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我們知道，矢量函數(shù)沿著閉合路徑的積分反映了矢量場(chǎng)的場(chǎng)線的基本特征：如果場(chǎng)線是非閉合的曲線，對(duì)應(yīng)的矢量函數(shù)沿閉合路徑的積分就恒等于零；如果場(chǎng)線是閉合曲線，對(duì)應(yīng)的矢量函數(shù)沿閉合路徑的積分則有可能不等于零。然而，矢量函數(shù)沿閉合路徑的積分的這些性質(zhì)只是場(chǎng)線的基本特征在一條閉合路徑上的積累效應(yīng)。更多的時(shí)候，我們希望知道這種特征在空間中的任意一點(diǎn)上是如何表現(xiàn)出來的。 
設(shè)想在空間中取一條閉合路徑，我們?cè)谶@條路徑上對(duì)所研究的矢量場(chǎng)A做積分。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡(jiǎn)便起見，不失一般性地假設(shè)，這條閉合路徑由一個(gè)棱邊平行于坐標(biāo)軸的矩形的四條邊圍成。比如說圖中的abcOa這條閉合路徑，矢量場(chǎng)在這條閉合路徑上的積分可以被分解成在四條直線段上的積分之和：按照我們對(duì)積分路徑方向的選擇，等式右邊的四個(gè)積分中的線元可以分別寫成 。于是，閉合路徑上的積分 最后一個(gè)等號(hào)之所以成立，是因?yàn)椋?/span>對(duì)我們選擇的路徑，由它圍成的平面的面元矢量 。
在上面的推導(dǎo)中，我們利用梯度算符給矢量函數(shù)定義了一種新的運(yùn)算。這種新的運(yùn)算從形式上看與兩個(gè)矢量做矢量積運(yùn)算相似：
稱之為矢量函數(shù)的旋度運(yùn)算，簡(jiǎn)稱矢量的旋度。在上面的公式中，為了書寫簡(jiǎn)便，我們引入了一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)寫符號(hào)：在偏微分符號(hào)的右下角寫上一個(gè)下標(biāo)，代表對(duì)該下標(biāo)做一階偏導(dǎo)數(shù)。
我們還可以選擇圖中畫出來的另外兩條閉合路徑aOefa和cdeOc對(duì)矢量函數(shù)做環(huán)路積分。通過與上述相似的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)矢量函數(shù)在這兩條閉合路徑上的環(huán)路積分最終都能夠轉(zhuǎn)化成這個(gè)矢量函數(shù)的旋度在對(duì)應(yīng)環(huán)路所圍的平面上的通量積分。對(duì)于一個(gè)空間指向?yàn)槿我獾木匦危灰ㄟ^適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)平移與轉(zhuǎn)動(dòng)，就能夠使這個(gè)矩形的四條邊與新的坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸平行。因此，不難把上面得到的結(jié)果推廣到空間指向?yàn)槿我獾木匦伍]合路徑上去。如果閉合路徑是一條空間曲線，并且以它為邊界的曲面是一個(gè)任意的曲面，我們可以把這個(gè)曲面看做由無數(shù)個(gè)各種空間指向的無窮小的矩形平面拼接而成。在每一個(gè)無窮小的矩形面的邊上對(duì)矢量函數(shù)做環(huán)路積分，再把這無數(shù)個(gè)無窮小的環(huán)路積分加起來。每一個(gè)無窮小的環(huán)路積分都等于矢量函數(shù)的旋度對(duì)這個(gè)無窮小的環(huán)路所圍的矩形平面的通量積分，對(duì)所有無窮小矩形平面的通量積分加起來就等于對(duì)整個(gè)曲面的通量積分。另一方面，對(duì)于相鄰的兩個(gè)矩形平面，它們緊挨著的兩條邊的路徑走向相反，積分結(jié)果相互抵消。比如說，在上面畫出來的圖形中，沿矩形abcOa的其中一條邊Oa的積分就與沿矩形aOefa的其中一條邊aO的積分相互抵消。因此，所有無窮小閉合路徑上的積分加起來，最終的結(jié)果就只剩下沿著閉合空間曲線的那些線段上的積分不為零，它們加起來的結(jié)果正好等于對(duì)閉合空間曲線的積分。于是，矢量函數(shù)對(duì)任意閉合空間曲線的積分等于這個(gè)矢量函數(shù)的旋度對(duì)以這條閉合曲線為邊界的任意曲面的通量積分：
這個(gè)結(jié)論叫做矢量場(chǎng)的斯托克斯定理。從斯托克斯定理立刻可以看出，如果矢量函數(shù)的旋度在某一點(diǎn)處不等于零，那么，這個(gè)旋度在該點(diǎn)的一個(gè)無窮小鄰域內(nèi)的通量積分就有可能不等于零，除非所選擇的面元是剛好垂直于旋度的平面。這意味著矢量函數(shù)繞著圍繞該點(diǎn)的一條無窮小的閉合路徑積分的結(jié)果也有可能不等于零。根據(jù)上一節(jié)的討論，從物理上看，這表明在該點(diǎn)處有產(chǎn)生這個(gè)矢量場(chǎng)的源；從數(shù)學(xué)上看，在該點(diǎn)的一個(gè)無窮小鄰域內(nèi)，場(chǎng)線是圍繞著這個(gè)點(diǎn)的閉合曲線。如果矢量函數(shù)的旋度在某一點(diǎn)處等于零，那么，在該點(diǎn)的一個(gè)無窮小鄰域內(nèi)，矢量函數(shù)繞著一條無窮小的閉合路徑積分的結(jié)果也等于零。這表明在該點(diǎn)的一個(gè)無窮小鄰域內(nèi)，場(chǎng)線是非閉合曲線。
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