梯度算符在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式

在物理學(xué)中，很多問題具有球?qū)ΨQ性，這時，使用球坐標(biāo)系就比較方便。要用球坐標(biāo)系表示梯度算符，必須把直角坐標(biāo)系的單位矢量和偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成球坐標(biāo)系的單位矢量和偏導(dǎo)數(shù)。為了做到這一點(diǎn)，需要寫出位置矢量的各個分量之間的變換關(guān)系?？臻g中任意一點(diǎn)的位置矢量的直角坐標(biāo)分量為，對應(yīng)的球坐標(biāo)分量為，而的方向角則為，直角坐標(biāo)、球坐標(biāo)與方向角之間的變換關(guān)系為：

              (A)

變換關(guān)系(A)式的逆變換為：

                     (B)

先討論單位矢量之間的變換關(guān)系。由于與同向，因此，的方向角也是，由此得到：

          (1)

容易看出，的方向在平面內(nèi)，相對于轉(zhuǎn)過了一個直角，也就是說，與極軸的夾角。顯然，在平面上的投影與的投影重疊。結(jié)合以上性質(zhì)，參照的直角坐標(biāo)表達(dá)式，很容易就得到在直角坐標(biāo)系中的表示：

         (2)

有了和的表達(dá)式，利用右手系的特點(diǎn)馬上可以得到的表達(dá)式：

                (3)

由、和的直角坐標(biāo)表達(dá)式不難反解出、和的球坐標(biāo)表達(dá)式。先用(1)式和(2)式做組合運(yùn)算得到

              (4)

然后用(4)式和(3)式做組合得到

        (5)

再將(4)式和(3)式組合起來得到

        (6)

最后用(1)式和(2)式做組合得到

                     (7)

接下來討論偏導(dǎo)數(shù)之間的變換關(guān)系。由復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)規(guī)則可以得到：

               (8)

根據(jù)變換關(guān)系(A)和(B)可以得到：

      (9)

聯(lián)合(5)～(9)式

把這個等式展開，按照球坐標(biāo)系的單位矢量合并同類項(xiàng)，整理后得到：

利用梯度算符在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式，很容易推導(dǎo)出上一節(jié)中幾個具有球?qū)ΨQ性的函數(shù)的梯度：