（2021·重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，．直線交軸于點(diǎn)，是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)作，垂足為，軸，交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最大值；
（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)．是新拋物線上一點(diǎn)，是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法將，代入即可。
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出周長(zhǎng)即可得到最值。發(fā)現(xiàn)△PDE的形狀不變，當(dāng)PD最大時(shí)，周長(zhǎng)最大。與面積最大值問題類似。

<t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根據(jù)$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，運(yùn)用二次函數(shù)最值方法即可求出答案；</t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>

<t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根據(jù)$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，運(yùn)用二次函數(shù)最值方法即可求出答案；</t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>

<t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根據(jù)$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，運(yùn)用二次函數(shù)最值方法即可求出答案；【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過，，
，
解得：，
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）如圖1，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
，，
，
解得：，
直線的函數(shù)表達(dá)式為，
令，得，
解得：，
，
設(shè)，其中$0<t<4$，
點(diǎn)在直線上，軸，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
的周長(zhǎng)為，
令的周長(zhǎng)為，則，
，
當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值，最大值為．
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．</t<4$，
</t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>

<t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe pe='-2(t-2)^{2}+8$，再根據(jù)$\Delta' backsim='' delta='' l='-\frac{6\sqrt{5}+10}{5}(t-2)^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$，運(yùn)用二次函數(shù)最值方法即可求出答案；<t<4$，
（3）如圖2，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，對(duì)稱軸為直線，
①若是平行四邊形的對(duì)角線，
當(dāng)與互相平分時(shí)，四邊形是平行四邊形，
即經(jīng)過的中點(diǎn)，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
②若是平行四邊形的邊，
Ⅰ．當(dāng)且時(shí)，四邊形是平行四邊形，
，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
Ⅱ．當(dāng)且時(shí)，四邊形是平行四邊形，
，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．</t<4$，
</t<4$，根據(jù)點(diǎn)$e$在直線$y=\frac{1}{2}x-1$上，$pe>