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在實(shí)數(shù)域中，我們?cè)?jīng)講到序列與級(jí)數(shù)這兩個(gè)概念。在復(fù)數(shù)域中也有這些概念。讓我們對(duì)這兩個(gè)概念以及相關(guān)的問題做一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧。 按照一定順序排列的一組復(fù)數(shù)組成一個(gè)復(fù)數(shù)序列，用以下方式標(biāo)記： 從復(fù)數(shù)序列的構(gòu)成中可以看出，一個(gè)復(fù)數(shù)序列實(shí)際上是兩個(gè)實(shí)數(shù)序列的有序組合，因此，實(shí)數(shù)序列的許多概念可以直接推廣到復(fù)數(shù)序列。這些概念包括：聚點(diǎn)或極限點(diǎn)；有界序列和無界序列；序列的極限和收斂等。如果將這個(gè)復(fù)數(shù)序列的各項(xiàng)加起來，就可以得到一個(gè)復(fù)數(shù)無窮級(jí)數(shù)：
用這個(gè)部分和構(gòu)造一個(gè)序列 {S}，如果這個(gè)序列收斂，就說級(jí)數(shù)是收斂的，用以下方式標(biāo)記：
將復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)按實(shí)部與虛部分解：
一個(gè)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)就可以改寫成如下的樣子：
由此可以看到，一個(gè)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的有序組合。由于這個(gè)原因，關(guān)于實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性的判別準(zhǔn)則完全可以直接推廣到復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)中。
有時(shí)候需要將兩個(gè)或多個(gè)無窮級(jí)數(shù)乘起來，構(gòu)造一個(gè)新的無窮級(jí)數(shù)：
在上述等式中，左邊是兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘，右邊則是相乘的兩個(gè)級(jí)數(shù)按二項(xiàng)式展開之后的求和表達(dá)式，這個(gè)展開結(jié)果的細(xì)致表達(dá)式如下所示：
由于加法滿足交換律，因此，可以把這個(gè)表達(dá)式的各項(xiàng)重新排序，把兩個(gè)級(jí)數(shù)的求和指標(biāo)之和相同的項(xiàng)歸為一類加起來作為一項(xiàng)，這就給出了上面的展開式中每一個(gè)用黃色虛線標(biāo)示出來的求和項(xiàng)。受這個(gè)重新排序的表達(dá)式的啟發(fā)，引入一個(gè)新的求和指標(biāo) 是方便的。顯然，這個(gè)新的求和指標(biāo)從 0 到無窮取值。引入新的求和指標(biāo)后，在每一個(gè)黃色虛線求和項(xiàng)中，保留其中一個(gè)求和指標(biāo)，比如說，保留 k 這個(gè)指標(biāo)。不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)求和項(xiàng)中，被保留的求和指標(biāo)將從 0 到 n 取值。于是，我們得到了一個(gè)求和項(xiàng)的求和表達(dá)式：在這個(gè)求和項(xiàng)的表達(dá)式的基礎(chǔ)上，再對(duì) n 從 0 到無窮求和，就得到兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘后新的級(jí)數(shù)的表達(dá)式：
兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘的這樣一種處理技術(shù)在今后處理許多問題時(shí)要經(jīng)常用到。如果復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的每一個(gè)通項(xiàng)都是定義在區(qū)域 G 內(nèi)的復(fù)變函數(shù)
那么，所得到的級(jí)數(shù)就叫做函數(shù)級(jí)數(shù)：
關(guān)于函數(shù)級(jí)數(shù)，在實(shí)變級(jí)數(shù)理論中有幾個(gè)重要的結(jié)論，可以將它們直接推廣到復(fù)變級(jí)數(shù)中：①一個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)如果在 G 內(nèi)的每一點(diǎn)都收斂，則它在 G 內(nèi)收斂，是 G 內(nèi)的單值函數(shù)；②如果級(jí)數(shù)的每一個(gè)通項(xiàng)都在區(qū)域 G 內(nèi)一條分段光滑的曲線上連續(xù)，則級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求積分；③如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都在區(qū)域 G 內(nèi)單值解析，則和函數(shù)是 G 內(nèi)的解析函數(shù)，它的各階導(dǎo)數(shù)可以通過對(duì)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到。以上幾個(gè)結(jié)論都是從實(shí)變級(jí)數(shù)中直接借用過來的，在今后處理各種數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常要用到。如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是冪函數(shù)，就把這個(gè)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)：
由于在今后處理許多數(shù)學(xué)物理問題的過程中，經(jīng)常需要用到冪級(jí)數(shù)，因此，在這里特別回顧如何處理冪級(jí)數(shù)收斂性的問題。這些處理方法可以通過將實(shí)變級(jí)數(shù)的處理方法直接推廣到復(fù)數(shù)域而得到。第一個(gè)判斷級(jí)數(shù)收斂性的準(zhǔn)則是達(dá)朗貝爾判別法。根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法，如果以下的極限存在
那么，當(dāng)這個(gè)極限值小于 1 時(shí)，級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，而當(dāng)極限值大于 1 時(shí)，級(jí)數(shù)則是發(fā)散的。把這個(gè)判別準(zhǔn)則用到冪級(jí)數(shù)就得到如下極限值：令這個(gè)極限值小于 1，就給出了級(jí)數(shù)的收斂范圍：其中 R 就是確定級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的分水嶺，稱之為級(jí)數(shù)的收斂半徑。如果求收斂半徑的達(dá)朗貝爾公式所要求的極限不存在，就必須改用柯西公式來研究級(jí)數(shù)的收斂性。根據(jù)柯西判別法，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的條件是
這時(shí)候，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，否則，級(jí)數(shù)發(fā)散。把這個(gè)準(zhǔn)則用到冪級(jí)數(shù)中，上述極限值的表達(dá)式變成 | 以 a 點(diǎn)為圓心，R 為半徑作一個(gè)圓周，這個(gè)圓周所圍的區(qū)域就是所研究的級(jí)數(shù)的收斂圓，當(dāng) z 落在這個(gè)收斂圓的圓周內(nèi)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng) z 落在收斂圓的圓周外時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。 |
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