這是中考數(shù)學(xué)壓軸題一道翻折的經(jīng)典部題，更是運(yùn)用分類討論法解決問題的經(jīng)典題型中的經(jīng)典。學(xué)會(huì)解這種題，對(duì)中考數(shù)學(xué)意義非常重大。題目是這樣的：

如圖1,□ABCD，AB//x軸，AB=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是□ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)假設(shè)點(diǎn)P在邊BC上，PD=CD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)假設(shè)點(diǎn)P在邊AB，AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)假設(shè)點(diǎn)P在邊AB，AD，CD上，點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn)，如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線PM，過點(diǎn)G作x軸的平行線GM，它們相交于點(diǎn)M，將△PGM沿直線PG翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案).

解：易求得B(7,-4), C(3,4),【下面極有可能要運(yùn)用到這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此先把它們求出來?！?/p>

(1)當(dāng)PD=CD時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，【如果點(diǎn)P不與C點(diǎn)重合，則因?yàn)榻荂是鈍角，根據(jù)“大角對(duì)大邊”，就必有PD>CD】

(2)設(shè)Q(x,x-1)，則P(x,1-x)或P(-x,x-1), 【前者關(guān)于x軸對(duì)稱，后者關(guān)于y軸對(duì)稱】

直線AD的解析式為：y=(4-(-4))(x-1)/(-3-1)-4=-2x-2,【運(yùn)用了直線的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)取的是A點(diǎn)的坐標(biāo)。斜率k=(yc-yA)/(xc-xA)】

當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí), 1-x=±4, 解得x=5或x=-3,【注意1-x=4時(shí)，x=5對(duì)應(yīng)的是(x,1-x), 1-x=-4時(shí)，x=-3，對(duì)應(yīng)的是(-x,x-1)】

當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí), 1-x=-2x-2或x-1=2x-2, 解得x=-3或x=1,【同上，要注意對(duì)應(yīng)問題。這里運(yùn)用分類討論法，又包含有交叉分類的情況】

∴P(5,-4)或(3,-4)或(-3,4)或(-1,0).

(3)P(6根號(hào)5/5, 4)或(-6根號(hào)5/5, 4)或(-5/2,3)或P(2,-4).【答案可以直接寫出來，分析過程卻非常復(fù)雜，仍運(yùn)用分類討論的方法。分析部分不必寫在解題過程中】

分析：(3)由(2)知G(0,-2), 設(shè)P(p,y)，則M(p,-2),

當(dāng)P點(diǎn)在CD上時(shí), P(p,4), (-3≤p≤3)

若M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在y軸上，則△PMG是等腰直角三角形, 【因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)稱圖形是一個(gè)正方形，這是分類中的分類，即分層分類討論的應(yīng)用】

MG=PM，即p=(4-(-2))=6>3(舍去).【這種情形不存在】

若M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M’在x軸上，則設(shè)M’(m,0),

MG=M’G, 即|p|=根號(hào)(m^2+4),PM=PM’, 6=根號(hào)((p-m)^2+16)，【就是對(duì)稱構(gòu)成全等三角形，三邊相等。全等三角形，有公共邊和兩個(gè)公共頂點(diǎn)，這樣就形成關(guān)于公共邊軸對(duì)稱的關(guān)系】

解得：p=±6根號(hào)4/5. 【這個(gè)方程組很不好解】

P(6根號(hào)4/5, 4)或(-6根號(hào)4/5, 4).

當(dāng)P點(diǎn)在AD上時(shí), P(p,-2p-2), (-3≤p≤1)

易知點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)不在y軸上, 同上有【仍利用全等且對(duì)稱的特殊關(guān)系來分析】

|p|=根號(hào)(m^2+4),PM=PM’, |-2p-2-(-2)|=根號(hào)((p-m)^2+16)，

解得：p=-5/2,【這個(gè)方程組也特別難解】

-2p-2=3, 有P(-5/2,3),

當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí), P(p,-4), (1≤p≤7)

△PMG是等腰直角三角形, MG=MP，即p=(-2-(-4))=2.P(2,-4).

題目雖然挺麻煩，但老黃特別喜歡這樣的題目。學(xué)生的邏輯思維，就是在解這類題目的過程中，慢慢建立起來的。