|作者：曹則賢(中國(guó)科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2022年第5期

一錘定音的本領(lǐng)來(lái)自對(duì)十八般兵器的樣樣精通。

——作者

11 龐加萊的論證

圖22 一輩子眼神不好的大神龐加萊

龐加萊(Henri Poincaré，1854—1912)，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師、哲學(xué)家，數(shù)學(xué)界最后一個(gè)啥都懂的人(圖22)。龐加萊以數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的身份聞名于世，其對(duì)相對(duì)論和量子力學(xué)的建立都有開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，參見拙作《磅礴為一》。龐加萊的物理研究涉及各個(gè)領(lǐng)域，自然會(huì)關(guān)切黑體輻射的研究。龐加萊批評(píng)普朗克的理論缺失振子間交換能量的機(jī)制，為此他提出兩個(gè)可能：其一為多普勒效應(yīng)，不同運(yùn)動(dòng)速度的振子會(huì)發(fā)出不同的頻率；其二，不同本征頻率振子間的碰撞導(dǎo)致頻率遷移。這個(gè)批評(píng)對(duì)黑體輻射研究意義不大。龐加萊對(duì)量子力學(xué)的重要貢獻(xiàn)，是他于1912年證明了振子模型中能量量子化是得到普朗克黑體輻射公式(差個(gè)因子2。有解釋說(shuō)那時(shí)候還沒有光子自旋的概念，但那時(shí)候早已有的表示)的充分必要條件。龐加萊的這個(gè)工作，為自1900年普朗克用能量量子化假設(shè)，即一定頻率的光其能量為hv的整數(shù)倍，得到黑體輻射后物理學(xué)家們理解(擺脫)量子概念的努力劃上了句號(hào)。能量量子化是得到普朗克分布的充分條件很容易驗(yàn)證。實(shí)際上，普朗克一直在努力要證明能量量子化是沒必要的，如果不是錯(cuò)的，甚至為此在1913年得到了零點(diǎn)能等重要概念(見上)。直到龐加萊的這個(gè)數(shù)學(xué)證明出來(lái)以后又過(guò)了一段時(shí)間，普朗克才消停，而不是如一般量子力學(xué)文獻(xiàn)所述的那樣，到了愛因斯坦1905年用能量量子化解釋了光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果就消停了。龐加萊此一工作在眾多的量子力學(xué)教科書中未見有提及。筆者再次重申，從理論嚴(yán)謹(jǐn)性的角度來(lái)看，龐加萊的這個(gè)論證是不可或缺的，否則能量量子化一直就是個(gè)讓人，至少是普朗克本人，無(wú)法放心的假設(shè)。這個(gè)證明，是普朗克、愛因斯坦這種數(shù)學(xué)水平的人不可能完成的任務(wù)。從實(shí)用的角度來(lái)看，它是通往量子統(tǒng)計(jì)和固體量子論的橋梁，懂得這個(gè)道理后更加容易理解量子統(tǒng)計(jì)。愛因斯坦、艾倫菲斯特等人在龐加萊此項(xiàng)工作的基礎(chǔ)上很快系統(tǒng)深化了固體量子論。愛因斯坦1917年閑來(lái)無(wú)事又考慮黑體輻射公式提出了受激輻射的概念，1924年見到玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)的相空間量子化假設(shè)就得出了玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)和玻色—愛因斯坦凝聚，這是愛因斯坦令筆者崇拜不已的小細(xì)節(jié)。

龐加萊在1911年開始思考一個(gè)問(wèn)題，是否不引入量子不連續(xù)性也能得到普朗克公式[H. Poincaré，Sur la theorie de quanta(量子的理論)，J. Phys.2，5-34(1912)]？他發(fā)現(xiàn)結(jié)論是No. 龐加萊分析振子同原子運(yùn)動(dòng)之間的能量分配(partition)問(wèn)題。振子的平均能量和輻射的能量密度關(guān)系是基于隨機(jī)相位近似得到的。還是從玻爾茲曼分布開始，若相空間體積元為dV，則狀態(tài)落在此部分里的概率為e-E/kTdV，這是統(tǒng)計(jì)的基本原則。換個(gè)表達(dá)，可以表示為能量間隔里的概率，dW=Ce-E/kTω(E)dE，其中按定義ω(E)=dV/dE，這是能量E所包含的相空間體積V關(guān)于能量之導(dǎo)數(shù)。龐加萊研究函數(shù)的性質(zhì)。系統(tǒng)的平均能量為；也就是說(shuō)，平均能量和狀態(tài)密度函數(shù)ω(E)是通過(guò)拉普拉斯變換聯(lián)系起來(lái)的。對(duì)于經(jīng)典振子，ω(E)=1，則有。若振子的平均能量是，則要求量子化的能量nε，n=0，1，2，3…。因?yàn)橐馕吨?，展開，得到相應(yīng)的狀態(tài)密度函數(shù)ω(E)=δ(E)+δ(E-ε)+δ(E-2ε)+…。龐加萊的結(jié)論是，和平均能量唯一兼容的權(quán)重函數(shù)就是ω(E)=δ(E)+δ(E-ε0)+δ(E-2ε0)+…，ε0=hv。普朗克量子化是普朗克分布公式的充分必要條件。這意思是說(shuō)，某些分布函數(shù)只能是分立存在的結(jié)果。

按照上述理論，后來(lái)我們知道對(duì)應(yīng)玻爾茲曼、費(fèi)米—狄拉克和玻色—愛因斯坦三種分布的態(tài)密度函數(shù)ω(E)分別就是ω(E)=1；ω(E)=δ(E)+δ(E-ε)，和ω(E)=δ(E)+δ(E-ε)+δ(E-2ε)+…。其實(shí)對(duì)于兩態(tài)的系統(tǒng)，平均能量就是，這和它是不是遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)。這樣看來(lái)，所謂的費(fèi)米統(tǒng)計(jì)和玻色統(tǒng)計(jì)并沒有本質(zhì)上的差別。設(shè)想如果有某種我們認(rèn)定的玻色子，被限制在了一個(gè)兩能級(jí)體系中，那么它的行為也就是費(fèi)米子。1917年，愛因斯坦得到兩能級(jí)體系的能量密度與振子平均能量關(guān)系是，將代入，因?yàn)?，結(jié)果依然是普朗克分布！注意，x很大時(shí)，；若x→0，。后者對(duì)應(yīng)瑞利—金斯分布的情形。

，得到普朗克公式是水到渠成的事兒。然而，這個(gè)公式里的n是從0開始的。能量為0的狀態(tài)，是存在的狀態(tài)嗎？筆者學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的時(shí)候，一直有這個(gè)疑惑。一個(gè)諧振子，能量等于0，那叫有振動(dòng)？謝天謝地，我的這個(gè)疑惑不是因?yàn)榫臀覀€(gè)性別扭，原來(lái)艾倫菲斯特早就注意到了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)巧妙的解決是存在零點(diǎn)能，即大自然的(微觀)諧振子能量不是nhv，而是(n+1/2)hv。大數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律要求從n=0算起，但n=0物理上不合理，于是有了零點(diǎn)能1/2。太神奇了吧？這個(gè)情節(jié)鏈，寫小說(shuō)的都不敢這么安排。物理學(xué)，比小說(shuō)精彩。此外，關(guān)于普朗克譜分布公式的推導(dǎo)，都是關(guān)于一個(gè)固定的頻率獲得一個(gè)表達(dá)式的，但黑體輻射是關(guān)于頻率變化的公式，頻率是連續(xù)的變量！這里面有個(gè)概念的騰挪，你注意到了沒有？這又是個(gè)大坑！

關(guān)于龐加萊的證明，有如下參考文獻(xiàn)：

[1] J. D. Norton，The determination of theory by evidence：The case for quantum discontinuity 1900-1915，JSTOR97，1-31(1993).

[2] F. E. Irons ，Poincaré’s 1911-12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms，Am. J. Phys.69(8)，879-884(2001).

龐加萊對(duì)相對(duì)論和量子力學(xué)的貢獻(xiàn)都是奠基性的、一錘定音式的。他對(duì)量子化條件作為黑體輻射公式的充分必要條件的一錘定音，其意義不下于強(qiáng)調(diào)洛倫茲變換要構(gòu)成群對(duì)狹義相對(duì)論的意義。這一點(diǎn)，在物理文獻(xiàn)中竟然長(zhǎng)期被忽略了。能夠率先自發(fā)地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，筆者為自己感到驕傲。

12 勞厄的小插曲

圖23 勞厄

勞厄(Max von Laue，1879—1960)和愛因斯坦同年，1914年因晶體的X-射線衍射獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)(圖23)。勞厄1899年在20歲上才開始上大學(xué)，先后上了斯特拉斯堡(現(xiàn)屬法國(guó))大學(xué)、哥廷恩大學(xué)、慕尼黑大學(xué)，1902年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，跟隨普朗克學(xué)習(xí)，1906年就在索末菲手下獲得了私俸講師的資格。勞厄著述頗豐，主要在X-射線和相對(duì)論方面，就不在此一一羅列了。有一本關(guān)于物理學(xué)史的，Max von Laue, Geschichte der Physik, Universit?tsverlag(1946)，被翻譯成了多種語(yǔ)言。

勞厄1915年發(fā)表了兩篇關(guān)于黑體輻射的文章，Max von Laue, Die Einsteinschen Energieschwankungen(愛因斯坦的能量漲落)，Verh. der Deutsch. Phys. Ges.17, 237-245(1915)；以及M. von Laue，Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie(一個(gè)概率計(jì)算的定理及其在輻射理論上的應(yīng)用)，Annalender Physik(Series 4)47，853-878(1915)，愛因斯坦對(duì)后一篇論文的回復(fù)是在同一期雜志上發(fā)表的，見A. Einstein，Antwort auf eine Abhandlung M. von Laue: Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie, Annalen der Physik (Series 4)47，879-885(1915).

勞厄思考的問(wèn)題是，表示自然輻射之振動(dòng)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，統(tǒng)計(jì)上可以當(dāng)作獨(dú)立的存在對(duì)待嗎？勞厄的結(jié)論是，從這個(gè)傅里葉展開的系數(shù)看，統(tǒng)計(jì)上需要的輻射無(wú)序，不可能是空間上無(wú)序的眾多振子共同造成的。輻射的無(wú)序，源于單個(gè)振子之輻射的無(wú)序。筆者對(duì)這段內(nèi)容看不懂，尤其是黑體輻射的愛因斯坦推導(dǎo)、相位相干的激光和黑體輻射的無(wú)序源于單個(gè)振子輻射的無(wú)序，這三個(gè)內(nèi)容筆者一直無(wú)法在物理圖像上加以調(diào)和。

傅里葉分析在托勒密的天文學(xué)中即已孕育成型。筆者以為對(duì)傅里葉分析之思想角度的認(rèn)識(shí)還有提升的空間。勞厄的這個(gè)小插曲很重要。把傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)當(dāng)成統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的存在對(duì)待，愛因斯坦是認(rèn)同的，是按照ja處理的。1925年，海森堡(Werner Heisenberg，1901—1976)為構(gòu)造譜線強(qiáng)度也是把傅里葉系數(shù)當(dāng)作獨(dú)立對(duì)象對(duì)待的。這兩篇文章要放到一起參詳，并關(guān)注是否有后續(xù)的發(fā)展。容筆者有時(shí)間仔細(xì)研讀后再補(bǔ)充。

13 泡利的推導(dǎo)

圖24 泡利，著名的物理學(xué)的鞭子

奧地利物理學(xué)家泡利(Wolfgang Pauli，1900—1958)是個(gè)天才型人物，以對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)和預(yù)言中微子而聞名，獲1945年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)(圖24)。泡利出生于維也納，從大學(xué)入學(xué)到博士畢業(yè)在德國(guó)慕尼黑大學(xué)整整花了三年時(shí)間。泡利的物理基礎(chǔ)非常好，熟悉熱力學(xué)，Pauli lectures on physics 包含 thermodynamics and the kinetic theory of gases(卷3)以及Statistical mechanics(卷4)，可資為證。泡利1921年博士畢業(yè)后去給馬克思?玻恩當(dāng)助手，一年后去了哥本哈根。1923年這篇關(guān)于黑體輻射的論文就是年僅23歲的泡利在哥本哈根期間寫的。

1923年是老量子力學(xué)已積累了足夠多的內(nèi)容、新量子力學(xué)馬上要誕生的一年(Quantenmechanik一詞出現(xiàn)于1924年)。愛因斯坦1916年的黑體輻射推導(dǎo)，是基于輻射場(chǎng)同分子能級(jí)上的電子躍遷之間的平衡。那么，對(duì)于根本沒有內(nèi)能級(jí)的對(duì)象，比如電子，同輻射場(chǎng)構(gòu)成的體系呢？泡利要找到輻射與自由電子之間相互作用的量子版機(jī)理，使得麥克斯韋分布的電子同普朗克分布的輻射能處于平衡[Wolfgang Pauli, über das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung und freien Elektronen(輻射與自由電子之間的熱平衡)，Zeitschrift für Physik18，272-286(1923)]。愛因斯坦為原子體系(通過(guò)光吸收—發(fā)射)找到了如下的量子機(jī)理。吸收和受激輻射都是Erzwungene(被迫的)過(guò)程，平衡是自發(fā)輻射(體系自身的性質(zhì)，幾率由系數(shù)A描述)與受迫過(guò)程(吸收+受激輻射。體系在輻射場(chǎng)下的行為，雙向的幾率由系數(shù)B乘上ρ來(lái)描述)的競(jìng)爭(zhēng)。只要，則輻射能量和物質(zhì)體系的內(nèi)能就是平衡的。愛因斯坦證明，如果認(rèn)為轉(zhuǎn)移了能量E的基本過(guò)程還伴隨了動(dòng)量的轉(zhuǎn)移(方向隨機(jī))，則物質(zhì)系統(tǒng)的平動(dòng)能也可以納入這個(gè)模型。

如果輻射場(chǎng)里是電子這樣的基本粒子，那里就沒有自發(fā)輻射這回事兒了(沒有內(nèi)部自由度，自然就沒有可見光能撬動(dòng)的內(nèi)部自由度)，只需要考慮電子的平動(dòng)能。采用康普頓和德拜的物理(X-射線與電子之間的散射)，光有能量hv和動(dòng)量hv/c，電子有動(dòng)量和能量。光場(chǎng)和電子散射的幾率正比于dΩ=2πsinθdθ(這是三維空間的權(quán)重因子)，正比于入射光的強(qiáng)度，這都沒問(wèn)題，還得有一個(gè)依賴于入射頻率v和散射角的函數(shù)。湯姆森的理論是，這個(gè)因子為，與頻率無(wú)關(guān)。我們將看到，熱平衡問(wèn)題對(duì)這個(gè)比例因子沒要求。如果過(guò)程v→v ′幾率正比于譜密度ρv，結(jié)果平衡態(tài)時(shí)是維恩分布{有個(gè)疑問(wèn)哈，這是因?yàn)樯⑸溥^(guò)程是頻率減小的過(guò)程？那反康普頓效應(yīng)如何納入，會(huì)帶來(lái)什么樣的影響呢？}，而如果對(duì)與不同頻率輻射的相互作用做個(gè)適當(dāng)假設(shè)的話，就能得到普朗克分布。

電子和光子的動(dòng)量四矢量各不相同，E2-(pc)2=m2c4，光對(duì)應(yīng)上式m=0的情形。光、電子在散射前后，動(dòng)量四矢量肯定都滿足模平方是不變量啊。根據(jù)狹義相對(duì)論，找到一個(gè)Normalkoordinatensystem[正規(guī)坐標(biāo)系，見Erwin Schr?-dinger，Dopplerprinzip und Bohrsche Frequenzbedingung(多普勒原理與玻爾的頻率條件)，Physikalische Zeitschrift23，301-303(1922)]，經(jīng)過(guò)基本過(guò)程輻射頻率和電子的速度都不變，也即在這個(gè)參照系內(nèi)沒發(fā)生射線與電子之間的能量交換。在接下來(lái)的相對(duì)論變換處理中，泡利巧妙地用到了一段時(shí)間里發(fā)生的基本過(guò)程數(shù)目應(yīng)該是洛倫茲不變的，則單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的基本過(guò)程數(shù)目同時(shí)間的變換是相反的。一通操作后泡利得到，那個(gè)幾率權(quán)重函數(shù)的形式應(yīng)該為，其中Φ是某個(gè)洛倫茲變換不變量，E，U分別是輻射和電子的能量。由于這個(gè)權(quán)重因子一般寫為F=Aρv，而洛倫茲變換意義下ρv∝v3[Kurd von Mosengeil，Berl. Diss.，1906；Theorie der station?ren Strahlungin einem gleichf?rmig bewegten Hohlraum(勻速運(yùn)動(dòng)空腔內(nèi)靜態(tài)輻射的理論)，Annalen der Physik22，867-904(1907)。詳細(xì)討論見下]，故得，其中Ψ是洛倫茲變換不變量。這個(gè)權(quán)重因子一般寫為F=Aρv，這樣的平衡條件下得到的是維恩分布?？梢钥紤]給這個(gè)權(quán)重因子加一項(xiàng)，類比于經(jīng)典的干涉起伏(Interferenzschwankungen)，選擇F=Aρv+Bρv2，發(fā)現(xiàn)不好使，而寫成F=Aρv+Bρvρv1，就得到普朗克分布了。這個(gè)表達(dá)式的意思是，當(dāng)輻射場(chǎng)中頻率為v和v1的輻射都有時(shí)，過(guò)程v→v1更經(jīng)常發(fā)生。{薩哈離化方程也有這個(gè)意思。終態(tài)的空，是物理過(guò)程的關(guān)鍵因素！此外，請(qǐng)注意撲克牌游戲也表明，一手牌如何出才算正確，不僅取決于手中還有的牌，也取決于已經(jīng)出了的牌。}

到此時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)這些物理巨擘們總是通過(guò)添巴添巴點(diǎn)什么就能從維恩分布過(guò)渡到普朗克公式。維恩分布同普朗克分布之間的關(guān)系，絕不是什么經(jīng)典與量子的關(guān)系。把物理分成什么經(jīng)典的與量子的，應(yīng)該是不懂物理的特征表現(xiàn)。普朗克分布在愛因斯坦模型里是受激輻射，是波動(dòng)性，在泡利模型里是初態(tài)—終態(tài)關(guān)聯(lián)，故而愚以為維恩分布某種意義上是考慮了一次項(xiàng)的結(jié)果，而普朗克分布還考慮了二次項(xiàng)修正，對(duì)應(yīng)物理上的兩態(tài)過(guò)程，這與量子不量子的無(wú)關(guān)。黑體輻射研究只是捎帶著產(chǎn)生了量子理論。這修正了筆者關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。龐加萊的量子化是得到普朗克黑體輻射譜分布公式的充分必要條件是關(guān)于振子型物理體系的結(jié)論。

順便提一句，泡利問(wèn)問(wèn)題從來(lái)不給人留面子。據(jù)說(shuō)一些對(duì)自己到底在干什么心里根本沒底兒的所謂實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家干脆以儀器壞了為由拒絕泡利參觀實(shí)驗(yàn)室，也是機(jī)靈到極致了。

14 玻色的推導(dǎo)

圖25 玻色

印度人玻色是一個(gè)典型的polymath型的學(xué)者(圖25)。玻色1913年大學(xué)畢業(yè)，1915年碩士畢業(yè)，據(jù)說(shuō)總考第一，他的朋友薩哈(Meghnad Saha，1893—1956)總考第二。玻色和薩哈是親密朋友，構(gòu)成了一個(gè)研究聯(lián)合體。{薩哈關(guān)于原子離化的公式與相空間、統(tǒng)計(jì)有關(guān)，這和玻色的學(xué)問(wèn)極為接近。順帶說(shuō)一句，愛因斯坦在伯爾尼時(shí)和朋友Conrad Habicht，Maurice Solovine組成了三人學(xué)習(xí)小組，自稱奧林匹亞學(xué)園，Akademie Olympia13)}據(jù)說(shuō)當(dāng)年一個(gè)德國(guó)植物學(xué)家P. J. Bruhl來(lái)到了印度，隨身攜帶大量的德語(yǔ)科學(xué)書籍。這位老兄原本計(jì)劃到印度悠閑地多讀幾本書，結(jié)果發(fā)現(xiàn)印度太熱，于是急忙逃離連書都不要了。薩哈和玻色兩人因此得以熟讀玻爾茲曼、普朗克、維恩等人的著作。此外，一個(gè)叫Debendra Mohan Bose的印度人1919年從德國(guó)回到印度，給玻色又帶回了普朗克的書，這也就容易理解玻色為什么會(huì)研究黑體輻射問(wèn)題了。玻色精通熱力學(xué)和電磁學(xué)理論，從1916年起開始研究相對(duì)論，故非常熟悉愛因斯坦的工作。1918年，薩哈和玻色兩人聯(lián)手在英國(guó)的Philosophical Magazine雜志上發(fā)表了關(guān)于氣體動(dòng)力學(xué)的文章[Megh Nad Shaha, Satyendra Nath Basu14)，On the influence of the finite volume of molecules on the equation of state, Philosophical Magazine36, 199-202(1918)]，算是初試牛刀。1919年的愛因斯坦因廣義相對(duì)論而家喻戶曉，玻色與薩哈兩人努力把愛因斯坦的相對(duì)論德語(yǔ)表述翻譯成英文。1921年，玻色開始教授熱力學(xué)和麥克斯韋的電磁理論。據(jù)說(shuō)是薩哈讓玻色注意泡利和艾倫菲斯特等人新近推導(dǎo)普朗克分布的努力。1923年，玻色向Philosophical Magazine雜志投了一篇稿件，宣稱統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法即足以研究輻射—物質(zhì)間的熱平衡，與能量交換過(guò)程的具體機(jī)制無(wú)關(guān)。6個(gè)月后，玻色被拒稿。

1924年6月4日，玻色給愛因斯坦寄去一封德語(yǔ)信，信中寫道：

“尊敬的先生，我斗膽隨信發(fā)給您一篇文章向您請(qǐng)教。我急切地想知道您的看法。我試圖不依賴經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)而只通過(guò)假設(shè)相空間的體積單元為h3就能得到普朗克定律里的系數(shù)8πv2/c3。我的德語(yǔ)水平不足以把這篇文章翻譯成德語(yǔ)。如果您認(rèn)為這篇文章還值得發(fā)表，請(qǐng)您安排它在Zeitschrift für Physik上發(fā)表，對(duì)此我不勝感激。盡管我們素不相識(shí)，但我在做出上述請(qǐng)求時(shí)沒有任何猶豫，因?yàn)殡m然我們只能通過(guò)您的文章受教于您，我們也都是您的學(xué)生。

您真誠(chéng)的

玻色”

我必須說(shuō)，這是一封真誠(chéng)的、禮貌周到的信函。愛因斯坦于7月2日回復(fù)了一張明信片，不長(zhǎng)，照錄如下：

“Lieber Herr Kollege, ich habe ihre Arbeit übersetzt und der Zeitschrift für Physik zum Druck übergehen. Sie bedeutet einen wichtigen Fortschritt und hat mir sehr gut gefallen. Ihre Einw?nde gegen meine Arbeit finde ich zwar nicht richtig. Denn das Wiensche Verschiebungsgesetz setzt die undulationstheorie nicht voraus und das Bohrsche Korrespondenzprinzip ist überhaupt nicht verwendet. Doch dies thut nichts. Sie haben als erster den Facktor quantentheoretische abgeleitet wenn auch wegen des Polarisations-Faktor 2 nicht ganz streng. Es ist ein sch?ner Fortschritt.

Mit freundlichen Grüss Ihr

Albert Einstein

愛因斯坦的回復(fù)可簡(jiǎn)單翻譯如下：

親愛的同事先生，我已將您的工作翻譯了，并交給 Zeitschrift für Physik 雜志刊印。您的工作意味著一個(gè)重要的進(jìn)展，我很喜歡。您對(duì)我本人的工作的挑剔我以為并不正確，因?yàn)榫S恩的位移公式不以波動(dòng)理論為前提，也根本沒用到玻爾的對(duì)應(yīng)原理。當(dāng)然了，這沒關(guān)系。您首先用量子理論導(dǎo)出了(普朗克公式的)因子，盡管關(guān)于極化因子2的部分不那么嚴(yán)謹(jǐn)。這確實(shí)是一個(gè)漂亮的進(jìn)展。

致以友好的問(wèn)候，您的

阿爾伯特·愛因斯坦

我必須說(shuō)，對(duì)愛因斯坦的這個(gè)回復(fù)，我不知道說(shuō)啥好。

愛因斯坦接受了玻色的請(qǐng)求，把他的文章翻譯成了德文。不知道玻色對(duì)愛因斯坦公式的挑剔是不是在英語(yǔ)原文中有更多體現(xiàn)。愛因斯坦在提交德語(yǔ)譯文給雜志時(shí)還附上了一個(gè)便條，上寫道：“我認(rèn)為，玻色對(duì)普朗克公式的推導(dǎo)是一個(gè)重要的進(jìn)展。這里用到的方法也能得到理想氣體的量子理論。關(guān)于這一點(diǎn)，我會(huì)在別處展開(Boses Ableitung der Planckschen Formel bedeutet nach meiner Meinung einen wichtigen Fortschritt. Die hier benutzte Methode liefert auch die Quantentheorie des idealen Gases, wie ich an anderer Stelle ausführen will)?！?/p>

派斯在愛因斯坦傳記中認(rèn)為，玻色1924年的文章是老量子力學(xué)的第四篇也是最后一篇革命性文章，前三篇分別是Planck(1900)，Einstein(1905)和Bohr(1913)那三篇。我比較認(rèn)同這個(gè)說(shuō)法。

在其1924年的第一篇關(guān)于黑體輻射的文章[S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lightquantenhypothese(普朗克定律與光量子假說(shuō))，Zeitschrift für Physik26，178-181(1924).此為玻色人生里的第6篇論文]里，玻色指出普朗克推導(dǎo)中使用的量子論的前提與經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)不符。所有的推導(dǎo)都使用了關(guān)系，其中E是作為振子的平均能量，還假設(shè)了以太自由度的數(shù)目，即公式右側(cè)的第一項(xiàng)，其是從經(jīng)典理論導(dǎo)出的。這是所有推導(dǎo)中令人不滿意的地方，也因此人們?cè)噲D找到一個(gè)克服這個(gè)邏輯缺陷的推導(dǎo)。在我看來(lái)，所有的推導(dǎo)邏輯上都不夠堅(jiān)挺，而我覺得量子假設(shè)加上統(tǒng)計(jì)物理就足以導(dǎo)出普朗克公式而無(wú)需再用到經(jīng)典理論。

設(shè)總能量為E的輻射被限制在體積為V的物理空間里。。由Ns表征的分布，其概率應(yīng)該在滿足輔助能量條件的前提下取最大。這個(gè)概率的表示是我們要找尋的物理。輻射量子有動(dòng)量hνs/c。這些量子們的狀態(tài)由x，y，z和px，py，pz表征，且。{經(jīng)典物理混合著量子假設(shè)。請(qǐng)記住，色散關(guān)系，色散關(guān)系，色散關(guān)系！}相空間積分，這意思是說(shuō)，如果把相空間分成h3大小的小室15)，則在頻率v→v+dv之間的小室數(shù)目為個(gè)。至于為什么這么分，這沒啥可說(shuō)的(In bezug auf die Art dieser Einteilung kann nichts Bestimmtes gesagt werden!)。為了計(jì)入存在偏振的事實(shí)，這個(gè)數(shù)改為。玻色對(duì)愛因斯坦擅自加上這個(gè)因子2老大不高興。

現(xiàn)在計(jì)算狀態(tài)的熱力學(xué)概率。在頻率范圍vs→vs+dvs內(nèi)有Ns個(gè)量子。這Ns個(gè)量子在頻率范圍vs→vs+dvs內(nèi)的小室中分布，記，設(shè)內(nèi)中沒有量子的小室數(shù)目為As0個(gè)，有一個(gè)量子的小室數(shù)目為As1個(gè)?，這就變成了在約束Ns=0·As0+1·As0+?之下去計(jì)算復(fù)合體數(shù)，{再次強(qiáng)調(diào)一遍，即所謂的complexion，有時(shí)候就說(shuō)是狀態(tài)數(shù)。接下來(lái)玻爾茲曼1877年的舊手段就可以用了}當(dāng)然還有As=As0+As1+?，寫成。系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)為。做變分，共有如下幾項(xiàng)變分：(1)，總能量E固定；(2)δNs=；(3)；和(4)=0，這些是極值條件。由

解得；{后來(lái)統(tǒng)計(jì)物理中老出現(xiàn)的配分函數(shù)}進(jìn)一步地，，。返回頭，由E和S的表達(dá)式，

使用?S/?E=1/β，解得β=kT。{復(fù)述上述內(nèi)容時(shí)對(duì)于有些標(biāo)記我作了改動(dòng)?？纯慈思以谕茖?dǎo)時(shí)，一點(diǎn)不受約束。玻色總是把當(dāng)作大數(shù)處理，雖然也可以為0，1，2這樣的小數(shù)目。咱們敢嗎？忽然想到，玻色被拒稿是不是也有點(diǎn)兒道理。}

玻色的推導(dǎo)簡(jiǎn)單明了，但它有三個(gè)新穎、激進(jìn)的特征。(1)黑體輻射由0-質(zhì)量，動(dòng)量為hν/c(那時(shí)候關(guān)系p=hv/c才剛寫出一年半)、能量為hv的類粒子光量子組成，它們被當(dāng)作粒子進(jìn)行排列組合；(2)沒有涉及經(jīng)典理論。所謂獨(dú)立的、穩(wěn)衡的振動(dòng)模式數(shù)被粒子相空間的小室(數(shù)目)給替代了；(3)玻色的在小室中分配頻率區(qū)間內(nèi)量子數(shù)目的統(tǒng)計(jì)規(guī)律意味著粒子間存在一種新的統(tǒng)計(jì)相關(guān)。這種特征被稱為粒子不可分辨性(全同性)，只和計(jì)數(shù)方式有關(guān)。將相空間整數(shù)化，相較于普朗克的能量整數(shù)化，看似是個(gè)進(jìn)步。其實(shí)，相空間量子化是幾何的玩法，量子就是首先被黎曼在1859年作為幾何對(duì)象引入的。物理幾何化也是物理的后來(lái)發(fā)展方向。這些算是關(guān)于光的行為和統(tǒng)計(jì)的革命性看法。玻色的文章稱輻射是無(wú)質(zhì)量粒子。{光子，photon，這個(gè)名字1926年才出現(xiàn)}因?yàn)槲蘸桶l(fā)射，熱輻射作為粒子集合那就有粒子數(shù)不守恒問(wèn)題。在這些認(rèn)知下，用一種新的統(tǒng)計(jì)方式描述，得到了普朗克統(tǒng)計(jì)。

玻色對(duì)普朗克推導(dǎo)用到的ad hoc假設(shè)感到很困惑，{確實(shí)讓人困惑。當(dāng)年我一直也弄不清楚哪來(lái)的諧振子}。玻色認(rèn)為需要一個(gè)新的和量子理論相洽的統(tǒng)計(jì)力學(xué)，把關(guān)于能量交換基本過(guò)程的機(jī)制的假設(shè)放棄，就能消除那些邏輯缺陷。普朗克公式里的因子8πv2dv/c3是單位體積內(nèi)輻射量子態(tài)的總數(shù)。

玻色的第二篇文章依然是愛因斯坦翻譯成德語(yǔ)發(fā)表的[S. N. Bose. W?rmegleichgewicht im Strahlungsfeld bei Anwesenheit von Materie(有物質(zhì)在場(chǎng)時(shí)輻射場(chǎng)的熱平衡)，Zeitschrift für Physik27, 384-393(1924)]。玻色指出，德拜從統(tǒng)計(jì)導(dǎo)出普朗克公式，不過(guò)還是用到了經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，那里普朗克公式里的因子是能量量子化了的振子的數(shù)目。可將理解為6-維相空間中的量子，即基本區(qū)域(Elementargebiet)，的數(shù)目。愛因斯坦利用的是輻射場(chǎng)同帶(內(nèi)稟)能級(jí)的原子之間的相互作用，而在1923年德拜、艾倫菲斯特和泡利等人的理論模型中出現(xiàn)的是輻射場(chǎng)同電子間的相互作用，由此也能導(dǎo)出普朗克公式(見上節(jié))。愛因斯坦和艾倫菲斯特的多光子過(guò)程，是對(duì)自己和泡利工作的推廣。泡利的關(guān)于正、反過(guò)程之概率表達(dá)可以推廣為

玻色認(rèn)為上述推導(dǎo)包含不必要的假設(shè)，物質(zhì)在輻射場(chǎng)中的熱平衡依然可以用統(tǒng)計(jì)的方法得到而不必涉及具體的能量交換機(jī)制。{這正體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的威力啊!}況且，體系狀態(tài)的概率就是兩者各自概率的乘積，所謂的平衡態(tài)就是整體體系的概率最大。若平衡時(shí)輻射場(chǎng)是普朗克分布，物質(zhì)是麥克斯韋分布，那相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系是什么樣的呢？

關(guān)于輻射，譜范圍ν→ν+dν的量子數(shù)為Nνdν，相空間單元數(shù)為，則W=。{此處有小錯(cuò)。這個(gè)表達(dá)式應(yīng)為。你敢拿微分表示做階乘嗎？你敢拿連續(xù)量作為連乘的指標(biāo)嗎？小數(shù)的階乘你也敢用Maclaurin展開對(duì)付嗎？反正玻色敢而我不敢，我學(xué)的數(shù)學(xué)誤導(dǎo)了我}關(guān)于物質(zhì)粒子，相空間也是分成小區(qū)域的。每一個(gè)小區(qū)域中有一個(gè)數(shù)g給出任意粒子處于其中的概率，{啥意思，為啥啊?}這個(gè)數(shù)g可以是各處相同的，則N個(gè)粒子在不同小室里分布的分布數(shù)是，條件是當(dāng)粒子滿足麥克斯韋分布時(shí)這個(gè)分布數(shù)最大，{原文誤為E}.對(duì)于平衡時(shí)系統(tǒng)的分布數(shù)，滿足和，注意，玻色這里注意到了光量子數(shù)是不守恒的！光量子沒有粒子數(shù)守恒問(wèn)題。所謂平衡，則是粒子那邊的狀態(tài)的一上一下調(diào)整，以及光量子這邊的一上一下調(diào)整的過(guò)程(散射)，由此引起的W的變化應(yīng)為零。條件是，。{當(dāng)年的審稿估計(jì)不嚴(yán)，擱現(xiàn)在這篇亂糟糟的文章估計(jì)不好發(fā)表}這相當(dāng)于德拜那里的條件。玻色接下來(lái)分析了愛因斯坦、泡利和愛因斯坦—艾倫菲斯特的模型，給出了具體的平衡條件。此處細(xì)節(jié)不贅述。

愛因斯坦對(duì)玻色的第二篇文章的評(píng)論是，“您的原理同如下兩個(gè)條件不相容：(1)吸收系數(shù)獨(dú)立于輻射密度；(2)輻射場(chǎng)中振子的行為應(yīng)該作為極限情況從統(tǒng)計(jì)規(guī)律得到?！辈Ｉ荒芙邮苓@種觀點(diǎn)。1925年兩人在柏林相遇，愛因斯坦建議玻色考慮兩件事：(1)新統(tǒng)計(jì)是否意味著光量子之間有新的相互作用？(2)在新量子理論中光量子統(tǒng)計(jì)和躍遷概率是怎樣的？結(jié)果都沒下文。

據(jù)Partha Ghose回憶，玻色有自己的構(gòu)造量子論的方法，基于自發(fā)輻射和受激輻射之間的關(guān)聯(lián)，擬作為其第三篇文章的主題。愛因斯坦是將自發(fā)輻射和受激輻射當(dāng)作獨(dú)立的過(guò)程處理的。玻色說(shuō)他打算從新觀點(diǎn)看待輻射場(chǎng)，把能量量子的傳播同任何電磁影響分開來(lái)，而且如果量子論要想同廣義相對(duì)論合拍的話，這種分離就是必要的。但是玻色關(guān)于黑體輻射的第三篇文章一直沒有蹤影。1924—1925年在法國(guó)和德國(guó)待了一段時(shí)間后，玻色從柏林回到印度，后來(lái)就沒有研究成果了。

Ghose的回憶還提及，玻色晚年曾坦承他獲得普朗克公式的因子是4πν2/c3而不是8πν2/c3。玻色認(rèn)為這多余的因子2可能來(lái)自光子有一個(gè)單位的自旋，同自身的傳播方向平行或者反平行。{這是螺旋性的概念吧。再說(shuō)，photon的概念1926年才有的}玻色是用孟加拉語(yǔ)說(shuō)的“那老頭兒把這個(gè)給劃掉了!”愛因斯坦簡(jiǎn)單地代之以這個(gè)因子2來(lái)自光的偏振。也許愛因斯坦以為沒必要談?wù)摴獾淖孕?。而玻色認(rèn)為，對(duì)一個(gè)粒子來(lái)說(shuō)，偏振是什么意思啊？{愚以為，玻色的這個(gè)質(zhì)疑是有道理的?？墒菍?duì)光這種動(dòng)量空間的粒子來(lái)說(shuō)，也許偏振是有意思的？我覺得今天所謂量子光學(xué)沒有，也許是因?yàn)闆]有能力，面對(duì)這個(gè)問(wèn)題。}

玻色在這兩篇論文里的玩法，是愛因斯坦早已經(jīng)玩得溜溜的了。因此，愛因斯坦看到玻色的論文愿意為他翻譯，并且說(shuō)他也要接著做些工作。愛因斯坦說(shuō)到做到，1924年一篇，1925年兩篇，且在第二篇論文中引入了凝聚(玻色—愛因斯坦凝聚)的概念。

關(guān)于玻色的工作，如下幾篇文獻(xiàn)可供參考：

[1] Kameshwar Wali, The man behind Bose statistics, Physics Today59(10), 46-52(2006).

[2] Robert Bruce Lindsay and D. ter Haar, Men of physics: Lord Rayleigh-The Man and his work, Pergamon (1970).

[3] Mehra Jagdish, Golden age of theoretical physics, World Scientific (2001).

[4] Barry R. Masters, Satyendra Nath Bose and Bose-Einstein statistics, Optics and photonics news, 41-47, April 2013.

上述內(nèi)容寫好一段時(shí)間后我注意到了如下內(nèi)容。波蘭人納坦松(W?adys?aw Natanson，1864—1937)在1911年[W. Natanson，über die statistische Theorie der Strahlung(輻射的統(tǒng)計(jì)理論)，Physikalische Zeitschrift12，659-666(1911)]指出，推導(dǎo)出普朗克公式的前提是能量量子的不可分性。P個(gè)能量量子(Energiequanten)在N個(gè)能量載體(Energiehalter)分配，可能組合數(shù)為。如果是可分的，就少P!項(xiàng)，{載體反正是不可分的？}結(jié)果就是玻爾茲曼分布。因此，有Natanson—Bose—Einstein統(tǒng)計(jì)的提法。然而，愚以為似乎不然。Bose—Einstein統(tǒng)計(jì)另有深意。關(guān)于粒子組合與統(tǒng)計(jì)，見Paul Ehrenfest, Heike Kamerlingh Onnes, Vereinfachte Ableitung der kombinatorischen Formel, welche der Planckschen Strahlungstheorie zugrunde liegt(作為普朗克輻射理論基礎(chǔ)的組合公式的簡(jiǎn)化推導(dǎo))，Annalen der Physik46，1021-1024(1915)。在這篇文章里，艾倫菲斯特指出，愛因斯坦處理他的光量子的方式是，P個(gè)相同的、完全分立的量子(gleichartige, voneinander losgel?ste Quanten)，當(dāng)其所處空間的體積不可逆地從N1變到N2時(shí)，{用N表示體積，是不是容易看成是某個(gè)體積單元，Raumzellen，的倍數(shù)？}相應(yīng)的熵變?yōu)镾2-S1=klg(N2/N1)P。如果看作是P個(gè)量子分配入N個(gè)體積單元的問(wèn)題，那相應(yīng)的分配數(shù)之比為N2p∶N1p。如果是按照普朗克的處理，分配數(shù)之比應(yīng)該是。這兩者在P是大數(shù)時(shí)相近似。如愛因斯坦那樣計(jì)算熵來(lái)處理黑體輻射會(huì)得到維恩分布。

(未完待續(xù))

注：

13)別見到個(gè)Akademie，Academy就翻譯成科學(xué)院，Academy，Ακαδ?με?α，來(lái)自雅典一個(gè)英雄的名字。Ακαδ?με?α是雅典城外一片供奉女神雅典娜的種橄欖樹的園子，garden，柏拉圖老師在約公元前385年在那園子里辦學(xué)，才讓?duì)ˇ师力?με?α一詞有了高大尚的意思。一般把Academy of Sciences翻譯成科學(xué)院，科學(xué)這個(gè)標(biāo)簽是要硬貼上去的。在法國(guó)，Académie層次在l’ Institut de France之下。

14)原文如此。

15)Zelle，cell，生物學(xué)中漢譯為細(xì)胞，固體物理中漢譯為單胞、元胞。Electriccell則被譯成電池。中國(guó)人在不著調(diào)的學(xué)者帶領(lǐng)下學(xué)個(gè)科學(xué)真難啊！