同學(xué)們大家好，今天我們來學(xué)習(xí)如何用行列式計(jì)算橢圓的面積。

在中學(xué)的時(shí)候，我們是這樣推導(dǎo)的。設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在  軸上，半長軸和半短軸為  ，則它的圖像是這樣的。

在里面畫上一個(gè)單位圓

直觀上，我們可以看出，它是單位圓在  軸上增長  倍，  軸上增長  倍形成的

如果，把單位圓看成是若干個(gè)矩形組成的。

那么，在圓變成橢圓的過程中，就是把矩形的兩條邊增大了  倍和  倍。

這樣橢圓的面積就是單位圓的  倍,從而得出橢圓面積為  ：  這個(gè)方法雖然很直觀，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。比如肉眼可見的，左邊部分的矩形并沒填滿圓，右邊部分的矩形又超過了圓。

下面，我們借用線代的工具來完成橢圓面積的推導(dǎo)，思路還是剛剛那個(gè)思路。將單位圓在  軸上增長  倍，  軸上增長  倍形成橢圓

只是把這段過程，用矩陣來描述

假如我們可以將圓與橢圓用向量來表示，并且求解出變換矩陣  。那么根據(jù)行列式的幾何意義可以知道，變換后的面積，比上變換前的面積，就等于行列式。這樣

3 圓和橢圓的表示

思路有了，下面開始具體操作。首先寫出圓的參數(shù)方程,因?yàn)閱挝粓A的半徑為1，所以其參數(shù)方程為

據(jù)此，將它改寫成一個(gè)二維向量

  這個(gè)向量存在在二維平面中，當(dāng)  取具體值時(shí)，它就是平面上的一個(gè)點(diǎn),當(dāng)  在  到  范圍內(nèi)變化時(shí)，它就是圓

同樣的，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，可以寫出其向量形式

圓和橢圓現(xiàn)在都已經(jīng)寫成向量形式了，下面就還剩下映射矩陣需要求解

要求解這個(gè)矩陣，還是要回到單位圓變橢圓的思路上來

可以看到，這個(gè)變化過程分為兩步，第一步是在橫向上拉長  倍,第二步就是在豎直方向上拉長  倍

這樣，很容易看出兩次變換所用的矩陣

繼而求出變換矩陣

將它作用在單位圓上,得到的結(jié)果和剛剛橢圓的表達(dá)式相同。

 這再次說明了變換矩陣就是   。

最后，根據(jù)行列式的幾何意義可知

將  ,單位圓面積=  帶入上式可得