我們在中學時都學習過用“度數(shù)”來刻畫角的大小，比如用表示周角的大小，表示平角的大小，表示直角的大小等等。

而到了高中，我們把角的單位由“度”換成了“弧度”，這時前面提到的角度都有了如下轉(zhuǎn)化：

實際上，對于任意度數(shù)的角，轉(zhuǎn)化為弧度可以通過如下公式：

這對每一個學過高中數(shù)學的人都不陌生，可是同學們往往只記住了這種轉(zhuǎn)化的方法，卻并不明白為什么非要將180度換成一個無理數(shù)，或者我們可以更直白地發(fā)出靈魂拷問：初中使用角度制對角的大小進行刻畫似乎已經(jīng)十分完美，為什么還要引入和學習弧度制，其意義何在？

今天大小吳就來和大家探討一下這個問題。

1 角度制的起源

這一切要從角度制與弧度制的歷史說起。

在富饒的美索不達米亞平原上，公元前的古巴比倫人就開創(chuàng)性地將圓周進行360等分，并取其中一份稱1“度”，記為，度下面又設有“分”和“秒”的單位，60分為1度，60秒為1分，這即為最早的角度制。

但是由于年代過于久遠，我們已經(jīng)無從得知古巴比倫人何時靈光一現(xiàn)想出這種度量方式，也不清楚他們?yōu)槭裁匆獙A周等分成360等份，后世對其的解釋主要有以下幾種：

• 古巴比倫人熟悉用60進制進行計算。
• 360是一個接近一年中天數(shù)的較為整齊的數(shù)據(jù)。
• 360能被8整除，因此在以360度為周角大小的情況下，平角、直角、以及半個直角這些典型的角的度數(shù)都是整數(shù)。
• 360有多個因數(shù)，這使得各種正多邊形的內(nèi)角大小也恰為整數(shù)度數(shù)（正邊形的內(nèi)角大小為）。

也許正是因為上述多種原因，聰明的古巴比倫人最終選擇了360這個神奇的數(shù)字作為角度制的肇始，無疑，這是一種完美的制度，它深刻影響了后世的數(shù)學，并在天文、航海、測繪等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應用，直至每一個現(xiàn)代社會的學生都要對其進行學習。

2 弧度的雛形

古巴比倫人對圓周的劃分，在一定程度上影響了后來的古希臘天文學。在古希臘時期“地心說”十分流行，人們認為太陽繞著地球做圓周運動，因此產(chǎn)生了許多圓形軌道的計算問題，進一步地，人們就想知道已知弧長如何求對應弦長這類三角學問題，為此古希臘人希帕科斯（公元前190-120）首次繪制了弦表，又如托勒密的著作《大成》中也有類似弦表，這使得弦表的思想為人所熟知，這也即為三角學的開端。

什么是弦表呢？制作弦表的目的是在一個半徑固定的圓中，求給定弧所對的弦長。希帕科斯對各種不同的弧長，列出了對應的弦長（以單位圓為例，弦長已轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)）：

實際的弦表還有很多其他數(shù)據(jù)，利用這個表格就可以解決一系列天文學問題。

古希臘人通過弦表也發(fā)現(xiàn)了弧長與弦長的一一對應關(guān)系，這即是最早的三角函數(shù)。只不過古希臘人還沒有形成“函數(shù)”的概念，他們在不知不覺中使用弧長作為三角函數(shù)的自變量，并且為了單位的統(tǒng)一，他們沿用了古巴比倫人的60進制，將弧長的度量也用60進制表示。

實際上，這也就是弧度的雛形，“弧長與弦長的對應關(guān)系”可以進一步轉(zhuǎn)化為“角的大小與弦長的對應關(guān)系”，由于用弧長作為自變量時需要給定圓的半徑，而用弧度（角的大?。┳鳛樽宰兞縿t無需給定半徑，避免了換算的繁復，這就不難理解后人發(fā)明并引入弧度制這件事是十分自然與必要的。

3 半弦表

公元6世紀，印度數(shù)學家阿耶波多沿用了希帕科斯弦表的思想，進一步制作了半弦表。在其中他把弦所對的弧的一半與半弦對應。觀察下圖，你是否覺得有些熟悉？沒錯，我們知道在單位圓中，這里的半弦也即為正弦。因此印度數(shù)學家發(fā)明的半弦表非常接近現(xiàn)代數(shù)學中正弦的定義。隨后幾百年，文明的交流使得半弦表在阿拉伯、印度、中國等地區(qū)廣為流傳，同時還首次出現(xiàn)了余弦、正切等三角學概念。

但是在這一段時期，各種三角函數(shù)表仍然是給定半徑情況下（半）弧長與（半）弦長的對應關(guān)系，且在形式上大都以表格為主，角的范圍也僅僅局限在內(nèi)，沒有真正形成抽象的“三角函數(shù)”。

4 弧度制的出現(xiàn)與確立

時間來到了14世紀，隨著文藝復興在歐洲興起，數(shù)學與三角學也重新蓬勃發(fā)展起來。

哥白尼的學生，印度數(shù)學家利提克斯在學習古希臘數(shù)學時發(fā)現(xiàn)在給定半徑的圓中角和弧長實際上是可以一一對應的。因此他突破性地改變了正弦的定義，在他之前，正弦的定義是：

利提克斯將其改成了：

這真是一個非常偉大的突破！因為這樣一來三角學中的各種（三角比）定義就不再依賴于圓而可以僅在一個直角三角形中進行討論了。也正是因為如此，角成為了三角函數(shù)的自變量，之后弧度制便逐漸登上了歷史舞臺。

時間又過去了好幾百年，直到那個被蘋果砸中的神一樣男人的出現(xiàn)，微積分終于成為了數(shù)學的主流，進一步地，人們開始研究包括三角函數(shù)在內(nèi)的各種抽象的函數(shù)，而且人們早已習慣用10進制，這當然也包括對弦長的計算。

然而這樣就會造成一個問題：10進制下的弦長與60進制下的角并不統(tǒng)一，人們在查閱三角函數(shù)表時感到無比的繁瑣。在這種情況下，角度制終于不再適宜人們對于數(shù)學研究的需要。

于是乎，人們開始考慮使用新的單位制來度量角的大小，弧度制終于應運而生！弧度大約是在1714年由英國數(shù)學家羅杰·柯特斯提出的，這位偉大的數(shù)學家深刻地意識到這種度量角度的方式的優(yōu)越性與必要性。

5 弧度制與數(shù)學公式的相容性

在弧度制下，許多微分、積分公式和級數(shù)公式在形式上都得到了簡化，這也是為什么后世的數(shù)學家更青睞弧度制的原因。

以數(shù)學分析中最為重要和基本的極限為例：

這個公式正是基于弧度制才顯得如此漂亮簡潔。若這里的角是在角度制下進行討論的話，由于角度制下數(shù)據(jù)是弧度制下數(shù)據(jù)的倍，所以這時重要極限就變成了：

這樣公式就顯得非常不美觀。

再如正弦函數(shù)的導數(shù)公式：

這種簡潔的形式仍然是在弧度制下才能夠出現(xiàn)，在角度制下就會變成：

你會選擇學習哪種公式呢？毫無疑問是前者。

還有包括最為經(jīng)典的“上帝公式”

它將數(shù)學中最為重要的常數(shù)以及兩個最為重要的實數(shù)完美結(jié)合在一起，而這么優(yōu)美的形式必須在弧度制下才能夠產(chǎn)生。

現(xiàn)在你知道為什么我們要學習弧度制了嗎？

參考文獻[1]江灼豪,何小亞.弧度制發(fā)展的歷史溯源[J].數(shù)學通報,2016,55(07):14-17.[2]李忠.為什么要使用弧度制[J].數(shù)學通報,2009,48(11):1-3 7.

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