從外邊界進(jìn)入內(nèi)邊界的走向是上岸，從內(nèi)邊界到外邊界的走向是下岸。將外邊界 C?、各條內(nèi)邊界 C? 和每條割線的上岸 l? 與下岸 l'? 連接起來形成一條總的邊界 C，就構(gòu)成一個(gè)單連通區(qū)域。根據(jù)單連通區(qū)域的柯西定理，被積函數(shù)沿著閉合路徑 C 的積分等于零。另一方面，我們又可以把 C 分解成內(nèi)外邊界和每條割線的上下兩岸幾個(gè)部分，沿 C 的積分就分解成幾個(gè)積分之和：在上述積分中，圍繞每個(gè)奇點(diǎn)的積分沿順時(shí)針方向進(jìn)行，所以在積分曲線的標(biāo)記符號(hào)的右上角有個(gè)負(fù)號(hào)。正如剛才所說，割線只是一條線，由于我們現(xiàn)在討論的是單值函數(shù)，因此，在某條割線的任意一點(diǎn)處，上、下兩岸的函數(shù)值是相等的。但是，當(dāng)我們沿著上、下兩岸做積分時(shí)，積分路徑的方向是相反的。因此，單值函數(shù)沿某一條割線的上、下兩岸的積分值必定相消。如果把上述積分中沿 C? 反方向的積分改寫成沿 C? 方向積分的負(fù)值，就得到了復(fù)連通區(qū)域的柯西定理：需要注意的是，上述積分等式中所有積分路徑的走向都沿逆時(shí)針方向。利用復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可以計(jì)算函數(shù)沿包圍奇點(diǎn)的閉合路徑的積分。一個(gè)簡(jiǎn)單而重要的例子是：如果積分路徑不包圍 a 點(diǎn)，或者即使包圍 a 點(diǎn)，但是，n≥0 ，被積函數(shù)在積分路徑所圍的區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)柯西定理，積分值等于零；只需要考慮 n<0 ，并且積分路徑包圍 a 點(diǎn)的情況。
在這種情況下，以 a 點(diǎn)為圓心挖一個(gè)半徑為 r 的小圓，把 a 點(diǎn)除掉。根據(jù)復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，我們想要求的積分可以通過計(jì)算沿小圓的積分得到：
為了計(jì)算沿小圓的積分，用指數(shù)表示法表示積分變量是方便的：，其中 r 是小圓的半徑。由此得到了積分變量的微分的表達(dá)式：。把積分變量及其微分的指數(shù)表達(dá)式代入上述積分等式的右邊，沿小圓積分一圈就變成了對(duì)角度積分一個(gè)周期： 如果 n≠-1，被積函數(shù)中的指數(shù)不為零，積分結(jié)果為如果 n=-1，被積函數(shù)中的指數(shù)等于零，被積函數(shù)變成一個(gè)常數(shù)，積分結(jié)果為由此得到一個(gè)重要的結(jié)果： 這個(gè)結(jié)果在計(jì)算解析函數(shù)沿閉合路徑積分時(shí)非常有用。
，其中 r 是小圓的半徑。由此得到了積分變量的微分的表達(dá)式：
。把積分變量及其微分的指數(shù)表達(dá)式代入上述積分等式的右邊，沿小圓積分一圈就變成了對(duì)角度積分一個(gè)周期：
