這道高考數(shù)學(xué)真題涉及到很多知識(shí)點(diǎn)，包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，以及求導(dǎo)和不等式等知識(shí)。做一題，就可以復(fù)習(xí)很多方面的知識(shí)，非常經(jīng)濟(jì)實(shí)惠。讓我們一起來(lái)看看題目吧！

已知a>0且a≠1, 函數(shù)f(x)=x^a/a^x (x>0). 若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析：這道題用一般的解法，老黃解不出來(lái)。不過(guò)下面的解法也是正確的。只是它并不能適用所有這種類型的題目。換句話說(shuō)，可以用這種解法解這道題，是因?yàn)轭}目本身就是被設(shè)計(jì)好的。因此這種解法并不能形成一種套路。如果用一種解法就可以解決所有同類問(wèn)題，那么這種解法就被老黃稱為套路。

下面老黃邊解題，邊講解。

解：當(dāng)x^a/a^x=1時(shí)，x^a=a^x，【方程的根，就是曲線f(x)與直線y=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)】

等價(jià)于alog_a x-x=0. 【等式兩邊取a為底的對(duì)數(shù)，再移項(xiàng)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，以降低題目的難度】

記g(x)=alog_a x-x, 則g'(x)=a/(xlna) -1. 【接下來(lái)討論g的單調(diào)性】

當(dāng)0<a<1時(shí), g'(x)<0, 即g(x)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，

方程alog_a x-x=0最多只有一個(gè)根.【因?yàn)閲?yán)格單調(diào)函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，這樣就可以排除a在[0,1]的區(qū)間上的可能性】

當(dāng)a>1時(shí)，解方程alog_a x-x=1, 得x=a/lna; 【x=a/lna是g(x)的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此極點(diǎn)的函數(shù)值g(a/lna)必然大于0】

當(dāng)x<a/lna時(shí), g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>a/lna時(shí)，g'(x)<0, g(x)單調(diào)遞減；

又g(a)=0, 【即a是f(x)與直線y=1的一個(gè)交點(diǎn)】

所以a/lna不等于a, 【若極大值點(diǎn)等于0，則與上面矛盾】

即a≠e,

當(dāng)a<a/lna時(shí), 1<a<e, a^3>a/lna, 【目的是找到一個(gè)函數(shù)比0小的點(diǎn)，就可以運(yùn)用根的存在性定理，證明除了x=a，還有另一個(gè)根】

由g(a^3)=3a-a^3<0, 知alog_a x-x=0有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)根,

當(dāng)a>a/lna時(shí), a>e，1<a/lna，【也是為了換到一個(gè)函數(shù)比0小的點(diǎn)】

由g(1)=-a<0, 知alog_a x-x=0有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)根,

綜上，a∈(1,e)U(e,+∞).

解這道題的關(guān)鍵，就是分別在(1,e)和(e,+∞)上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)小于0. 如果這個(gè)點(diǎn)太難找，或者不存在，但是我們找不到又不能下結(jié)論說(shuō)它不存在。那就不能用這種方法解了，因此老黃才會(huì)說(shuō)這種解法不能形成套路. 你有更好的解法嗎？