圖1. 遇見數(shù)學公眾號上的視頻截屏

遇見數(shù)學公眾號發(fā)了一個視頻“ 的結果是什么？”，它是圍繞歐拉公式 討論的。我們都知道，。而 。這個視頻就是把這兩個事實結合起來得到 。它大約等于 。

這個視頻很有意思。我本來期待他能做一點展開，但對于一個七分半鐘的視頻，我們確實不能太過強求。

在大家看完視頻之后，我想問一句，通過這么個視頻，你只收獲了這樣一個小題目嗎？有沒有想到，我們還能挖出什么有意思的問題來？比如，你有沒有想過， ,，或者 。今天我們就考慮這樣的幾個問題。

面對 這樣的問題，我們還容易想到更高的冪。如果我們記 , , ，我們會得到一個什么樣的序列？顯然，我們不會總是得到實數(shù)。比如， 。如果你能打開Google網頁，在搜尋框里輸入 i^i^i 就可以得到這個結果。依次類推，有 ， ...... 但我們似乎看不出有什么美妙的結果。

為了得到更多的點，讓我們采用美國應用數(shù)學家John Cook寫的一段Python程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100
z = np.empty(N, dtype=complex)
z[0] = 1j
for k in range(1, N):
    z[k] = 1j**z[k-1]

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(z.real, z.imag, '.')
ax.set_aspect(1)
ax.set_xlabel("$x$")
ax.set_ylabel("$y$")
plt.savefig("temp.png")

得到的圖像就是下圖：

看上去，這上面有三條螺線，但它只是由一個單一的序列生成。這其實就是實數(shù)與復數(shù)的一個本質區(qū)別。為了看出這個單一序列 的走向，讓我們把上面的程序稍作修改。將“ax.plot”那一行中最后的“.”換成“-”并重新運行。得到的就是：

從圖4，我們可以期待這個序列有一個極限值 。讀者可以修改上面的程序來找到它的近似值。它大約是 。

有人可能會問，這個數(shù)太普通了，有沒有什么簡單的表達式？答案：“是”也“不是”。這里需要談到乘積對數(shù)函數(shù)（Lambert W function）。所謂乘積對數(shù)函數(shù)，也稱作朗伯W函數(shù)或歐米加函數(shù)。它是 的反函數(shù)。在實數(shù)軸上， 的定義域是 ，值域是 。所以，乘積對數(shù)函數(shù) 的定義域是 ，值域是 。這個函數(shù)被稱為乘積對數(shù)函數(shù)是因為它有許多性質與對數(shù)函數(shù)類似。關于這個函數(shù)應該專門寫一篇。有人想寫嗎？這里我們需要的就是一條性質：。記 。那么顯然 。兩邊取自然對數(shù)，得 。為了得到 函數(shù)得形式，我們可以做一些代數(shù)變換，得到

對上式得兩邊取 函數(shù)，

由此

關于 函數(shù)，我們可以在網上得到它的值。比如Wolfram Alpha就可以用。我們看到，雖然我們得到了 的一個表達式，但這個式子并沒有太大的幫助。不過我們還是學到了點東西。不是嗎？

從一段7分半鐘的視頻，我們可以學到更多的東西。如果大家覺得這篇短文能幫助自己學到點什么，那么本文達到了目的。最后我把前面沒有回答的問題留給讀者，然后給朋友們再出兩道題：

題1. 計算 。答案是：.

題2. 計算 。答案是：.

References:

• 視頻 | i^i 的結果是什么？

• John Cook, i^i^i

• Lambert W-Function

• Lambert W function