周代初期，周公詢問商高（商朝遺民）天文歷法的測(cè)量計(jì)算問題，商高回答說“圓從方來（參考割圓術(shù)），方從矩來，矩根據(jù)乘除計(jì)算而來”?！熬亍痹臼且环N包含直角的作圖工具，其計(jì)算方法為“勾股測(cè)量術(shù)”，如今稱之為“勾股定理”，比古希臘畢達(dá)哥拉斯早了600余年。

以今天的眼光來看，勾股定理屬于基礎(chǔ)知識(shí)，但在3000年前，卻是人類認(rèn)識(shí)世界的一大步，是當(dāng)時(shí)最高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。那么，為何當(dāng)時(shí)中國(guó)人會(huì)發(fā)現(xiàn)勾股定理呢？

近代百年考古，挖出了眾多上古文明遺址，在還原一段又一段上古圖景之余，也慢慢揭開中國(guó)不少文明成果的源流。在勾股定理問題上，學(xué)者研究上古遺物時(shí)，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)時(shí)中國(guó)人一項(xiàng)獨(dú)特的發(fā)明與愛好——三足器，而這極有可能就是發(fā)現(xiàn)勾股定理的歷史淵源。

中國(guó)社科院學(xué)者高大倫指出：“在世界幾大古文明中，三足器之豐富，是中華文明獨(dú)有的。”自然界中沒有三足動(dòng)物，而中國(guó)人做出了三足鼎，無疑是人類歷史上的一項(xiàng)偉大發(fā)明，西方學(xué)者見了中國(guó)的三足器后，對(duì)它的“超穩(wěn)定結(jié)構(gòu)”大為贊嘆。

從考古上看，早在9000年上下時(shí)，中國(guó)人對(duì)三角形可能就有了一定的認(rèn)識(shí)。賈湖文化遺址，距今9000余年，考古出土了夾炭紅陶三足盆形鼎（見下圖）。河北磁山文化遺址，距今8000年上下，考古出土了不少三足陶器。陜西老官臺(tái)遺址，距今8000年上下，也出土了一些三足陶器。

到了距今6000年時(shí)，三足器基本定型，數(shù)量越來越多。山東大汶口遺址，距今6000余年，考古出土了黑陶三足鬲、白陶三足鬶等。夏商周時(shí)期，中國(guó)人對(duì)三足器的愛好更進(jìn)一步，除了三足陶器之外，又出現(xiàn)了三足青銅器，比如三足鼎、三足青銅爵等，數(shù)量繁多，蔚為大觀。直到今天，生活中隨處可見三足的銅陶瓷鼎。

自然界沒有三足動(dòng)物，中國(guó)古人卻發(fā)明了三足器，原因可能是多方面的，但有一點(diǎn)可以肯定，在漫長(zhǎng)的普及過程中，三足器必然提示古人逐漸認(rèn)識(shí)“三角形”，進(jìn)而越來越多的運(yùn)用三角形相關(guān)原理，考古發(fā)現(xiàn)證實(shí)了這一點(diǎn)。

2010年，考古發(fā)現(xiàn)湖北隨州葉家山遺址，西周早期曾國(guó)的一處高級(jí)貴族墓地，考古挖出大批三足青銅器，其中28件為準(zhǔn)桃圓形器口的三足器，專家分析后取得重要發(fā)現(xiàn)。

《葉家山出土三足青銅器的地域特征分析》報(bào)告顯示：“桃圓形”器口形似桃子，由三段弧線組成，三個(gè)頂點(diǎn)分別為三條足與器口外弧相切的三個(gè)點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形。顯然，等腰三角形的出現(xiàn)絕非偶然，背后折射的是商周古人對(duì)三角形早有深刻認(rèn)知，因此商高發(fā)現(xiàn)勾股定理是幾千年來積累的結(jié)果。

其實(shí)，如今眾多考古發(fā)現(xiàn)證實(shí)上古中國(guó)人擁有不俗的幾何知識(shí)。甘肅天水大地灣遺址，距今8000年—4800年，考古挖出四件陶器，體積分別為264.3立方厘米、2650.7立方厘米、5288.4立方厘米、26082.1立方厘米，除了一件大約是2倍倍增之外，其他三件大約都是十倍倍增。顯然，這種現(xiàn)象不可能是偶然的，必然是古人對(duì)幾何有了一定的研究。

從傳世文獻(xiàn)來看，應(yīng)該是古人根據(jù)三足器的形狀，發(fā)現(xiàn)了直角三角形的奧秘，進(jìn)而研究發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)了勾股定理，真正的發(fā)現(xiàn)者未必是商高。

根據(jù)文獻(xiàn)記載，伏羲女媧兩人一手持“規(guī)”（上圖左）、一手持“矩”（上圖右），伏羲創(chuàng)造了“規(guī)”用來畫圓，“矩”用來畫方形。后來，大禹治水時(shí)，便左準(zhǔn)繩、右規(guī)矩的來規(guī)劃方向和形狀，進(jìn)行治水的規(guī)劃。

諸多的記載表明，早在上古時(shí)期中國(guó)人就已經(jīng)使用“規(guī)與矩”，而通過“規(guī)”、“矩”的形狀可知，兩者合在一起是直角三角形。商高對(duì)周公說“圓從方來，方從矩來，矩根據(jù)乘、除計(jì)算而來”，“矩”計(jì)算方法是“勾股測(cè)量術(shù)”，也就是說勾股定理是古人測(cè)量世界的基礎(chǔ)。因此，如果上古已經(jīng)使用“規(guī)與矩”測(cè)量天文地理、制定歷法，那么無疑說明當(dāng)時(shí)已經(jīng)開始運(yùn)用勾股定理。

除了提示古人認(rèn)識(shí)三角形之外，三足器可能還對(duì)中華文明產(chǎn)生了其他重要影響。

在中國(guó)文化中，數(shù)字“三”是一個(gè)神奇符號(hào)，深扎在中華文明的土壤中，很多領(lǐng)域都談到了“三”。比如，《禮記》中說“卜筮不過三”，現(xiàn)代有“事不過三”，古代新婚夫婦有三拜，造字上三人成眾、三木成森、三人成虎、三土成垚，哲學(xué)上的“一生二、二生三、三生萬物”等等。

其中，老子《道德經(jīng)》中的“一生二、二生三、三生萬物”，也可以解釋本文開篇商高的話。按照商高的解釋，矩形是直角測(cè)量工具，方從矩中來，圓從方中來，而直角三角形由三點(diǎn)構(gòu)成，是“一生二、二生三”的產(chǎn)物，最終由此演化出方形、圓形、各種不規(guī)則形狀等，也即老子說的“三生萬物”。老子“三生萬物”的思想未必源于此，但要說兩者毫無聯(lián)系，可能很難讓人相信。

文化源于社會(huì)實(shí)踐，古人對(duì)“三”的高度重視，必然有其社會(huì)來源，而最可能的來源就是三足器。

按照科學(xué)邏輯來說，想要發(fā)現(xiàn)勾股定理，前提必然是較大規(guī)模地運(yùn)用三角形，逐漸發(fā)現(xiàn)直角與非直角三角形的不同，然后天才的靈光一現(xiàn)，才會(huì)發(fā)現(xiàn)直角三角形勾三股四弦五的現(xiàn)象，最終由天才將之總結(jié)為勾股定理。

從如今考古來看，勾股定理的發(fā)現(xiàn)，始于9000年前出現(xiàn)的三足器，經(jīng)過數(shù)千年的普及，與古人不斷地探索，最終發(fā)現(xiàn)直角三角形的秘密——勾股定理，整個(gè)過程漫長(zhǎng)而艱辛，卻符合人類認(rèn)識(shí)世界的邏輯。

與之相反的是，古希臘文明似乎不需要什么積累，畢達(dá)哥拉斯輕松就發(fā)現(xiàn)了“畢達(dá)哥拉斯定理”，之后的古希臘群賢也是如此，在沒有漫長(zhǎng)積累的情況下，突然集體靈光一現(xiàn)，就留下了無數(shù)不朽的科學(xué)著作。