【原】非主流的數(shù)列解法，能夠被接受嗎？2022高考數(shù)學(xué)理科全國乙卷真題

老黃的圖書館 2022-07-15 發(fā)布于廣東

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這是2022年高考數(shù)學(xué)理科全國乙卷的一道數(shù)列問題。包含了等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)。題目并不難，但很有代表性。老黃在這道題目中發(fā)現(xiàn)了一種“非主流”的數(shù)列解法，但不知道能不能被接受。大家可以說說自己的看法。

記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知2Sn/n+n=2an+1.

(1)證明：{an}是等差數(shù)列；

(2)若a4, a7, a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.

分析：這種非主流解法就來自第(1)小題。由題干所給的等量關(guān)系，我們可以轉(zhuǎn)化得到另一個(gè)式子：Sn=nan-n(n-1)/2. 觀察這個(gè)式子，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

沒錯(cuò)，它指的是：以an為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。事實(shí)上，就是把數(shù)列a1, a2, a3, …, an; d=1，倒過來寫成了：an, a_(n-1), a_(n-2), …, a1; d=-1.

因此，到這里就可以直接得到{an}是等差數(shù)列的結(jié)論了。但老黃擔(dān)心這種“非主流”的方法，不被閱卷老師認(rèn)可，因此在下面的解題過程中，并不會(huì)在這里直接給出結(jié)論，而是繼續(xù)證明a_(n+1)-an等于一個(gè)常數(shù)。

這里引發(fā)了老黃關(guān)于數(shù)學(xué)的一些思考。有一個(gè)疑惑，一直困擾著老黃，相信絕大多數(shù)人也會(huì)受到這個(gè)問題的困擾。那就是一些超綱的數(shù)學(xué)定理和公式，甚至有可能是定理、公式都沒有總結(jié)出來的數(shù)學(xué)知識(shí)，能不能直接應(yīng)用在數(shù)學(xué)考試中。

很多人會(huì)因?yàn)閾?dān)心扣分而選擇放棄。但老黃覺得，數(shù)學(xué)考試不應(yīng)該被太多條條框框限制成一種形式主義，只要學(xué)生應(yīng)用的知識(shí)在數(shù)學(xué)整個(gè)領(lǐng)域上是合理的，就應(yīng)該給予鼓勵(lì)。沒錯(cuò)，很多老師也都是這樣想的。只是到了實(shí)踐，往往就會(huì)變了味。

這個(gè)困擾其實(shí)是從小學(xué)開始，就深深烙印在學(xué)生們的心里的。這里面牽涉的東西可就多了?？梢哉f，我們的學(xué)生們，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)發(fā)散思維，在小學(xué)階段就被死死地封印住了。事實(shí)上，這個(gè)問題也困擾了許多老師。OK，我們還是回答問題本身吧。具體的解法如下：

證明：(1)由2Sn/n+n=2an+1 ，有Sn=nan-n(n-1)/2, 【{an}是以an為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列.】

S_(n+1)-Sn=a_(n+1)=(n+1)a_(n+1)-nan-(n(n+1)/2-n(n-1)/2)=(n+1)a_(n+1)-nan-n,

n(a_(n+1)-an)=n, n≥1, ∴a_(n+1)-an=1. 即{an}是等差數(shù)列，d=1.

解：(2)若a4, a7, a9成等比數(shù)列, 則(a1+6)^2=(a1+3)(a1+8),

解得a1= -12. Sn=-12n+n(n-1)/2=(n-12.5)^2/2-78.125.

因?yàn)閚是正整數(shù)，所以當(dāng)n=12或n=13時(shí)，Sn=-78最小.