“四元數(shù)”的發(fā)現(xiàn)與證明

19世紀(jì)，愛爾蘭著名數(shù)學(xué)家哈密頓提出了一個世界著名的問題：周游世界問題。

1859年，哈密頓拿到一個正十二面體的模型。我們知道，正十二面體有12個面、20個頂點、30條棱，每個面都是相同的正五邊形。

他發(fā)明了一個數(shù)學(xué)游戲：假如把這20個頂點當(dāng)作20個大城市，比如巴黎、紐約、倫敦、北京……把這30條棱當(dāng)作連接這些大城市的道路。

如果有一個人，他從某個大城市出發(fā)，每個大城市都走過，而且只走一次，最后返回原來出發(fā)的城市。問這種走法是否可以實現(xiàn)?

這就是著名的“周游世界問題”。

我們?nèi)绻榔咦鶚虻膫髡f，就會意識到這是一道拓撲學(xué)研究范圍內(nèi)的問題。

解決這個問題，方法很重要。它需要一種很特殊的幾何思路。這種題是不能拿正十二面體的點線去試的。

設(shè)想，這個正十二面體如果是橡皮膜做成的，那么我們就可以把這個正十二面體壓成一個平面圖。假設(shè)哈密頓所提的方法可以實現(xiàn)的話，那么這20個頂點一定是一個封閉的20角形世界。

依照這種思路，我們就進入了最初步的拓撲學(xué)領(lǐng)域。最后的答案是，哈密頓的想法可以實現(xiàn)。

哈密頓是一位首先提出“四元數(shù)”的人。這個成果至今還鐫刻在他天才火花閃現(xiàn)的地方。

復(fù)數(shù)可以用來表示平面的向量，在物理上有極其廣泛的應(yīng)用。人們很自然地聯(lián)想到：能否仿照復(fù)數(shù)集找到“三維復(fù)數(shù)”來進行空間量的表示呢?

1828年開始，哈密頓開始悉心研究四元數(shù)。四元數(shù)屬于線性代數(shù)的組成部分，是一種超復(fù)數(shù)。但在哈密頓以前，沒有人提出四元數(shù)，哈密頓也是要解決空間量表示而研究的。

研究了十多年，哈密頓沒有絲毫進展，他是一個數(shù)學(xué)神童，少有難題，這次可真遇上麻煩了。到1843年，哈密頓研究了整整15年。

有一天下午，夕陽無限，秋色爽麗，風(fēng)景宜人。哈密頓的妻子見丈夫埋頭研究問題，幾乎不知寒暑不問春秋，于是很想讓他外出放松一下，調(diào)節(jié)一下身體。

她說：“親愛的，外面的自然即使不比你的數(shù)學(xué)更有趣，但也不會遜色的，快出去看看吧，多么美麗的秋天呀!”

哈密頓在妻子的勸說下，放下手頭的問題，走出書房。

夫妻二人散步，不知不覺來到護城河畔。秋風(fēng)柔和而涼爽，河面波光粼粼。清新的空氣帶著成熟的果香和大自然土壤的芬芳使人精神振奮，思維清晰。

他們陶醉在大自然中，這時暮色蒼茫，晚景宜人。二人來到玻洛漢姆橋，對著清新的水氣，望著萬家燈火，哈密頓的頭腦在若有若無之中思考，似乎遠又似乎近，似乎清楚又似乎模糊的東西久久在腦海縈繞。招之不來，揮之不去。

突然之間，這些印象似的感覺都變成了亮點，以往的迷霧全部消失彌散，思維的閃電劃過頭腦的天空。哈密頓眼前豁地亮了，那些澄明的要點一一顯露。

哈密頓迅速地拿出隨身攜帶的筆記本，把這令人欣喜若狂的結(jié)果記錄下來。15年來，整整15年，終于在這里找到了解法！

借著這個時機，哈密頓大踏步地飛奔回家，一頭扎進書房，廢寢忘食。一連幾天，幾乎不動地方，全神貫注地書寫并且不時地演算。在幾寸厚的稿紙中，哈密頓整理出一篇劃時代意義的論文。

1843年11月，數(shù)學(xué)界被轟動了，哈密頓和愛爾蘭科學(xué)院向世人宣布了“四元數(shù)”。

哈密頓證明了，要想在實數(shù)基礎(chǔ)上建立三維復(fù)數(shù)，使它具有實數(shù)和復(fù)數(shù)的各種運算性質(zhì)，這是不可能的。

1853年，哈密頓寫成《四元數(shù)講義》，于1857年發(fā)表。在他逝世后第二年，即1866年發(fā)表了《四元數(shù)原理》。

哈密頓敏銳地感覺到四元數(shù)的物理學(xué)意義。只可惜，他沒能目睹四元數(shù)的變革作用便離開了人間。

偉大的麥克斯韋正是在哈密頓四元數(shù)理論基礎(chǔ)上利用向量分析的工具走出迷茫，得出舉世聞名的電磁理論的。

四元數(shù)的研究，推動了向量代數(shù)的發(fā)展。在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家證明了超復(fù)數(shù)系統(tǒng)，人類思維達到了空前廣闊的領(lǐng)域。

直到現(xiàn)在，愛爾蘭都柏林玻洛漢姆橋，哈密頓駐足之處，仍立著一塊石碑，碑銘記載：“1843年10月16日，威廉·哈密頓經(jīng)過此橋時，天才地閃現(xiàn)了四元數(shù)的乘法，它與實數(shù)、復(fù)數(shù)顯著不同?！?/p>

四元數(shù)是誰發(fā)明的？

　　四元數(shù)是簡單的超復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)是由實數(shù)加上虛數(shù)單位 i 組成，其中i^2 = -1。那么四元數(shù)是誰發(fā)明的呢?接下來?編為?家介紹四元數(shù)的發(fā)明由來，?起來看看吧!

　　四元數(shù)的簡介

　　四元數(shù)(Quaternions)是由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓(William Rowan Hamilton,1805-1865)在1843年發(fā)明的數(shù)學(xué)概念。四元數(shù)的乘法不符合交換律(commutative law)，故它似乎破壞了科學(xué)知識中?個最基本的原則。

　　明確地說，四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著?個四維空間，相對于復(fù)數(shù)為?維空間。

　　四元數(shù)是除環(huán)(除法環(huán))的?個例?。除了沒有乘法的交換律外，除法環(huán)與域是相類的。特別地，乘法的結(jié)合律仍舊存在、?零元素仍有唯?的逆元素。

　　四元數(shù)形成?個在實數(shù)上的四維結(jié)合代數(shù)(事實上是除法代數(shù))，并包括復(fù)數(shù)，但不與復(fù)數(shù)組成結(jié)合代數(shù)。四元數(shù)(以及實數(shù)和復(fù)數(shù))都只是有限維的實數(shù)結(jié)合除法代數(shù)。

　　四元數(shù)的不可交換性往往導(dǎo)致?些令?意外的結(jié)果，例如四元數(shù)的 n-階多項式能有多于 n 個不同的根。

　　四元數(shù)的發(fā)明由來

　　1843年10?16?的傍晚，英國數(shù)學(xué)家哈密頓和他的妻??起步?去都柏林，途中經(jīng)過布魯哈姆橋時，他的腳步突然放慢了。妻?以為他要盡情欣賞周圍的景?，于是也放慢了腳步。其實哈密頓此時正在思考他久久不能解決的問題。早在1828年，他就想發(fā)明?種新的代數(shù)，?來描述繞空間?定軸轉(zhuǎn)動并同時進?伸縮的向量的運動。他設(shè)想這種新代數(shù)應(yīng)包含四個分量：兩個來固定轉(zhuǎn)動軸，?個來規(guī)定轉(zhuǎn)動?度，第四個來規(guī)定向量的伸縮。但是在構(gòu)造新代數(shù)的過程中，由于他受傳統(tǒng)觀念的影響，不肯放棄乘法交換律，故屢受挫折。哈密頓盲?地相信，普通代數(shù)最重要的規(guī)律必定繼續(xù)存在于他尋找的代數(shù)中。然?此刻，他的腦際突然產(chǎn)?了?個閃念：在所尋找的代數(shù)中，能否讓交換律不成?呢???說，A×B不等于B×A?是等于負的

B×A。這個想法太?膽了，他感到?常激動。哈密頓馬上掏出筆記本，把他的思想?花記錄下來。這??花就是I，J，K之間的基本?程，即四元數(shù)乘法基本公式。哈密頓因此把1843年10?16?稱為四元數(shù)的??。此后，哈密頓??的最后22年?乎完全致?于四元數(shù)的研究，成果發(fā)表在他去世后出版的《四元數(shù)基礎(chǔ)》?書中。四元數(shù)的出現(xiàn)，推倒了傳統(tǒng)代數(shù)的關(guān)卡，故有數(shù)學(xué)史上星程碑的美譽。后?為了紀(jì)念這?發(fā)明，特意在當(dāng)年哈密頓刻劃過的?頭上鑲嵌了?塊?泥板，上?清楚地記載著1843年曾經(jīng)發(fā)?的故事。