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當(dāng)把一個(gè)解析函數(shù)在某個(gè)解析點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開成冪級數(shù)時(shí)，所得到的級數(shù)是一個(gè)泰勒級數(shù)，沒有負(fù)冪項(xiàng)。正如前面所說，即使是一個(gè)解析函數(shù)，也有可能在某些點(diǎn)上是奇異的。如果一個(gè)解析函數(shù)在復(fù)平面上有一個(gè)奇點(diǎn)，也可以用這個(gè)奇點(diǎn)做展開點(diǎn)，把函數(shù)展開成冪級數(shù)，在這種情況下，我們將得到解析函數(shù)的洛朗展開。 設(shè)想有一個(gè)解析函數(shù) f(z)，它在復(fù)平面上有一個(gè)奇點(diǎn) b。用一個(gè)以 b 點(diǎn)為圓心、半徑為無窮小的圓周 C? 把這個(gè)奇點(diǎn)隔離。 | 假設(shè) f(z) 在以 b 為圓心、半徑為 R 的圓周 C? 內(nèi)解析，f(z) 就是環(huán)形區(qū)域 0<|z-b|≤R 內(nèi)的解析函數(shù)。在這個(gè)環(huán)域內(nèi)用割線將兩個(gè)圓周連接起來構(gòu)成單連通區(qū)域，在這個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)應(yīng)用柯西積分公式： |
其中沿 C? 的積分按順時(shí)針方向進(jìn)行，所以，用來標(biāo)記積分曲線的字母的右上角帶有一個(gè)負(fù)號。由于沿割線上、下兩岸的積分相消，這個(gè)積分的結(jié)果顯示，對一個(gè)環(huán)形區(qū)域，柯西積分公式依然成立：其中閉合積分路徑 C 由兩部分構(gòu)成，它們把上述沿 C 的積分分解成兩部分：
也就是前述單連通區(qū)域中的柯西積分公式右邊的頭兩項(xiàng)的積分。把沿 C? 的積分的進(jìn)行方向改為逆時(shí)針方向，就得到如下積分：
我們先研究第一個(gè)積分。與泰勒展開的情況相似，在第一個(gè)積分中，由于函數(shù)變量 z 在閉合積分路徑所圍的區(qū)域內(nèi)，積分變量 ζ 在積分路徑上，因此，把被積函數(shù)中的分母因子做如下改寫：
借用實(shí)變級數(shù)理論的泰勒展開公式，把改寫后的表達(dá)式展開成冪級數(shù)：
這個(gè)冪級數(shù)在圓周內(nèi)一致收斂，可以逐項(xiàng)求積分：
再看第二個(gè)積分。在第二個(gè)積分中，由于函數(shù)變量 z 在閉合積分路徑所圍的區(qū)域外，積分變量 ζ 在積分路徑上，因此，把被積函數(shù)中的分母因子做如下改寫：
仍然借用實(shí)變級數(shù)理論的泰勒展開公式，把改寫后的表達(dá)式展開成冪級數(shù)：
這個(gè)冪級數(shù)在閉合積分路徑外一致收斂，可以逐項(xiàng)求積分。為了使積分的形式看起來與沿 C? 積分的形式一致，在把求和號與積分號互換之前，先對求和指標(biāo)做指標(biāo)替換 ，把級數(shù)表達(dá)式改寫成如下的樣子： 把這個(gè)式子代入積分式中逐項(xiàng)積分：把沿 C? 和 C? 的兩個(gè)積分合并起來，就得到了對閉合路徑 C 的積分結(jié)果：
這個(gè)結(jié)果被稱為解析函數(shù)的洛朗展開。與泰勒展開的情況相似，一個(gè)解析函數(shù)的洛朗展開的收斂范圍由它的奇點(diǎn)的分布特性完全決定。需要注意的是，在洛朗展開中，展開系數(shù)的表達(dá)式很像函數(shù) f(z) 的 n 階導(dǎo)數(shù)在 b 點(diǎn)的值的表達(dá)式。這種聯(lián)想有助于我們記住這個(gè)表達(dá)式，但這僅僅是一種聯(lián)想，函數(shù) f(z) 在 b 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)根本就不存在。
一個(gè)解析函數(shù)在某個(gè)環(huán)域內(nèi)的洛朗展開是唯一的，稱之為洛朗展開的唯一性定理。利用唯一性定理，當(dāng)我們對一個(gè)解析函數(shù)做洛朗展開時(shí)，可以用已知的結(jié)果通過拼湊得到我們所需要的級數(shù)。
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