這是中考數(shù)學(xué)壓軸題拋物線類型題中非常常見的一種，求拋物線上平行四邊形是否存在的問題。多練幾次，你會發(fā)現(xiàn)，這種題型特別好解決，而且它是有解題的套路的。老黃前面已經(jīng)介紹過一兩道了，下面又是一道這樣的類型題，再練一練，中考遇到了，答案就是信手拈來的了。題目是這樣的：

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A,C分別在x軸,y軸的正半軸，且OA=4，OC=3，假設(shè)拋物線經(jīng)過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).

(1)求拋物線的解析式；

(2)猜測△EDB的形狀并加以證明；

(3)點M在對稱軸右側(cè)的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.

分析：(1)求拋物線解析式的一般方法，是用待定系數(shù)法，設(shè)函數(shù)的解析式，然后列方程或方程組，通過求方程的解，來確定函數(shù)的系數(shù)。從而得到拋物線解析式。重點在于所設(shè)的解析式將決定求解的速度。這里老黃利用拋物線的對稱軸x=2和最大值y=3，設(shè)成頂點式的形式，是最簡便，最省時的。

(2)猜想這個三角形是等腰直角三角形，可以通過證明直角三角形OED全等于直角三角形ABD，幾乎一步到位。

(3)分析平行四邊形的存在性，一般是分成“AF是對角線”和“AF是邊”兩種情形來分析的，但通過作圖分析之后，可以發(fā)現(xiàn)，按M點在A點的左側(cè)或右側(cè)來分類討論，會更加簡便。

其它解釋內(nèi)容，將寫在解題過程的每個步驟后面的【】中。

解：(1)依題意，可設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-2)^2+3,

代入(0,0)，得4a+3=0, 解得：a=-3/4,

∴拋物線解析式為：y=-3(x-2)^2/4+3=-3x^2/4+3x.

(2)△EDB是等腰直角三角形, 理由如下：

∵OE=DA=1，OD=AB=3，

∴Rt△ODE≌Rt△ABD(SAS). 【不要質(zhì)疑條件不夠，因為還有一對直角】

∴DE=DB, ∠BDE=180?-∠ODE-∠ADB=180?-∠ODE-∠OED=90?.

即△EDB是等腰直角三角形. 【這里相當(dāng)于利用了“一線三直角”的全等三角形判定的逆過程】

(3)可設(shè)M(m, -3m^2/4+3m), m>2. 【這里不需要設(shè)N點的坐標(biāo)，因為N點只要存在就可以，下面并不需要用到它的坐標(biāo)】

(OE+AB)/2=2, ∴F(2,2), 【這里利用了梯形的中位線=(上底+下底)/2，瞧，這種小學(xué)知識，也可以在中考中發(fā)揮很大的作用，否則就必須求直線BE的解析式，再求F點的坐標(biāo)了】

當(dāng)m<4時，-3m^2/4+3m=2, 【這是M點的縱坐標(biāo)等于F點的縱坐標(biāo)。只要滿足這個條件，就有MF//AN，而使AN=MF的點N是一定存在的，所以不需要考慮其它條件?！?/p>

∴m=(6+2根號3)/3.【不符合題意的解m=(6-2根號3)/3被舍去了】

【這種情形下，符合條件的平行四邊形其實是有兩個的，一個以AF為對角線，一個以AF為邊的，如下圖：】

當(dāng)m>4時，-3m^2/4+3m=-2,【這是M點的縱坐標(biāo)和F點的縱坐標(biāo)相反。只要滿足這個條件，就必然存在N點，使MN//AF，且MN=AF，從而所求的平行四邊形存在】

∴m=(6+2根號15)/3.【不符合題意的解m=(6-2根號15)/3被舍去了】

綜上, M((6+2根號3)/3,2)或((6+2根號15)/3,-2).

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