女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
到了秦漢時(shí)代，和繪畫有關(guān)的藝術(shù)變得多樣。比如畫在布絹上的帛畫，畫在墻壁上的壁畫，把油漆涂在器物上的漆器……不過那個(gè)時(shí)代最出名的，是畫在磚瓦上的畫，它就是如今大名鼎鼎的“秦磚漢瓦”。
“秦磚漢瓦”彰顯出那一時(shí)期建筑裝飾的輝煌。那時(shí)的建筑墻面不是素面的，磚瓦上刻著各種各樣的圖案，人物、動(dòng)物、植物，無所不包……
秦磚漢瓦中的“瓦”，指的就是秦漢建筑藝術(shù)中的精髓——瓦當(dāng)。
中國(guó)古建筑主要以木結(jié)構(gòu)為主題，瓦當(dāng)覆蓋于屋頂木結(jié)構(gòu)之上，用來保護(hù)椽頭免收風(fēng)雨侵蝕，同時(shí)又美化裝飾了屋檐。
瓦當(dāng)中的大宗是云紋瓦當(dāng)，約占到存世瓦當(dāng)總數(shù)的70%左右。云紋在瓦當(dāng)被大量使用并非偶然，它裝飾在建筑上，像一朵朵繚繞的祥云，更襯托出建筑雄壯巍峨、高聳入云的非凡氣勢(shì)，含有吉祥福瑞之意。
從數(shù)學(xué)角度看，云紋瓦當(dāng)是把對(duì)稱用于設(shè)計(jì)的絕佳例子。
如圖1.3.1，一個(gè)圓形的瓦當(dāng)被四等分，每部分各飾一卷云紋。變幻莫測(cè)的云朵被抽象化，雕刻成螺旋線，云朵化為運(yùn)動(dòng)的線條，仿佛被賦予了生命。
如圖1.3.2，10卷云紋作同向旋轉(zhuǎn)，極具動(dòng)態(tài)的美感。
不難看出，秦漢的云紋由商周青銅器上的云雷紋演變而來。螺旋形作圓形者，通稱為云紋，其作為方形者通稱為雷紋，青銅器上方、圓兼用，故常常稱之為“云雷紋”。瓦當(dāng)上拋棄了方形，只剩下圓形的云紋。
商周青銅器把螺旋線排成一行，形成了飾帶對(duì)稱群。而云紋瓦當(dāng)把螺旋線排成一圈，形成了二面體群和循環(huán)群。上圖1.3.1的瓦當(dāng)圖案，4個(gè)T形云紋圍成一圈形成了D4對(duì)稱。上圖1.3.2的圖案，10個(gè)C形云紋圍成一圈形成了C10對(duì)稱。
除了觀察整體的對(duì)稱性之外，觀察云紋螺旋線的構(gòu)成細(xì)節(jié)也很有趣，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些螺旋線都是基于一種極其簡(jiǎn)單的線條——圓弧。如圖1.3.3，它是由分居垂直軸線兩側(cè)分布的半圓形連接而成。如果我們自由發(fā)揮，改變拼接半圓的方式，就會(huì)創(chuàng)作出各種各樣的有趣圖案。除了螺旋線之外，還有形如蝸牛、逗號(hào)、葉片、煙斗、水袖、花邊一樣的圖案。
圖1.3.3 由半圓形構(gòu)成的蝸牛、逗號(hào)、葉片、煙斗、水袖、花邊圖案
這表明了一個(gè)道理，即便是半圓這種簡(jiǎn)單的圖形也擁有極大的多樣性。用每步構(gòu)造的選擇乘以構(gòu)造的步驟，可以得到最后生成圖案的數(shù)量，顯然，這個(gè)數(shù)字是以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的。大自然擅長(zhǎng)這種游戲：數(shù)以百萬計(jì)的天然蛋白質(zhì)都僅由20種氨基酸組裝而成，而雪花也都是由不起眼的水分子排列而成的。人類的設(shè)計(jì)也像大自然一樣：只需要最簡(jiǎn)單的圖案，就能獲得巨大的設(shè)計(jì)多樣性。
在數(shù)學(xué)中，圖1.3.3的平面曲線類型被稱為分段圓曲線(Piecewise Circular Curves)[1]，廣泛應(yīng)用于制造業(yè)的幾何建模[2]。顧名思義，分段圓曲線是由圓弧連接而成的。這些弧線可能取自同一個(gè)圓，也可能取自不同半徑的圓。
其中一個(gè)比較有趣的是圖1.3.4中形如鞋匠刀的曲線。在一般的鞋匠刀曲線中，兩個(gè)較小的半圓不需要大小相同。如果它們大小一樣，那么得到的曲線就是對(duì)稱的鞋匠刀曲線。鞋匠刀曲線有三個(gè)遠(yuǎn)房親戚，不同之處在于較小的半圓是凹陷還是凸出。如圖所示，我們可以只讓第一個(gè)半圓變凸，只讓第二個(gè)半圓變凸，或者兩個(gè)半圓都變凸。值得一提的是，右上角那個(gè)對(duì)稱的形如心形的曲線和圓一樣具有一個(gè)有趣的特性——任意一條穿過心窩點(diǎn)的線都會(huì)把曲線切成長(zhǎng)度相等的兩部分。
圖1.3.4 第一行是對(duì)稱的“鞋匠刀”曲線，以及它的三個(gè)變例；第二行是它們的非對(duì)稱圖案。
如圖1.3.5，把上面幾個(gè)圖沿著大半圓邊緣一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可以形成風(fēng)格化的卐字圖案，這種圖案在羅馬馬賽克藝術(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)。顯然，它們都屬于C4對(duì)稱。
圖1.3.5 馬賽克藝術(shù)中的鞋匠刀卐字符號(hào)和它的變例
如圖1.3.6，把這種卐字圖案以不同的方式組合在一起，會(huì)形成更多有趣的圖案。
圖1.3.6 鞋匠刀卐字符號(hào)組合而成的圖案
如果我們繼續(xù)放寬限制，引入四分之一圓弧，再加入反射變換，就會(huì)創(chuàng)作出更加豐富多彩的圖案。如圖1.3.7~1.3.9，把一個(gè)簡(jiǎn)單的分段圓曲線先進(jìn)行反射變換，再連續(xù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，最終形成一系列復(fù)雜的星形圖案，酷似伊斯蘭藝術(shù)中繁復(fù)的幾何裝飾。簡(jiǎn)單的幾何變換讓單調(diào)乏味的圓弧如同生物分子，不斷進(jìn)行自我復(fù)制，最終形成繽紛復(fù)雜的生命。正如老子所言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”
圖1.3.7 自組織箭頭圖案的幾何變換1
圖1.3.8 自組織箭頭圖案的幾何變換2
圖1.3.9 自組織箭頭圖案的幾何變換3
簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)術(shù)，圓弧生萬物。不管你信不信，反正我是信了。
1 T. Banchoff and P. Giblin, "On the Geometry of Piecewise Circular Curves," The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5, May, 1994, pp. 403-416.
2 J. R. Rossignac and A. Requicha, "Piecewise-Circular Curves for Geometric Modeling," IBM Journal of Research and Development, Vol. 31, No. 3, May 1987, pp. 296-313.
最后照例放幾本扯犢子書目
青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。
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