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以下文字有對(duì)應(yīng)的視頻，不想閱讀文字的小伙伴請(qǐng)移步至數(shù)字的故事（第一集） 這是一個(gè)長長的故事，讓我們一起來完成它！ 01 誕生如果遇到一個(gè)根本不知道楊輝三角是什么的人，你會(huì)怎么給他介紹這個(gè)數(shù)學(xué)概念呢？ 我們普通人很難記得類似這樣的數(shù)學(xué)術(shù)語的嚴(yán)格定義。然而，但凡知道了楊輝三角的人，要想忘記它都不容易。通常，我們拿起一支筆，隨手寫下這么幾行數(shù)字，然后說，這就是楊輝三角。  手寫楊輝三角 如果你沒有忘記在下面多畫幾個(gè)點(diǎn)作為省略號(hào)，基本上這就算成功地定義了楊輝三角。 這是因?yàn)椋?/span>數(shù)學(xué)本身就是一門語言。 當(dāng)然，你自己心里非常清楚：你自己并沒有死記硬背這幾行數(shù)字，而且你有信心可以再多寫很多行，雖然在續(xù)寫的過程中你甚至并沒有預(yù)先知道接下來要寫的究竟是哪些數(shù)字。 為此，雖然這個(gè)人已經(jīng)大致明白了楊輝三角，你還是想把能夠隨手寫出一個(gè)楊輝三角的“訣竅”告訴他。因此，你會(huì)用自己的語言表述以下這幾點(diǎn)。 楊輝三角是：
這些可以說是給楊輝三角一個(gè)明確的定義，也可以說是總結(jié)了楊輝三角的性質(zhì)。相信你和他都認(rèn)可這些性質(zhì)當(dāng)中，“每一個(gè)數(shù)字都是上一行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)字之和”是楊輝三角最基本的屬性。 當(dāng)我們都認(rèn)可了楊輝三角本身的簡潔之后，未免會(huì)有一點(diǎn)疑惑：為什么要規(guī)定這個(gè)三角形的兩邊的數(shù)字都是“1”呢？或者說，難免產(chǎn)生一點(diǎn)遺憾：這樣簡潔的一個(gè)數(shù)學(xué)概念中，這一條規(guī)定顯得有些啰嗦和多余。 這個(gè)時(shí)候我們不妨變得浪漫一些，充分發(fā)揮創(chuàng)造力和想象力，一起來設(shè)想楊輝三角是如何誕生的。 在一個(gè)無邊無垠的平面上，填滿了數(shù)字“0”。這些數(shù)字的數(shù)量雖然很多，卻滿足： 1??上下兩行交錯(cuò)排列； 2??每一個(gè)數(shù)字是上一行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)字之和。 我們可以認(rèn)為這是一個(gè)虛無的平面宇宙，充滿的數(shù)字是“0”，把這個(gè)宇宙內(nèi)在的規(guī)則深深地隱藏著。 如同物理學(xué)所創(chuàng)造的宇宙大爆炸假設(shè)，不需要任何理由，我們也假設(shè)這個(gè)平面宇宙中有一個(gè)數(shù)字“0”發(fā)生了突變，變成了數(shù)字“1”。于是我們知道，如同宇宙大爆炸之后，繽紛多彩、浩瀚無垠的宇宙就此誕生了。我們的平面宇宙上，一個(gè)神奇的三角形數(shù)字陣列也憑空誕生，基本上也是迅雷不及掩耳之勢(shì)，也是無限制無止境地存在于平面上。  楊輝三角的誕生 這樣一種生成楊輝三角的故事不僅僅是浪漫，而且更充分地顯示了楊輝三角的簡潔，只需要數(shù)字是交錯(cuò)排列，每一個(gè)數(shù)字是上一行相鄰兩個(gè)數(shù)字之和，這樣最基本的屬性。甚至我們不用去定義它是三角形形狀，它有無窮多行，這些特點(diǎn)都顯而易見了。同時(shí)，我們也不需要解釋為什么三角形兩邊的數(shù)字都是“1”，因?yàn)檫@些“1”也是上一行兩個(gè)相鄰數(shù)字之和，這兩個(gè)數(shù)字一個(gè)是 1 ，一個(gè)是 0 ，相加后也還是 1 。 當(dāng)然，我們?cè)僖淮慰吹剑?/span>每一個(gè)數(shù)字是上一行相鄰兩個(gè)數(shù)字之和”這一屬性在楊輝三角中具有關(guān)鍵性的作用。 02 第一個(gè)等比數(shù)列通常在介紹了什么是楊輝三角之后，我們馬上都會(huì)順帶補(bǔ)一句：這個(gè)三角形還很有意思的，比如把它每一行的數(shù)字求和。 楊輝三角本身就是一個(gè)關(guān)于數(shù)字的游戲，所以我們用其中的數(shù)字來玩一些把戲也未嘗不可。在手寫楊輝三角的過程中，幾乎是不知不覺中就可以發(fā)現(xiàn)每一行數(shù)字不斷增加的趨勢(shì)。前面幾行的數(shù)字計(jì)算又不復(fù)雜，順手把它們加起來，就得到了這樣的結(jié)果： 1 2 4 8 16 32 … …  這是一個(gè)數(shù)列，特征還挺明顯的：每一個(gè)數(shù)字都是前一個(gè)數(shù)字的 2 倍。在二進(jìn)制大為流行的計(jì)算機(jī)時(shí)代，這個(gè)數(shù)列被很多人所熟知。數(shù)學(xué)家們稱其為等比數(shù)列，因?yàn)樗暮箜?xiàng)與前項(xiàng)之比為一個(gè)常數(shù)。 要描述一個(gè)等比數(shù)列，最重要的是給出公比，也就是后項(xiàng)和前項(xiàng)的比值，在這個(gè)例子中公比等于 2 。一般來說，公比不能等于 0 。當(dāng)公比等于 1 的時(shí)候，這個(gè)數(shù)列就成為常數(shù)數(shù)列，每一項(xiàng)的數(shù)字都相同。另外，描述等比數(shù)列通常還要給出首項(xiàng)的值，在這個(gè)例子中首項(xiàng)等于 1 。于是，我們可以用這樣一個(gè)通項(xiàng)公式表示這個(gè)數(shù)列：
在通項(xiàng)公式中，用帶有腳標(biāo) n 的字母來表示數(shù)列第 n 項(xiàng)的值，等式右邊通常是一個(gè)包含字母 n 的算式，可以據(jù)此計(jì)算出一個(gè)確定的數(shù)值。在我們的討論中，如果不加另外說明，n 都是從 0 開始的自然數(shù)。 為什么楊輝三角的各行數(shù)字之和可以形成這樣一個(gè)等比數(shù)列呢？其實(shí)很好解釋：我們選一行進(jìn)行觀察，這一行的每個(gè)數(shù)字都是上一行兩個(gè)相鄰數(shù)字之和。于是上一行的每個(gè)數(shù)字都被加了兩遍，所以這一行的數(shù)字之和是上一行數(shù)字之和的兩倍，這是顯而易見的結(jié)果。  如果用
同時(shí)我們還知道楊輝三角第 0 行只有數(shù)字“1”，求和后顯然是
這樣一來，和前面的等比數(shù)列一模一樣的 我們還可以更仔細(xì)觀察新的一行究竟是如何產(chǎn)生的。將相加的兩個(gè)數(shù)字上下寫出來，實(shí)際上就是將上一行的所有數(shù)字寫了兩遍。所以，新的一行是上一行的兩倍，這個(gè)結(jié)論同樣明顯。  更有趣的是，用這個(gè)視角我們看到了新一行的產(chǎn)生過程就是上一行錯(cuò)位相加的過程?！板e(cuò)位相加”這個(gè)獨(dú)特的視角將給我們帶來意想不到的延續(xù)，讓我們拭目以待吧。 03 第二個(gè)等比數(shù)列在手寫楊輝三角的過程中，如果我們寫得過于潦草隨意，也許會(huì)是這個(gè)樣子。 寫成這樣，稍微有點(diǎn)數(shù)字敏感性的話，就會(huì)發(fā)覺前面幾行的數(shù)字?jǐn)D在一起，居然分別是 11 的平方、立方和四次方?？紤]到 1 可以是 11 的 0 次方，11 是 11 的一次方。我們已經(jīng)可以肯定楊輝三角前面幾行這些數(shù)字?jǐn)D在一起就是 11 的 n 次方（首行為第 0 行）。隨之就大膽猜測(cè)這個(gè)結(jié)果能夠一直延續(xù)。 于是我們借助計(jì)算器得到 11 的 5 次方等于 161051 。顯然這和第 5 行的數(shù)字 1 5 10 10 5 1 的關(guān)聯(lián)性就不是那么直接了。后面 4 位的 1051 似乎還是維持了前面的規(guī)律，然而，前面的兩位 16 和 1 5 10 這三個(gè)數(shù)字是什么關(guān)系呢？ 有人也許會(huì)很快看出來，有人可能就一直沒看明白。 如果將 1 5 10 這三個(gè)數(shù)字“擠”在一起，同時(shí)考慮到 10 應(yīng)該有進(jìn)位的話，得到的結(jié)果是 160，同樣的考慮方法，后面三個(gè)數(shù)字 10 5 1 “擠”在一起，得到的是 051，同時(shí)有個(gè)進(jìn)位 “1”。 用一個(gè)豎式將這種想法寫出來，就要直觀很多。（果然，數(shù)學(xué)就是一門語言。） 這個(gè)可以算作是我們自己的一個(gè)小小的發(fā)現(xiàn)吧！伴隨著發(fā)現(xiàn)小秘密的喜悅，當(dāng)然我們就想驗(yàn)證這是不是一定成立的規(guī)律。 結(jié)果不言而喻。 結(jié)論是：考慮到進(jìn)位因素，楊輝三角第 n 行的數(shù)字“擠”在一起形成的多位數(shù)，等于 在前面我們提到了“錯(cuò)位相加”，現(xiàn)在又得到了公比為 11 的等比數(shù)列。將“錯(cuò)位相加”和數(shù)字“11”聯(lián)系起來，應(yīng)該不是一件困難的事情。 小學(xué)數(shù)學(xué)老師曾經(jīng)教給過我們，一個(gè)數(shù)乘以 11 的速算方法就是錯(cuò)位相加。 數(shù)字 abc 可以寫作 100a+10b+c，乘以 11 就是分別乘以 10 和 1 再相加，也就是 1000a+100b+10c 與 100a+10b+c 相加，得到 1000a+100(b+a)+10(c+b)+c。 如果這個(gè) abc 本身就是 11 的 n 次方，比如說楊輝三角第 3 行的數(shù)字組成的 1331 ，是 11 的3 次方，它錯(cuò)位相加的過程也就是乘以 11 的過程，得到的就是 11 的 n+1 次方。所以，楊輝三角的第 3 行的數(shù)字錯(cuò)位相加后，得到的是楊輝三角第 4 行的數(shù)字就是 11 的 4 次方。 這個(gè)流程的源頭來自于楊輝三角的第 0 行，數(shù)字 1 本身也是 11 的 0 次方。 我們的豎式運(yùn)算中，用到錯(cuò)位相加如果有進(jìn)位問題，自然而然就進(jìn)位了。楊輝三角產(chǎn)生新一行的過程中如果出現(xiàn)了兩位數(shù)或者以上的數(shù)字，那么我們把它們“擠”在一起的時(shí)候，當(dāng)然就要補(bǔ)上“進(jìn)位”這個(gè)環(huán)節(jié)了。 04 二項(xiàng)式定理“錯(cuò)位相加”是一個(gè)法寶，有了它，我們就可以討論楊輝三角和二項(xiàng)式定理的聯(lián)系了。 首先要復(fù)習(xí)一下什么是二項(xiàng)式定理。教科書上是用完全平方和公式
來開啟我們對(duì)二項(xiàng)式定理的認(rèn)知的。 這個(gè)公式其實(shí)就是兩數(shù)之和的平方展開式。仿造這個(gè)公式，還可以寫出兩數(shù)之和的立方、四次方甚至更高次的展開式。
同時(shí)，我們可以補(bǔ)上 0 次方和 1 次方的結(jié)果：
將這些等式統(tǒng)一整理，并且把系數(shù)“1”也明確地寫出來，我們清楚地看到這些系數(shù)和楊輝三角各行的數(shù)字完全一樣。 于是我們猜測(cè)有這樣的結(jié)論：兩數(shù)之和 n 次方展開式的各項(xiàng)系數(shù)就是楊輝三角第 n 行的各個(gè)數(shù)字。 要把猜測(cè)落實(shí)為我們的信仰，只需要用“錯(cuò)位相加”這個(gè)法寶，將兩數(shù)之和展開式的遞進(jìn)過程搞清楚就可以了。我們以兩數(shù)之和 3 次方到 4 次方的過程為例。從 3 次方到 4 次方，只需要乘以一個(gè)
為了把錯(cuò)位相加展示得清晰一些，我們把這個(gè)過程用豎式來展現(xiàn)： 3 次方展開式中的各項(xiàng)系數(shù)已經(jīng)是楊輝三角第 3 行的各個(gè)數(shù)字，乘以 從 3 次方到 4 次方的演進(jìn)過程適合于兩數(shù)之和展開式的任意 n 次方到 n+1 次方，所以，我們已經(jīng)可以堅(jiān)信：兩數(shù)之和 n 次方展開式的各項(xiàng)系數(shù)就是楊輝三角第 n 行的各個(gè)數(shù)字。 用一個(gè)算式寫出來就是：
其中帶有腳標(biāo)的字母 c 表示的是楊輝三角第 n 行的各個(gè)數(shù)字。 在這個(gè)算式，令
這是不是再次驗(yàn)證了楊輝三角中藏著 （未完待續(xù)?。?/span> |
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