1、平面上三者關(guān)系

（1）眾所周知三角形有3個頂點、3個邊和1個區(qū)域面，四邊形有4個頂點、4個邊和1個區(qū)域面；那么繼續(xù)推理五邊形、六邊形以及其他多邊形呢？首先完成下表

顯然通過對于四邊形、五邊形和六邊形的了解很容易得出來結(jié)果，結(jié)果如下所示：

（2）從上表不難發(fā)現(xiàn)對于上面四種平面中三者的關(guān)系，即
頂點數(shù) + 區(qū)域數(shù) - 邊數(shù) = 1
那么如何推斷出多邊形中他們的關(guān)系呢？首先想想對三角形進行切割會對三者有什么影響

從上圖可以看出三角形割去一個角變成了四邊形，其頂點增加了1個，邊數(shù)增加了1條，區(qū)域面不變，則頂點數(shù) + 區(qū)域數(shù) - 邊數(shù) = 1依然成立，依次切割可推斷出所有多邊形，故頂點數(shù) + 區(qū)域數(shù) - 邊數(shù) = 1適用于所有的平面圖。

通過該公式可以解決很多問題，例如一個平面圖上有9個區(qū)域，每個頂點對應3條邊，求該平面圖的頂點數(shù)和邊數(shù)？
首先設(shè)該平面圖頂點數(shù)為x,邊數(shù)為y，根據(jù)公式則有：
x + 9 - y = 1
又因為每個頂點對應3條邊而每條邊對應2個頂點，則有：
y = 3x / 2
結(jié)合公式可得
x + 9 - 3x / 2 = 1
解得 x=16，y=24

2、空間多面體中三者的關(guān)系

通過在平面上的推斷過程可知，在多面體上同樣存在規(guī)律；

從上圖三角體可知三者關(guān)系如下所示：
頂點數(shù) + 區(qū)域數(shù) - 邊數(shù) = 4 + 4 - 6 = 2

頂點數(shù) + 區(qū)域數(shù) - 邊數(shù) = 6 + 5 - 9 = 2

依次可以推出所有的多面體中三者關(guān)系都是頂點數(shù) + 區(qū)域數(shù) - 邊數(shù) = 2；這個公式就是歐拉公式。

通過歐拉公式可以解決很多問題，例如一個足球表面有多少個正五邊形和多少正六邊形?
首先一個足球有32塊皮子， ,一般用黑和白,黑的是正五邊形,白的是正六邊形；
設(shè)黑皮x塊,則白皮32－x塊，頂點數(shù)V, 棱數(shù)E
由歐拉公式可得：
V + 32 - V = 2
因為每一條棱兩塊皮共用，所以可得
[ 5x + (32-x)6 ] / 2= E
每一個頂點3塊皮共用可得
[ 5x +(32-x)6 ] / 3 = V
解得x=12 所以黑皮的五邊形為12塊,白皮六邊形為20塊