作者簡(jiǎn)介/Profile/

夏晨，中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所19級(jí)博士研究生，研究方向是宇宙線與暗物質(zhì)直接探測(cè)，導(dǎo)師是周宇峰研究員。

1946年，在研究原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”中，數(shù)學(xué)家斯塔尼斯拉夫·烏拉姆在一次生病后的恢復(fù)期間玩紙牌游戲。他開(kāi)始想用排列組合計(jì)算一下贏牌的概率，但是轉(zhuǎn)念一想，如果“無(wú)腦”地反復(fù)玩很多次，最后數(shù)一數(shù)贏了多少次，也可以近似得到答案。當(dāng)時(shí)正值第一臺(tái)通用電子計(jì)算機(jī) ENIAC 發(fā)明出來(lái)，烏拉姆馬上聯(lián)想到核武器研究中關(guān)于中子擴(kuò)散的問(wèn)題，也可以通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬一個(gè)個(gè)中子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)來(lái)研究。他將這個(gè)想法告訴了馮·諾伊曼，隨后兩人開(kāi)始了研究[1]。為了保密，烏拉姆和馮·諾伊曼的工作需要一個(gè)代號(hào)。他們的同事 Metropolis 建議了蒙特卡洛 (Monte Carlo) 這個(gè)名字，來(lái)源于摩納哥的一座城市蒙特卡洛，因?yàn)闉趵返囊晃皇迨逑矚g向親戚借錢(qián)去那里賭博，而賭博暗含了概率和隨機(jī)性。后來(lái)蒙特卡洛逐漸從一個(gè)神秘代號(hào)演變成了一個(gè)術(shù)語(yǔ)，用來(lái)代指各種利用隨機(jī)性來(lái)解決問(wèn)題的方法[2]。

本文通過(guò)三個(gè)例子來(lái)介紹蒙特卡洛方法的典型應(yīng)用方式，第一個(gè)例子是利用隨機(jī)撒點(diǎn)計(jì)算圖形面積，它經(jīng)常作為蒙特卡洛方法的入門(mén)介紹，后兩個(gè)例子是在物理學(xué)中的應(yīng)用，分別關(guān)于統(tǒng)計(jì)物理和粒子物理領(lǐng)域。三個(gè)例子互相獨(dú)立，讀者可以選讀感興趣的內(nèi)容。

我們從一個(gè)經(jīng)典的例子開(kāi)始：計(jì)算單位圓的面積。單位圓即半徑為 1 的圓，它的面積我們都知道等于

?，F(xiàn)在我們假裝不知道

的值是多少，然后通過(guò)蒙特卡洛方法來(lái)求得。

單位圓可以被嵌入到邊長(zhǎng)為 2 的外接正方形中，正方形面積等于 4。如果在整個(gè)正方形中均勻地撒點(diǎn)，那么落在單位圓中點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該正比于圓的面積。利用圓與正方形的面積之比等于落在圓與正方形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)之比，我們就得到了計(jì)算單位圓面積的蒙特卡洛方法。

為了得到隨機(jī)點(diǎn)，我們可以在紙上畫(huà)一個(gè)圓和外接正方形，然后閉上眼睛用筆隨機(jī)戳點(diǎn)。但這種做法不僅勞累，而且還不容易保證點(diǎn)分布的均勻性。這種工作顯然適合交給計(jì)算機(jī)來(lái)做，計(jì)算機(jī)可以利用算法產(chǎn)生均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬撒點(diǎn)。

正方形中的隨機(jī)點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示為

，其中

和

都是從

到

之間均勻抽取的隨機(jī)數(shù)。生成

個(gè)隨機(jī)點(diǎn)后，滿足條件

的點(diǎn)即在單位圓內(nèi)，如下圖所示：

1000 個(gè)隨機(jī)點(diǎn)

假設(shè)圓內(nèi)的點(diǎn)有

個(gè)，那么圓的面積，也就是

的估計(jì)值為

可以想象撒的點(diǎn)越多，

的估計(jì)值應(yīng)該更準(zhǔn)確。我們隨機(jī)抽取不同數(shù)量

的點(diǎn)做了多次實(shí)驗(yàn)，結(jié)果展示在下表中：

能夠看出隨著

增大，

的估計(jì)值有接近真實(shí)值

的趨勢(shì)，但似乎也不是

越大結(jié)果就一定越好，比如表中一萬(wàn)個(gè)點(diǎn)的結(jié)果 (3.1372) 反而比十萬(wàn)個(gè)點(diǎn)的結(jié)果 (3.14732) 更接近

。這是由于蒙特卡洛方法的本質(zhì)是使用隨機(jī)性，所以結(jié)果總會(huì)存在漲落，如果再進(jìn)行一組實(shí)驗(yàn)將會(huì)得到一張不同的表。為了確認(rèn)蒙特卡洛方法的結(jié)果有多可靠，需要估計(jì)結(jié)果的誤差。所以我們?cè)賹?duì)每一個(gè)

都重復(fù)實(shí)驗(yàn) 1000 次，算出結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差畫(huà)在下圖中：

蒙特卡洛模擬結(jié)果的誤差隨

的變化

我們看到誤差隨著撒點(diǎn)個(gè)數(shù)

的增加而減小，并且減小的規(guī)律是正比于函數(shù)

。稍作思考我們可以推導(dǎo)出這個(gè)規(guī)律，實(shí)際上每個(gè)隨機(jī)點(diǎn)要么落在圓內(nèi)，要么不落在圓內(nèi)，落在圓內(nèi)的概率等于

，所以落在圓內(nèi)的個(gè)數(shù)

滿足二項(xiàng)分布。使用概率論的語(yǔ)言，隨機(jī)變量

滿足二項(xiàng)分布

，其中

為落到圓內(nèi)的概率，

為總點(diǎn)數(shù)。由二項(xiàng)分布的性質(zhì)，

的平均值，或者說(shuō)期望值

，方差

。我們的蒙特卡洛模擬結(jié)果其實(shí)是對(duì)隨機(jī)變量

的采樣，它的期望值

，而方差

，所以標(biāo)準(zhǔn)差

，正比于

。由此我們可以估計(jì)，如果要正確計(jì)算到

的小數(shù)點(diǎn)后第五位，至少要撒

也就是一千億個(gè)點(diǎn)才有較大的把握。

這一節(jié)的方法當(dāng)然不限于計(jì)算單位圓面積，任意圖形的面積都可以這樣計(jì)算。實(shí)際上這是蒙特卡洛數(shù)值積分最簡(jiǎn)單的應(yīng)用形式，盡管計(jì)算精度隨

的增大提升得比較慢，但是蒙特卡洛積分不會(huì)受到積分維度的顯著影響。對(duì)于多變量的高維數(shù)值積分，蒙特卡洛方法幾乎是唯一的選擇。

第二個(gè)例子是蒙特卡洛方法在統(tǒng)計(jì)物理中的應(yīng)用。統(tǒng)計(jì)物理研究的是由大量微觀粒子組成的宏觀物體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，主要通過(guò)概率的語(yǔ)言來(lái)描述，所以蒙特卡洛方法應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)物理相當(dāng)直接。統(tǒng)計(jì)物理的原理告訴我們，任何一個(gè)溫度為

的復(fù)雜物理系統(tǒng)，它處在某一微觀狀態(tài)

的概率

滿足玻爾茲曼分布

其中

表示系統(tǒng)的能量，

表示歸一化系數(shù)，也稱為配分函數(shù)，系統(tǒng)的宏觀熱力學(xué)量都可以通過(guò)它導(dǎo)出。

是玻爾茲曼常數(shù)，表示溫度和能量之間的單位轉(zhuǎn)換，理論物理工作者習(xí)慣取

，也就是用能量單位來(lái)表示溫度。系統(tǒng)在熱擾動(dòng)下其微觀狀態(tài)根據(jù)玻爾茲曼分布不斷發(fā)生變化，但各種宏觀熱力學(xué)量的觀測(cè)值可以用各種微觀態(tài)下相應(yīng)物理量的平均值來(lái)表示，比如系統(tǒng)的內(nèi)能

，統(tǒng)計(jì)物理就這樣簡(jiǎn)單地和熱力學(xué)聯(lián)系了起來(lái)。然而原理雖然簡(jiǎn)單，實(shí)際上通常

和

這樣的求和是很困難的，因?yàn)楹暧^物體的微觀狀態(tài)數(shù)量是天文數(shù)字，并且

的形式可能很復(fù)雜。這時(shí)便可以考慮蒙特卡洛方法，其想法非常直接，既然概率分布已經(jīng)有了，直接按概率對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行采樣，再計(jì)算樣本的平均值就行了。根據(jù)概率分布采樣也稱為重要性采樣，相比于均勻地遍歷所有可能的微觀態(tài)求和，重要性采樣只需要抽取出少量的樣本就能反應(yīng)出系統(tǒng)的主要特征。

下面通過(guò)非常經(jīng)典的伊辛 (Ising) 模型來(lái)演示。伊辛模型是關(guān)于物質(zhì)磁性的簡(jiǎn)化模型，假設(shè)物質(zhì)由格點(diǎn)上的一個(gè)個(gè)小磁針構(gòu)成，每個(gè)格點(diǎn)

上的小磁針

只能有兩個(gè)朝向，用

和

表示它的磁矩指向“上”和“下”。每個(gè)磁針只與相鄰格點(diǎn)上的磁針存在相互作用，它們?nèi)绻騽t能量為

，反向則能量為

，這可以用

來(lái)概括。在不存在外磁場(chǎng)的情況下，系統(tǒng)的總能量等于所有相鄰格點(diǎn)之間能量的和 這里符號(hào)

表示

和

是相鄰格點(diǎn)。對(duì)于伊辛模型，系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)

，就是所有格點(diǎn)上磁針的某一種排列方式，

，

表示格點(diǎn)個(gè)數(shù)。另外我們關(guān)心單位格點(diǎn)上的平均磁矩 相應(yīng)的總磁矩即為

。系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)的單位格點(diǎn)磁矩則計(jì)算為

。

一維格點(diǎn)伊辛模型的嚴(yán)格解在 1925 年已由伊辛本人求出，二維無(wú)外磁場(chǎng)伊辛模型由昂薩格于 1944 年求解，楊振寧先生在 1952 年發(fā)表了二維伊辛模型磁化強(qiáng)度的推導(dǎo)，而三維伊辛模型的精確解到目前為止還沒(méi)有得到。二維伊辛模型的精確解表明系統(tǒng)存在鐵磁相變，對(duì)應(yīng)的相變臨界溫度為 當(dāng)溫度高于臨界溫度

時(shí)，系統(tǒng)處于順磁相，平均磁矩為零，而溫度低于

時(shí)處于鐵磁相，平均磁矩不為零。類似平均磁矩這種在一個(gè)相中為零，另一個(gè)相中不為零的量可以叫作序參量。像伊辛模型這種序參量在臨界溫度處連續(xù)變化的相變稱為連續(xù)相變。下面我們介紹如何用蒙特卡洛方法模擬二維伊辛模型。

在這里，蒙特卡洛方法的核心問(wèn)題是：如何通過(guò)玻爾茲曼分布對(duì)系統(tǒng)微觀態(tài)采樣？答案之一是采用馬爾科夫鏈蒙特卡洛 (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) 方法。所謂馬爾科夫鏈?zhǔn)侵敢粋€(gè)離散的隨機(jī)過(guò)程，系統(tǒng)從初始狀態(tài)開(kāi)始，由一個(gè)狀態(tài)按照一定的概率跳轉(zhuǎn)到另一個(gè)狀態(tài)，每一次跳轉(zhuǎn)的概率只與當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān)，與此前的歷史無(wú)關(guān)，多次跳轉(zhuǎn)后形成一條鏈。MCMC 的要點(diǎn)在于巧妙地設(shè)置跳轉(zhuǎn)概率，使得鏈條上的樣本滿足目標(biāo)分布。

構(gòu)造馬爾科夫鏈的一個(gè)傳統(tǒng)算法是 Metropolis 算法，對(duì)于伊辛模型其基本流程為：

基于當(dāng)前狀態(tài)

，隨機(jī)選擇一個(gè)格點(diǎn)將其磁矩翻轉(zhuǎn)，得到一個(gè)新的狀態(tài)

。

如果能量

，則接受新?tīng)顟B(tài)

；如果

則按概率

決定是否接受，若拒絕

則保留當(dāng)前狀態(tài)

作為新的狀態(tài)。

上面兩個(gè)步驟反復(fù)迭代就能得到一系列的系統(tǒng)構(gòu)型?？梢钥吹饺绻?tīng)顟B(tài)的能量更低，則一定會(huì)被接受，系統(tǒng)可以很快地向能量更低的狀態(tài)移動(dòng)，同時(shí)也有機(jī)會(huì)跳轉(zhuǎn)到能量更高的狀態(tài)，最后得到的樣本可以證明滿足玻爾茲曼分布。此外 MCMC 方法不需確切地知道概率分布的歸一化系數(shù)，從而避免了配分函數(shù)的計(jì)算。

下圖以

的二維正方格點(diǎn)為例，展示伊辛模型的 MCMC 模擬結(jié)果[3]：

二維伊辛模型 MCMC 模擬

和

的格點(diǎn)分別顯示為白色和綠色，

僅表示馬爾科夫鏈的迭代過(guò)程，并不代表真實(shí)的時(shí)間，并且每?jī)蓭g間隔了 100 次迭代。我們看到在高溫下，

時(shí)，格點(diǎn)上的磁矩排布是雜亂無(wú)章的，但溫度降到臨界溫度

后，系統(tǒng)自動(dòng)地出現(xiàn)磁矩指向一致的磁性團(tuán)塊。注意到系統(tǒng)并沒(méi)有施加外磁場(chǎng)，這是一種自發(fā)磁化行為。

在不同溫度下進(jìn)行模擬，計(jì)算樣本的單位格點(diǎn)磁矩，可以探究序參量隨溫度的

變化關(guān)系，研究系統(tǒng)的相變特性，如下圖所示：

二維伊辛模型單位格點(diǎn)磁矩隨溫度的變化

這里我們?yōu)榱撕?jiǎn)便，取了

。MCMC 在每一個(gè)溫度下的結(jié)果都由 1 萬(wàn)個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算得到。我們通過(guò)

的格點(diǎn)模擬得到了與精確解符合得還不錯(cuò)的結(jié)果，而精確解是在熱力學(xué)極限，也就是格點(diǎn)數(shù)量

的條件下得到的。三維伊辛模型雖然沒(méi)有求出精確解，但同樣可以通過(guò)蒙特卡洛方法來(lái)研究。

本節(jié)主要介紹的是如何通過(guò)給定概率分布來(lái)進(jìn)行采樣的蒙特卡洛方法，因?yàn)榘锤怕什蓸颖举|(zhì)上需要去尋找概率分布的峰的位置，所以這種類型的應(yīng)用可以拓展到求函數(shù)極值的最優(yōu)化問(wèn)題，同樣也是蒙特卡洛方法最重要的應(yīng)用場(chǎng)景之一。

第三個(gè)例子我們進(jìn)入粒子物理領(lǐng)域，以暗物質(zhì)粒子在地球內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)為例，介紹隨機(jī)游走過(guò)程的蒙特卡洛模擬。

許多天文觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，宇宙中我們熟悉的可見(jiàn)物質(zhì)，如恒星、行星、星云等等，不足以提供足夠的引力來(lái)解釋觀測(cè)到的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)方式，例如星系的旋轉(zhuǎn)速度太大，星系團(tuán)內(nèi)的星系運(yùn)動(dòng)太快，光線在引力場(chǎng)附近的彎曲過(guò)強(qiáng)等等，因此提出可能存在看不見(jiàn)的暗物質(zhì)，來(lái)彌補(bǔ)缺失的質(zhì)量。并且現(xiàn)代宇宙學(xué)根據(jù)宇宙微波背景輻射的觀測(cè)數(shù)據(jù)，推測(cè)出暗物質(zhì)應(yīng)占宇宙物質(zhì)總量的

左右，這意味著人類對(duì)于宇宙的認(rèn)識(shí)可能還只在冰山一角，探索暗物質(zhì)的本質(zhì)是當(dāng)前物理學(xué)的前沿課題。

我們已經(jīng)知道普通物質(zhì)由原子構(gòu)成，原子又由基本粒子構(gòu)成，那么暗物質(zhì)是否也是某種未知的基本粒子呢？粒子物理學(xué)家們提出了眾多的粒子模型，為了能夠在宇宙中產(chǎn)生，這些模型或多或少都要求暗物質(zhì)與普通物質(zhì)之間存在除引力之外的相互作用，這就為暗物質(zhì)粒子的實(shí)驗(yàn)探測(cè)帶來(lái)了可能。目前世界各地建立起了大量的暗物質(zhì)直接探測(cè)實(shí)驗(yàn)，清華大學(xué)主導(dǎo)的 CDEX 實(shí)驗(yàn)和上海交通大學(xué)主導(dǎo)的 PandaX 實(shí)驗(yàn)就是其中的佼佼者，它們位于四川錦屏山隧道中的錦屏地下實(shí)驗(yàn)室，垂直埋深達(dá)到 2.4 千米，是世界上最深的地下實(shí)驗(yàn)室。之所以建造在地下，是因?yàn)榘滴镔|(zhì)直接探測(cè)實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)是尋找暗物質(zhì)粒子與靶材料之間的碰撞事件，需要利用厚厚的土層和巖石來(lái)屏蔽高能宇宙線的干擾。到目前為止，還沒(méi)有探測(cè)到暗物質(zhì)的明確信號(hào)，實(shí)驗(yàn)技術(shù)仍在不斷發(fā)展之中。

實(shí)驗(yàn)室建造在地下能夠屏蔽背景的同時(shí)，如果暗物質(zhì)與物質(zhì)相互作用不太弱的話，也有可能屏蔽掉我們想要探測(cè)的暗物質(zhì)粒子，這個(gè)問(wèn)題就可以使用蒙特卡洛模擬方法來(lái)研究。暗物質(zhì)粒子從地表進(jìn)入到地球內(nèi)部后的運(yùn)動(dòng)可以看作隨機(jī)游走的過(guò)程，我們只要模擬大量粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，就能重建出在地下實(shí)驗(yàn)室中的暗物質(zhì)分布。

銀河系可能被一個(gè)巨大的暗物質(zhì)暈包圍，其中暗物質(zhì)粒子的速度滿足麥克斯韋分布，平均速度大致和銀河系中星體的運(yùn)動(dòng)速度相當(dāng)，約為

，稱為標(biāo)準(zhǔn)暗暈?zāi)Ｐ?/span>(Standard Halo Model, SHM)。暗物質(zhì)粒子在地表處的初始速度將通過(guò)這一速度分布抽樣得到，隨后的隨機(jī)游走則由兩個(gè)步驟反復(fù)迭代進(jìn)行：

自由傳播：粒子在發(fā)生碰撞之前沿直線自由傳播一段距離，距離的長(zhǎng)度稱為自由程。自由程滿足特定的概率分布，其平均值即平均自由程，由粒子與地球內(nèi)部元素相互作用強(qiáng)度和地球的密度確定。模擬中首先計(jì)算平均自由程，然后自由程根據(jù)相應(yīng)的概率分布抽樣得到。

碰撞：自由運(yùn)動(dòng)結(jié)束后暗物質(zhì)粒子與地球內(nèi)部元素發(fā)生碰撞，碰撞將導(dǎo)致暗物質(zhì)粒子損失一部分能量而減速，并且運(yùn)動(dòng)方向改變。新的速度大小和方向由相互作用的具體形式按概率抽樣確定，隨后重復(fù)進(jìn)行下一段自由傳播。

通過(guò)這樣一步一步的隨機(jī)過(guò)程，可以模擬出暗物質(zhì)粒子折線形式的運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖所示[4]：

暗物質(zhì)粒子軌跡模擬，由坐標(biāo)原點(diǎn)處垂直向下出發(fā)

模擬大量軌跡之后，收集每個(gè)粒子經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)室深度時(shí)的速度，就可以統(tǒng)計(jì)出地下實(shí)驗(yàn)室中的暗物質(zhì)速度分布，作為直接探測(cè)實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析的重要輸入條件。下圖展示了質(zhì)量約等于質(zhì)子質(zhì)量的暗物質(zhì)粒子，在地下 2.4 km 深度的速度分布模擬結(jié)果：

地下暗物質(zhì)粒子速度分布

圖中的速度分布?xì)w一化到暗物質(zhì)粒子數(shù)密度，即曲線下的面積代表暗物質(zhì)粒子數(shù)量的相對(duì)大小。SHM 標(biāo)記的虛線表示地球外部的標(biāo)準(zhǔn)暗暈速度分布。不同顏色的實(shí)線代表不同的相互作用強(qiáng)度，通過(guò)暗物質(zhì)粒子與質(zhì)子的散射截面

本節(jié)介紹的通過(guò)隨機(jī)游走模擬暗物質(zhì)粒子運(yùn)動(dòng)的方法，本質(zhì)上等同于曼哈頓計(jì)劃中代號(hào)為蒙特卡洛的核裂變反應(yīng)的中子擴(kuò)散模擬，此外高能粒子對(duì)撞機(jī)中的探測(cè)器模擬也是采用類似的方法，只是在這些應(yīng)用中，碰撞過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生的大量次級(jí)粒子需要記錄和追蹤。

蒙特卡洛方法并不特指某種特定的算法，而是對(duì)利用隨機(jī)性來(lái)解決問(wèn)題的方法的統(tǒng)稱，我們通過(guò)幾個(gè)例子展示了蒙特卡洛方法的典型應(yīng)用。物理學(xué)，以及所有的科學(xué)，都是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，使用蒙特卡洛方法相當(dāng)于在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。盡管新物理只可能在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，模擬實(shí)驗(yàn)只能輸入已知的物理定律，但正如我們看到的，蒙特卡洛方法可以為理論推導(dǎo)提供佐證，可以用簡(jiǎn)單的方式解決困難的問(wèn)題。在開(kāi)始真實(shí)的實(shí)驗(yàn)之前，蒙特卡洛模擬也是檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方案可行性的重要手段，特別是對(duì)于實(shí)驗(yàn)成本非常高昂的大科學(xué)裝置，如暗物質(zhì)探測(cè)器，高能粒子對(duì)撞機(jī)等等。同樣的，在各種工程和應(yīng)用領(lǐng)域如航空航天工業(yè)，軍事武器研發(fā)等等，蒙特卡洛模擬都是必要的環(huán)節(jié)。對(duì)于我們個(gè)人來(lái)說(shuō)，利用一臺(tái)小小的電腦，就能研究磁性系統(tǒng)的相變，觀察暗物質(zhì)粒子的運(yùn)動(dòng)，甚至模擬宇宙的演化、星系的形成這些不可能在現(xiàn)實(shí)中直接觀測(cè)的過(guò)程，這本身就是非常有趣的事情。

1. Eckhardt, Roger (1987). “Stan Ulam, John von Neumann, and the Monte Carlo method” . Los Alamos Science (15): 131–137.

2. Metropolis, N. (1987). “The beginning of the Monte Carlo method”. Los Alamos Science (1987 Special Issue dedicated to Stanislaw Ulam): 125–130.

3. 使用 Julia 語(yǔ)言 Ising2D.jl 程序包制作。

4. 使用作者編寫(xiě)的 darkprop 程序包計(jì)算。http://yfzhou./darkprop.

5. Emken T, Kouvaris C. “How blind are underground and surface detectors to strongly interacting Dark Matter?” Phys. Rev. D, 2018, 97(11): 115047. arXiv:1802.04764.