順乎“解題自然”，也只有讓那些“特法”“巧法”以符合認(rèn)知規(guī)律的方式得以自然呈現(xiàn)與建構(gòu)才能夠被學(xué)生所理解與掌握.下面筆者就以“定比等差法”為例，談?wù)剬Υ说目捶?

問題 (2018年浙江卷，17)已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓上的兩點(diǎn)A，B滿足則當(dāng)m=______時，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對值最大.

一、順應(yīng)思維“自然”，經(jīng)歷通性通法

“通性通法”從基本概念、原理出發(fā)，以基礎(chǔ)知識為依托、以基本方法為技能，按照既定的步驟，逐步推出問題和解答，解法思想順應(yīng)學(xué)生的思維自然，其具體操作過程易被學(xué)生所掌握.不僅如此，通性通法還是“特法”“巧法”的根基，“特法”“巧法”一般都是基于“通性通法”的優(yōu)化或者升級.因此，“特法”“巧法”的教學(xué)不是“無源之水、無本之木”，不是一蹴而就的“經(jīng)營模式”，而是一種長期的“經(jīng)營策略”，是在“通性通法”基礎(chǔ)上的“潛移默化”“螺旋上升”的過程.

本題涉及“直線與橢圓的交點(diǎn)”，根據(jù)學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，一般的“通性通法”是“設(shè)直線方程——直線方程與橢圓聯(lián)立——用韋達(dá)定理消參”，具體解題過程如下：

圖1

解法1：如圖1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，m=9，x2=0；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立方程得：

得

則

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，解得m=5.

一些解題方法之所以被稱作“通性通法”，很大程度上是因?yàn)槠溥m用題型范圍廣，能夠解決一大類或者一個數(shù)學(xué)知識模塊的問題，其重要性不言而喻.雖然，用“通性通法”解題有時比較煩瑣，但這恰恰可以作為“特法”“巧法”的參照，從而凸顯出“特法”“巧法”的優(yōu)越性.

二、尊重個性“自然”，分享多樣解法

解題的過程本質(zhì)上就是主體對問題的理解、同化、轉(zhuǎn)換、選擇有效的解題策略作用于問題以達(dá)到目標(biāo)的過程.由于不同的學(xué)生在認(rèn)知風(fēng)格與思維方式上的差異，從而導(dǎo)致他們解決問題的視角與方式也產(chǎn)生差異.因此，對于一道題的解法是否“自然”，不同的人可能觀點(diǎn)并不一致，并且“自然”的解法并不唯一，也就是說不同的學(xué)生可能有他自己所認(rèn)可的“通性通法”.

上述問題很多學(xué)生還會想到下面兩種解法：

解法2：由直接把A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，

再代入橢圓方程得?當(dāng)m=5時，|x2|取得最大值.

解法3：三角換元，設(shè)由得代入橢圓方程，即所以當(dāng)m=5時，|x2|取得最大值.

這些“通性通法”的普適性與自然性雖然不及通常的“通性通法”，但它們都是學(xué)生智慧的結(jié)晶，教師通過分享這些解題方法不僅可以拓展學(xué)生的思維，而且也可以從中獲得“特法”“巧法”的線索，避免了“魔術(shù)師帽子里突然變出一只兔子”的尷尬.

三、構(gòu)建過程“自然”，形成“特法”“巧法”

無論是“通性通法”還是學(xué)生的“個性”解法，都是顧及了學(xué)生的解題“自然”，其目的都是為“特法”“巧法”的自然構(gòu)建作鋪墊.當(dāng)然，要實(shí)現(xiàn)“特法”“巧法”的自然建構(gòu)，還需要設(shè)計科學(xué)合理的認(rèn)知過程，一般可以按照以下三個環(huán)節(jié)展開.

1.反思與激活

解題教學(xué)始于問題，但決不止于“答案的獲得”.但很多學(xué)生“卻以為答案得到了，解題也就結(jié)束了”，從而失去了進(jìn)一步探究的欲望.如果直接進(jìn)行“特法”“巧法”的教學(xué)反而不能取得預(yù)期的效果，此時需要對前面解題活動中所涉及的知識內(nèi)容、解題思路、運(yùn)算過程、方法聯(lián)系等進(jìn)行系統(tǒng)的反思，從而起到重新激活學(xué)習(xí)動機(jī)的目的.

比如，對于上述問題，我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下反思：

問題1：這三種方法孰優(yōu)孰劣，你喜歡哪種方法？

三種方法各有千秋，學(xué)生可以根據(jù)自己的認(rèn)知風(fēng)格進(jìn)行合理選擇.

問題2：這些方法之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？

相同之處是都立足于直線與橢圓的關(guān)系，通過解方程的思想來獲得參數(shù)的取值范圍；不同之處是參數(shù)的選擇與處理的方式不同，解法1以直線斜率k為參數(shù)，先建立k與B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，再求m的值；解法2直接建立交點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)m之間的關(guān)系；解法3通過三角代換來簡化運(yùn)算求值的過程.

問題3：從對參數(shù)處理的角度來看，哪種方法能夠更快得到結(jié)果？

理論上是解法2能夠最快得到結(jié)果，因?yàn)樗苯咏⒆鴺?biāo)與參數(shù)m的聯(lián)系.

問題4：解題方法是否能夠進(jìn)一步優(yōu)化？

如果能直接建立與參數(shù)m之間的關(guān)系，解題過程能進(jìn)一步簡化.

扎實(shí)推進(jìn)城鄉(xiāng)公共文化服務(wù)一體化建設(shè)；深化文化體制改革，建立健全文化管理體系。要扎實(shí)開展精神扶貧活動，提供適合特殊群體的文化服務(wù)和產(chǎn)品。為廣大農(nóng)民群眾提供豐富的文化產(chǎn)品。堅持文化惠民，完善基礎(chǔ)設(shè)施，激發(fā)村民的文化自覺，提高農(nóng)民的整體素質(zhì)，提升農(nóng)民生活品質(zhì)，以文化自覺成就文化自信。此外，大力宣傳鄉(xiāng)土文化，打造具有鄉(xiāng)土文化特色的景點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村振興[9-10]。

2.回歸與發(fā)現(xiàn)

“特法”“巧法”的教學(xué)追求的是自然發(fā)現(xiàn)的過程，回歸到問題的起點(diǎn)與認(rèn)知的原點(diǎn)可以降低發(fā)現(xiàn)的難度與門檻，從而能夠讓學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)解決問題的新的方向與思路.

“定比點(diǎn)差法”是“定比分點(diǎn)”與“點(diǎn)差法”的綜合，其解題思路源于對“點(diǎn)差法”的升級，“點(diǎn)差法”是它的認(rèn)知起點(diǎn).因此，可以設(shè)計如下問題引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn).

問題5：如果把條件改成你會怎么處理？

問題6：點(diǎn)差法有什么優(yōu)勢？

對于一般的橢圓方程

即借助點(diǎn)差法可以直接獲得直線斜率與中點(diǎn)的關(guān)系.

問題7：對于能否借助點(diǎn)差法獲得類似的關(guān)系？

由得到啟發(fā)，得到y(tǒng)1-2y2=-m，與y1+2y2=3聯(lián)立方程得代入橢圓方程得?當(dāng)m=5時，|x2|取得最大值.

問題8：定比點(diǎn)差法的優(yōu)勢在哪里？

能夠直接建立定比分點(diǎn)與交點(diǎn)之間的關(guān)系，提升了運(yùn)算的效率.

在揭示“特法”“巧法”的來龍去脈的過程中，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的自然建構(gòu)過程，充分感受引入“特法”“巧法”的必要性與優(yōu)越性，激發(fā)了學(xué)生對新的解題方法的認(rèn)同感.

3.推廣與應(yīng)用

為了讓“特法”“巧法”能夠適用于更多的題型，能夠解決更多的問題，需要對“特法”“巧法”進(jìn)行一般性的推廣.同時，在應(yīng)用的過程中讓學(xué)生感受“特法”“巧法”的實(shí)用價值，積累寶貴的解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步促使方法的內(nèi)化.

“定比點(diǎn)差法”：對于一般的有心二次曲線若曲線上A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)滿足則有 ①

即 ②

其中

在此基礎(chǔ)上，若再引入點(diǎn)Q滿足

則有

②式可以化為 ③

至此，“定比點(diǎn)差法”的謎底被揭開：一般地，對于我們稱P，Q兩點(diǎn)為A，B的調(diào)和分割點(diǎn)，則兩個互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足有心二次曲線的特征方程

例題 設(shè)橢圓過點(diǎn)左焦點(diǎn)為

(1)求橢圓的C的方程；

(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4，1)的直線l與橢圓C相交于A，B，在線段上取點(diǎn)Q滿足證明：點(diǎn)Q在某定直線上.

解析：

(2)此題可以轉(zhuǎn)化為與定比分點(diǎn)有關(guān)，由

設(shè)則有

由“定比點(diǎn)差法”中的③式得則2xQ+yQ=2，即點(diǎn)Q在定直線2x+y=2上.

借助“定比點(diǎn)差法”的結(jié)論可以秒殺高考壓軸題.當(dāng)然，上述兩個問題只是“定比點(diǎn)差法”應(yīng)用的小試身手，毫不夸張地講，凡是涉及直線與橢圓的交點(diǎn)問題都可以用“定比點(diǎn)差法”進(jìn)行解決，在此筆者就不再贅述.

自然的解題教學(xué)不僅讓問題的解決變得更加有據(jù)可循，而且能夠使學(xué)生產(chǎn)生思維上的共鳴，促使學(xué)生把“特法”“巧法”主動納入到已有的知識結(jié)構(gòu)中，從而使越來越多的“特法”“巧法”成為學(xué)生心中的“通性通法”.