這是一道關于導數極限的高數證明題。證明函數在趨于無窮大時，若函數的極限和導數的極限都存在，那么導數的極限就一定等于0. 事實上，其內涵是，趨于正無窮大單調遞增的上凸函數，若極限存在，則導數的極限等于0；趨于正無窮大的單調遞減下凸函數，若極限存在，則導數極限等于0. 趨于負無窮大時，單調性相反。

下面老黃要用三種證明方法來證明這個定理，每一種方法都是越來越復雜的，但后面復雜的證明方法涉及到的知識更貼近高數極限的本質。

證明：設f在(a,+∞)可導，若lim( x→+∞)f’(x), lim( x→+∞)f(x)都存在, 則(lim)( x→+∞)f’(x)=0.

證1：記lim( x→+∞)f’(x)=B, lim( x→+∞)f(x)=A. 則

B=lim( x→+∞) lim( h→0) (f(x+h)-f(x))/h 【運用了導函數的定義極限公式】

=lim(h→0) lim( x→+∞) (f(x+h)-f(x))/h=0, 得證！【交換了極限的次序。因為兩個極限都存在，所以可以交換極限的次序】

證2：任取[x,x+1]?(a,+∞), 由拉格朗日中值定理知,

存在一點ξ∈(x,x+1), 使得f’(ξ)=f(x+1)-f(x),

當x→+∞時, ξ→+∞, x+1→+∞,

lim(ξ →+∞)f’(ξ)=lim(x→+∞)f(x)-lim(x+1→+∞)f(x+1)=0. 【改變自變量的符號，并不改變極限的本質】

證3：由柯西收斂法則知：對?ε>0，總存在正數M>a，

使對?x1,x2>M時，有|f(x1)-f(x2)|<ε/2, |f’(x1)-f’(x2)|<ε/2,【因為f(x)和f'(x)都收斂】

當x>M時，由拉格朗日中值定理知：

存在ξ∈(x,x+1)使f(x+1)-f(x)=f’(ξ)，

又|f’(ξ)|=|f(x+1)-f(x)|<ε/2, |f’(ξ)-f’(x)|<ε/2, 從而

|f’(x)|≤|f’(ξ)-f’(x)|+|f’(ξ)|<ε,

∴l(xiāng)im( x→+∞)f’(x)=0. 【運用了極限最原始的定義】

同理可證x→-∞時，命題也成立. 也可以對任意符合定理的函數補充負區(qū)間的定義，使之成為一個偶函數，由偶函數的性質，就可以知道x→-∞時，命題也成立.

這三種證法，有兩種是老黃自創(chuàng)的，只有一種是教材上介紹的。你能猜到哪兩種證法是老黃獨創(chuàng)的嗎？