高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)專題：

高考排列組合問(wèn)題專題方法歸類突破

重要知識(shí)

1.排列與組合的區(qū)別：排列是按照一定的順序排成一列，組合是無(wú)論怎樣的順序并成一組，因此“有序”與“無(wú)序”是區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志．比如：

    （1）高二年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：①每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?，共通了多少封?/span>？②每?jī)扇嘶ノ樟艘淮问郑参樟硕嗌俅问郑?/span>

    （2）高二數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組共10人：①?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？

2.解決的方法主要從以下三個(gè)方面考慮：

   （1）特殊元素、位置優(yōu)先考慮，先組合后排列。

   （2）根據(jù)不同條件選擇相對(duì)應(yīng)的方法處理。

   （3）若正面不好考慮，適當(dāng)選擇間接法。

3.排列、組合問(wèn)題的常見(jiàn)處理方法：

   （1）特殊元素、位置優(yōu)先法

   （2）相鄰問(wèn)題捆綁法

   （3）不相鄰問(wèn)題插空法

   （4）定序問(wèn)題插入法

   （5）重排問(wèn)題求冪法

   （6）排列組合混合問(wèn)題先選后排法

   （7）相同元素問(wèn)題隔板法

   （8）正難反易間接法

   （9）平均分配問(wèn)題除序法

   （10）實(shí)際操作問(wèn)題列舉法

典型例題

題型一：特殊元素、位置優(yōu)先法

例1、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？

解析：1、個(gè)位數(shù)字的排法：3種；2、首位數(shù)字的排法：各位用掉一個(gè),再加上0不可以在首位,則首位的排法有：4種；3、余下數(shù)位上隨便排,有：A(3,4)=24種；則：3×4×A(4,4)=288種

變式1、（1）（2015春·老河口市校級(jí)期末）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（　?。?/span>

   A．60個(gè)  B．48個(gè)    C．36個(gè)     D．24個(gè)

由題意，符合要求的數(shù)字共有2×3A33=36種   故選C

（2）（2014·四川）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（　?。?/span>

A．192種     B．216種      C．240種    D．288種

解析：最右端排乙，共有A55=120種，最右端排甲，最左端不能排乙，有C41A44=96種，根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種．故選：B．

題型二：相鄰元素捆綁策略

例2、7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法？

解析：將甲乙和丙丁分別作為兩個(gè)整體。這樣，先做3個(gè)單元的排列，3!=6種情形。其中，甲乙不同順序有2種情形，丙丁也是2種。上述疊加計(jì)算，一共有 2*2*6=24種排法。

變式2、包括甲、乙、丙三人在內(nèi)的6人站成一排，則甲與乙、丙都相鄰且乙不站在兩端的排法有（　?。?/span>

   A．32種   B．36種  C．42種    D．48種

解析：甲與乙、丙都相鄰的排法有A44A22=48種，其中乙站在兩端的排法有C21A33=12，故滿足條件的種數(shù)為48-12=36，故選：B．

題型三：不相鄰問(wèn)題插空法

例3、一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？

分析 4個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，可采用插空法．其它五個(gè)節(jié)目的安排方式有A55種，5個(gè)節(jié)目有6個(gè)空，從6個(gè)空中選擇4個(gè)安排舞蹈節(jié)目即可．

解答 解：先把2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱排列好，共有A55種種方法；再把4個(gè)舞蹈節(jié)目插入上邊的5個(gè)節(jié)目形成的6個(gè)空位中，有A64種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得所有的排列方法共有A55A64=43200種方法．

變式3、（1）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（　　）

   A．72    B．120     C．144       D．168

解析：1、先將三個(gè)歌舞類節(jié)目全排列，有A33=6種情況，排好后，有4個(gè)空位，2、因?yàn)槿齻€(gè)歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間2個(gè)空位必須安排2個(gè)節(jié)目，分2種情況討論：①、將中間2個(gè)空位安排1個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目，有C21A22=4種情況，排好后，最后1個(gè)小品類節(jié)目放在2端，有2種情況，此時(shí)同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是6×4×2=48種；②、將中間2個(gè)空位安排2個(gè)小品類節(jié)目，有A22=2種情況，排好后，有6個(gè)空位，相聲類節(jié)目有6個(gè)空位可選，即有6種情況，此時(shí)同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是6×2×6=72種；則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是48+72=120，故選：B．

（2）6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（　　）

   A．144     B．120     C．72        D．24

解析：如圖，將6把椅子依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，故任何兩人不相鄰的做法，可安排：“1，3，5”；“1，3，6”；“1，4，6”；“2，4，6”號(hào)位置做熱坐人，故總數(shù)由4=24，故選D.

題型四：定序問(wèn)題插入法

例4、（1）7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？

根據(jù)題意，假設(shè)有7個(gè)位置，對(duì)應(yīng)7個(gè)人，先在7個(gè)位置中任取4個(gè)，安排除甲、乙、丙之外的3人，有A74=840種情況，由于甲、乙、丙3人順序一定，在剩余3個(gè)位置安排3人即可，有1種情況，則共有840×1=840種不同的排法；故答案為：840．

（2）10人身高各不相等排成前后排，每排5人,從左至右身高增加，共有多少排法？

解析：前一排選好5人之后,后一排就是剩下的5人,而且這兩排人一旦確定,根據(jù)從左到右身高逐漸增加的要求,排法也就確定了所以可能的排法就是10人選5人的選法因此就是C(10,5)

變式4、（1）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A，B可以不相鄰），那么不同的排法共有（　?。?/span>

   A．24種  B．60種   C．90種    D．120種

解析：ABCDE五人并排站一排,一共有 6*5*4*3*2*1=120種其中,A在B的左邊和右邊是一樣的,各占一半所以B在A的右邊的方法有 120/2=60 種

（2）用0，3，4，5，6這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的五位數(shù)共有（　?。?/span>

   A．28     B．30      C．36       D．20

答案：C解析：

有3，5兩個(gè)奇數(shù)，2，4，6三個(gè)偶數(shù)，則先選偶數(shù)從3個(gè)數(shù)中任選1個(gè)，兩奇一偶用捆綁法，其余的無(wú)條件限制，即 

題型五：重排問(wèn)題求冪法

例5、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法？

解：完成此事共分6步，第一步：將第1名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案；第二步：將第2名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有76種不同方法

變式5、在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（    ）種.

A.24     B.64     C.81        D.4

解：因?yàn)橐淮芜\(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么對(duì)于冠軍的奪取可能是任何一個(gè)人，那么每一項(xiàng)比賽的冠軍有3種情況，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理得到共有，選C

題型六：排列組合混合問(wèn)題先選后排法

例6、有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.

解析：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 專題：應(yīng)用題 排列組合 分析：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元，第二步，再把4個(gè)元素裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A44=24種方法

變式6、某學(xué)校組織演講比賽，準(zhǔn)備從甲、乙等8名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加時(shí)，他們的演講順序不能相鄰，那么不同的演講順序的種數(shù)為（　?。?/span>

   A．1860   B．1320    C．1140       D．1020

[解析]　若有甲無(wú)乙，C×4?。?80；若有乙無(wú)甲，C×4?。?80；若甲乙都有，C×2！×A＝180.所以共有480＋480＋180＝1 140.故選C.

題型七：相同元素問(wèn)題隔板法

例7、有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？

用隔板法：把10個(gè)運(yùn)動(dòng)員分七組，且每組至少一人，則相當(dāng)于在十個(gè)球之間插6個(gè)隔板，九個(gè)空，6個(gè)隔板 即 C9選6=84

變式7、10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？

答案126用隔板的思維方法解就可以~因?yàn)椴荒苡锌蘸凶?/span>,所以只能有10-1=9個(gè)空位插板需要隔4個(gè)板因此結(jié)果是9×8×7×6/4!=126有126種裝法

題型八：正難反易間接法

例8、將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有？

解析：

變式8、甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（     ）

A．6      B．12      C．30      D．36

解答： 解：甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法可以分為兩類：1、甲、乙所選的課程中2門均不相同，甲先從4門中任選2門，乙選取剩下的2門，有C42C22=6種．2、甲、乙所選的課程中有且只有1門相同，分為2步：①?gòu)?門中先任選一門作為相同的課程，有C41=4種選法；②甲從剩余的3門中任選1門乙從最后剩余的2門中任選1門有C31C21=6種選法，由分步計(jì)數(shù)原理此時(shí)共有C41C31C21=24種．綜上，由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有6+24=30種．故選：C

題型九：平均分配問(wèn)題除序法

例9、6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解析：分析：6本書(shū)平均分給甲、乙、丙三人的問(wèn)題可分為兩步來(lái)解決，先把這6本書(shū)分成3堆，每堆2本，再把分好的3堆給甲、乙、丙三人.

解：6本書(shū)平均分給甲、乙、丙三人的方法共有CC=15×6=90種.

變式9、（1）將來(lái)自四個(gè)班級(jí)的8名同學(xué)（每班2名同學(xué)）分到四個(gè)不同小區(qū)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，每個(gè)小區(qū)2名同學(xué)，剛恰好有2個(gè)小區(qū)分派到的2名同學(xué)來(lái)自同一班級(jí)的分派方案有（　?。?/span>

   A．48種  B．72種    C．144種      D．288種

解析：先從4個(gè)班級(jí)中選2個(gè)，分到4個(gè)小區(qū)中的2個(gè)，（保證恰好有2個(gè)小區(qū)分派到的2名同學(xué)來(lái)自同一班級(jí)），再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)班級(jí)中各選一人，分配剩下2個(gè)小區(qū)的一個(gè)，故有C42C42C21C21C21=288種，故選：D

（2）牡丹花會(huì)期間，5名志愿者被分配到我市3個(gè)博物館為外地游客提供服務(wù)，其中甲博物館分配1人，另兩個(gè)博物館各分配2人，則不同的分配方法共有（　?。?/span>

   A．15種       B．30種    C．90種    D．180種

題型十：實(shí)際操作問(wèn)題列舉法

例10、設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)

盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法？

解析：5球放4盒，必有一盒2個(gè)，其它各1個(gè).捆2個(gè)球當(dāng)一個(gè)進(jìn)行4排列，有C(5,1)*C(5,2)A(4,4)=1200.(2)5全排列-1個(gè)全對(duì)號(hào)入座=5！-1=119.（3）正好2球+正好3球+正好5球=C(5,2)*2+C(5,3)*1+1=31.

變式10、（1）給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有         種。

解析：選用3種顏色時(shí)，必須是1、5同色，3、4同色，與2進(jìn)行全排列，涂色方法有C 4 3 *A 3 3 =24種4色全用時(shí)涂色方法：是1、5同色或3、4同色，有2種情況，涂色方法有C 2 1 *A 4 4 =48種所以不同的著色方法共有48+24=72種；故答案為72．

（2）（2014·安徽）從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)．其中所成的角為60°的共有（　C?。?/span>

   A．24對(duì)     B．30對(duì)    C．48對(duì)     D．60對(duì)

課后作業(yè)

1、（2014·汕頭一模）某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（　?。?/span>

   A．4種        B．10種   C．18種    D．20種

2、（2016·福建校級(jí)模擬）將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，復(fù)旦大學(xué)，中國(guó)科技大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)共有（　?。┓N．

   A．240   B．180   C．150     D．540

3、（2016春·張掖校級(jí)期末）某中學(xué)高三年級(jí)周六一天有補(bǔ)課．其中上午4節(jié)，下午2節(jié)．要排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物課各一節(jié)，要求上午第一節(jié)課不排生物，數(shù)學(xué)必須排在上午，則不同排法共有（　　）

   A．384種      B．408種    C．480種       D．600

4、（2016·太原校級(jí)模擬）某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A、B不能住同一房間，則不同的安排方法有（　?。┓N．

   A．24   B．48     C．96   D．114

5、（2016·山東模擬）某職業(yè)學(xué)校的一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有4名男生和3名女生，若從這7名學(xué)生中任選3名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求既有男生又有女生，則不同選法的種數(shù)是（　?。?/span>

   A．60        B．31    C．30    D．10

6、（2016·沈陽(yáng)一模）將3本相同的小說(shuō)，2本相同的詩(shī)集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有（　?。?/span>

   A．24種        B．28種    C．32種     D．36種

7、（2016·長(zhǎng)春校級(jí)模擬）現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)有（　?。?/span>

   A．6   B．8  C．12    D．16

8、（2016·汕頭模擬）某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必須同地，則不同的選派方案共有（　?。┓N．

   A．27    B．30   C．33     D．36

練習(xí)題答案：(1-9):BCBDC  BCB