這是高等數(shù)學(xué)關(guān)于微分中值定理的一道題目。微分中值定理包括羅爾中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并稱(chēng)三大微分中值定理。其中羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理則是拉格朗日中值定理的拓展。

下面這道題，很容易讓人想到柯西中值定理的應(yīng)用，而且解起來(lái)似乎特別簡(jiǎn)單，但是如果真的運(yùn)用了柯西中值定理，卻正好跳進(jìn)題目的陷阱，造成連自己都很難發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤。我們直接看題吧：

已知函數(shù)f在[a,b]上可導(dǎo). 證明：存在ξ∈(a,b)，使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f’(ξ).

分析：如果我們把等式改寫(xiě)成：f'(ξ)/(2ξ)=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)。你應(yīng)該馬上會(huì)發(fā)現(xiàn)，這就是函數(shù)f(x)和x^2的柯西中值定理公式形式。因此很容易想到下面的解法：

錯(cuò)誤解法：記g(x)=x^2, 則g’(x)=2x,

f, g在[a,b]上符合柯西中值定理的條件，

∴存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2),

從而有(b^2-a^2)f’(ξ)=g’(ξ)[f(b)-f(a)]=2ξ[f(b)-f(a)].

怎么樣？你發(fā)現(xiàn)上面的解題過(guò)程錯(cuò)在哪里了嗎？其實(shí)我們這里并不能保證f(x)和g(x)=x^2符合柯西中值定理的條件. 因?yàn)槲覀冎荒鼙ＷCf(x)和g(x)在[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，滿(mǎn)足柯西中值定理的條件I和條件II，但卻不一定能滿(mǎn)足g'(ξ)不等于0，以及g(a)不等于g(b)，即不一定滿(mǎn)足柯西中值定理的條件III和條件IV. 所以上面的證明過(guò)程是錯(cuò)誤的。

那到底應(yīng)該怎么證明呢？其實(shí)這里要運(yùn)用的是羅爾中值定理，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)合適的輔助函數(shù)。正確的解法如下：

解：記g(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2, 則

g(x)在[a,b]上可導(dǎo).

由羅爾中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使

g’(ξ)=(b^2-a^2)f’(ξ)-2ξ[f(b)-f(a)]=0,

即2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f’(ξ).

你看明白了嗎？這道題真正考查的，是我們對(duì)柯西中值定理?xiàng)l件的掌握情況。這道題也可以讓我們見(jiàn)識(shí)到數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要性。