中考數(shù)學(xué)壓軸常見題型之一，拋物線上的等腰三角形的存在性問題，其實(shí)就是坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用問題。例如下題：

如圖,拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)與直線y=x+1相交于A(-1,0),B(4,m)兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(5,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合)，過點(diǎn)P作直作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E.

①當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形，假設(shè)存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：(1)求拋物線的解析式，最笨的方法就是列出關(guān)于三個(gè)系數(shù)的三元方程組去求解。當(dāng)然也很實(shí)用。這里可以設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，更加簡便。然后代入B點(diǎn)的坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)m是可求的。

(2)①只要設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以得到E點(diǎn)相關(guān)的坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)距離公式列方程求解就可以了。注意，方程會(huì)涉及絕對(duì)值，因?yàn)镻點(diǎn)可能在E點(diǎn)的上方，也可能在E點(diǎn)的下方。

②等腰三角形的存在性問題，肯定要分類討論，通常有三種情形，即三角形的任意兩條邊相等的三種情況。并且根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，列得三個(gè)方程，從而解得每種情形下的答案。或許有某些情形，可以用其它更簡便的方法求解，但很難保證三種情形都能用簡便的方法求解。因此建議全部利用兩點(diǎn)的距離公式列方程求解。而且這三種情形是相互依存的。這也是中考數(shù)學(xué)兩點(diǎn)距離公式最經(jīng)典的運(yùn)用。下面組織解題過程：

解：(1)依題意，可設(shè)拋物線解析式為：y=a(x+1)(x-5),

m=4+1=5，

將B(4,5)代入拋物線的解析式得：5=a(4+1)(4-5), 解得a=-1.

∴拋物線解析式為：y=-(x+1)(x-5)=-x^2+4x+5. 【化為一般形式不是必須的，而是為了下面運(yùn)用的方便】

(2)設(shè)P(p, -p^2+4p+5), 則E(p,p+1)，【這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，下面兩個(gè)問題都要用到，所以寫在第(2)小題解的主干中，有多少人會(huì)注意到這些細(xì)節(jié)呢？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)細(xì)節(jié)的要求是很高的?！?/p>

①當(dāng)PE=2ED時(shí), |(-p^2+4p+5)-(p+1)|=2|p+1|, 【水平或豎直方向上的兩點(diǎn)距離，直接用兩點(diǎn)的橫縱標(biāo)或縱坐標(biāo)的距離表示，即兩個(gè)坐標(biāo)的差的絕對(duì)值】

當(dāng)(-p^2+4p+5)-(p+1)=2(p+1)時(shí)，解得：p=2或p=-1(舍去), -p^2+4p+5=9. 【這是點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方的情形】

當(dāng)(-p^2+4p+5)-(p+1)=-2(p+1)時(shí)，解得：p=6或p=-1(舍去), -p^2+4p+5=-7.【這是點(diǎn)P在點(diǎn)E的下方的情形】

∴P(2,9)或P(6,-7).

②存在. P(0,5)或(4+根號(hào)13,-8-4根號(hào)13)或(4-根號(hào)13,-8+4根號(hào)13)或(3/4,119/16).

【按題目的要求，其實(shí)下面的解題內(nèi)容是可以不寫入試卷中的】

若CE=CB, 則(p-5)^2+(p+1)^2=(4-5)^2+5^2, 【所列方程其實(shí)是CE^2=CB^2，下同】

解得：p=0或p=4(舍去),-p^2+4p+5=5；

若BE=CB,則(p-4)^2+(p+1-5)^2=26,【CB的平方上面其實(shí)已經(jīng)算出來了】

解得：p=4+根號(hào)13, 或4-根號(hào)13；-p^2+4p+5=-8-4根號(hào)13或-8+4根號(hào)13.

若BE=CE,則2(p-4)^2=(p-5)^2+(p+1)^2, 【又在上面的基礎(chǔ)上，直接得到BE^2的最簡表達(dá)式，所以說三種情形是相互依存的，也可以先求出CE，CB，和BE關(guān)于p的表達(dá)式，然后再列三個(gè)方程】

解得：p=3/4, -p^2+4p+5=5=119/16.

所以P(0,5)或(4+根號(hào)13,-8-4根號(hào)13)或(4-根號(hào)13,-8+4根號(hào)13)或(3/4,119/16).

多練一練，中考遇到這種題，就可以輕松地迎刃而解了。