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由于自旋具有角動(dòng)量的特征，通常假設(shè)它的三個(gè)分量之間的對(duì)易關(guān)系與軌道角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系相同： 顯然，泡利算符的三個(gè)分量的本征值 ，每個(gè)分量的平方 。由自旋的各個(gè)分量之間的對(duì)易關(guān)系立刻可以得到泡利算符的各個(gè)分量之間的對(duì)易關(guān)系：考慮其中一個(gè)對(duì)易關(guān)系對(duì)這個(gè)關(guān)系式分別左乘和右乘 兩式相減，就可以得到泡利算符的反對(duì)易關(guān)系類似地可以得到其余兩個(gè)反對(duì)易關(guān)系：結(jié)果發(fā)現(xiàn)，泡利算符的三個(gè)分量彼此反對(duì)易。聯(lián)合對(duì)易關(guān)系與反對(duì)易關(guān)系得到：自旋作為力學(xué)量必須是厄米的，這導(dǎo)致以上就是泡利算符的全部代數(shù)性質(zhì)。利用這些代數(shù)性質(zhì)，在確定的條件下，就可以求出泡利算符的具體表達(dá)式。把自旋的方向取作 z 方向，由自旋的本征態(tài)的特點(diǎn)得：
由于自旋波函數(shù)是二分量的列矩陣，這導(dǎo)致泡利算符必定是二階方陣。利用泡利算符的性質(zhì)可以求出另外兩個(gè)分量的矩陣表示。需要用到的性質(zhì)是泡利算符的反對(duì)易性與厄米性：習(xí)慣上取不確定的相因子等于零，就得到泡利算符的第一分量的矩陣表達(dá)式。再利用泡利算符三個(gè)分量之間的關(guān)系得到第二分量的表達(dá)式：按這種方式構(gòu)造的三個(gè)矩陣叫做泡利矩陣。
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