這是老黃見過的最討人厭的中考數(shù)學(xué)壓軸題，來自2021年浙江金華中考。到底有多討人厭呢？看過就知道了，解完人都快要瘋了。

如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC各項點的坐標分別為O(0,0),A(3,3根號3), B(9,5 根號3),C(14,0),動點P與Q同時從O點出發(fā)，運動時間為t秒，點P沿OC方向以1單位長度/秒的速度向點C運動，點Q沿折線OA-AB-BC運動，在OA,AB,BC上運動的速度分別為3, 根號3,5/2(單位長度). 當P,Q中的一點到達C點時，兩點同時停止運動.

(1)求AB所在直線的函數(shù)表達式；

(2)如圖2，當點Q在AB上運動時，求△CPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式及S的最大值；

(3)在P,Q的運動過程中，假設(shè)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過四邊形OABC的頂點，求相應(yīng)的t值.

第(1)小題倒還是送分題，一般用待定系數(shù)法求解。老黃這里先用求斜率的公式，求得AB的斜率，然后用點斜式來求表達式，會簡捷一點。

解：(1)k=(5根號3-3根號3)/(9-3)=根號3/3，

直線AB的表達式為：y=根號3(x-3)/3+3根號3=根號3x/3+2根號3.

第(2)小題要用二次函數(shù)的頂點式求最大值。關(guān)鍵是得到Q點的橫坐標與t的關(guān)系式。

(2)OA=根號(3^2+(3根號3)^2)=6, 【目的是求Q點在OA上經(jīng)過的時間，記為t1】

AB=根號((9-3)^2+(5根號3-3根號3)^2)=4根號3，【同樣是為了求Q點在AB上經(jīng)過的時間，記為t2，在本小題的主要作用是限定t的取值范圍，省略這一步，答案對了也不嚴謹】

t1=OA/3=2s, t2=AB/根號3=4s, 可設(shè)Q(q, 根號3q/3+2根號3) (3≤x≤9),

AQ=根號((q-3)^+(根號3q/3+2根號3-3根號3)^2)=2根號3(q-3)/3=根號3(t-2), 【左邊是兩點距離公式的應(yīng)用，到這里，已經(jīng)應(yīng)用了三次了，右邊是：速度X時間=距離。這一步非常關(guān)鍵，可以推出q和t的關(guān)系】

q=3t/2, 根號3q/3+2根號3=根號t/2+2根號3，【點Q的縱坐標，就是三角形CPQ在PC邊上的高】

S=(根號3 t/2+2根號3)(14-t)/2=-根號3(t-5)^2/4+81根號3/4 (2≤t≤6).

所以當t=5時，S=81根號3/4最大.

第(3)小題就討厭了，因為它的情形實在太多，算起來總共有12種情形。雖然有一部分直觀可以看出來，是不可能存在的。但仍有很多情形。有些不符合的情形就算不做交代，也要算過才能確定它不符合，因此特別討厭。這里有兩種方法可以運用，老黃主要介紹運用“垂直平分線性質(zhì)”的方法，即“垂直平分線上任意一點(即四邊形四個頂點中的任一個)，到線段兩端(就是P點和Q點)的距離相等”。

(3)記P(t,0), BC=根號((9-14)^2+(5根號3)^2)=10, t3=BC/(5/2)=4s.【至此可以知道，t分為三段，分別對應(yīng)點Q在三條線段上】

OA的解析式為：y=根號3x, BC的解析式為：y= -根號3x+14根號3,【為了方便設(shè)Q點的坐標。】

當0≤t≤2時, 可設(shè)Q(q,根號3 q), OQ=2q=3t, Q(3t/2, 3根號3 t/2),

經(jīng)檢驗，OP≠OQ, AP≠AQ, 和BP≠BQ，【別看結(jié)論很簡單，檢驗起來超煩人。而且這樣的檢驗，下面最多還要進行9次】

當CP=CQ時，(14-t)^2=(3t/2-14)^2+(3根號3 t/2)^2,【等式表示的，其實是CP^2=CQ^2，下面絕大多數(shù)都用這種形式，可以避免寫那么多根號】

解得：t=7/4.【你不會以為這個方程很容易解吧，而且下面還要解好幾個可能更難的方程】

當2<t≤6時, 由(2)有Q(3t/2,根號3 t/2+2根號3),

經(jīng)檢驗，OP≠OQ, BP≠BQ, CP≠CQ，

當AP=AQ時，(3-t)^2+(3根號)^2=(3t/2-3)^2+(根號3 t/2+2根號3-3根號3)^2，

解得：t=(3+根號57)/2，或t=(3-根號57)/2<0(舍去). 【老實說，中考考場上得到這樣的根，心里都會沒有什么底。而且下面還會再來一次】

當6<t≤10時, 由設(shè)Q(q, -根號3 q+14根號3),

BQ=根(q-9)^2+(-根號3 q+14根號3-5根號3)^2=2q-18=5(t-6)/2, 【從結(jié)果來看，直接得到BQ=5(t-6)/2也可以，但那樣就無法檢驗A點】

經(jīng)檢驗，OP≠OQ, AP≠AQ, 【就是說，這回有兩種情形，B，C都符合條件】

當BP=BQ時，(9-t)^2+(5根號3)^2=25(t-6)^2/4，

解得：t=(38+20根號2)/7，或t=(38-20根號2)/7<6(舍去)【你看，結(jié)果越來越叫人無語，幸好下面最后一個值比較好求】

當CP=CQ時，14-t=10-5(t-6)/2，解得：t=22/3，

所以t=7/4, 或t=(3+根號57)/2，或t=(38+20根號2)/7，或t=22/3.

第(3)小題還有一種解法，老黃這里只說思路。有興趣可以自己試試，老黃在求第二種情況的時候，似乎遇到了“靈異事件”。

前面部分差不多，就是設(shè)P點的坐標，表示出Q點的坐標，然后求它們的中點M的坐標。再用點斜式設(shè)過M點的直線l，這條直線的斜率與直線PQ的斜率的積等于-1，即它們互相垂直。所以l就是PQ的垂直平分線。然后分別代入O，A，B，C各點的坐標，只要等式成立，就可以求得t值。老黃更喜歡這種方法，無奈在求第二種情形時，死活解不出來正確的答案來。應(yīng)該是粗心的老黃哪里搞錯了吧！