【原】?圓周運(yùn)動(dòng)：直角坐標(biāo)系

cosmos2062 2022-09-15 發(fā)布于廣東

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當(dāng)物體在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只要知道了轉(zhuǎn)角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，就可以導(dǎo)出全部運(yùn)動(dòng)學(xué)量。

在剛剛完成的兩小節(jié)中，我們從物理的層面出發(fā)，對(duì)物體沿圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度做了細(xì)致的分析，給出了一些重要的結(jié)果。其中《勻速運(yùn)動(dòng)》一節(jié)給出了中學(xué)時(shí)期就熟悉的公式，而《變速運(yùn)動(dòng)》一節(jié)則給出了一些新概念。不過，這些都僅僅是加速度的基本特性，我們?nèi)匀晃瓷婕白钪匾膯栴}：時(shí)間因素在運(yùn)動(dòng)過程中的作用。當(dāng)物體沿圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，位置、速度和加速度對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系將是本節(jié)要討論的問題。

當(dāng)物體沿圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了定量地研究各種運(yùn)動(dòng)學(xué)量隨時(shí)間改變的規(guī)律，必須引入適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。假定物體沿著紙面上的一個(gè)圓軌道運(yùn)動(dòng)，為了簡單起見，習(xí)慣上以圓軌道的圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向從左向右為軸的正方向，豎直向上的方向?yàn)? 軸的正方向，建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系。還需要用到兩個(gè)輔助參量：物體離開原點(diǎn)的距離以及對(duì) 軸的偏角。

在按以上方式建立起來的這樣一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)物體的位置矢量可以表示成：

(1)

在這個(gè)表達(dá)式中，是圓軌道的半徑，不隨時(shí)間改變，位置矢量與時(shí)間的依賴關(guān)系表現(xiàn)在轉(zhuǎn)角上。

對(duì)位置矢量的表達(dá)式 (1) 式求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，得到運(yùn)動(dòng)速度的表達(dá)式：

(2)

其中被稱為角速度，它反映了物體沿圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)繞軌道中心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢程度。一般約定，按照?qǐng)D中的平面直角坐標(biāo)系的畫法，當(dāng)物體沿圓軌道逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角速度取為正值。對(duì)速度的表達(dá)式取模，就得到圓周運(yùn)動(dòng)的速率的表達(dá)式：。當(dāng) 是一個(gè)常數(shù)時(shí)，就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

對(duì)速度的表達(dá)式 (2) 式再求一次時(shí)間導(dǎo)數(shù)，就得到加速度的表達(dá)式：

(3)

其中被稱為角加速度，反映了角速度隨時(shí)間變化的快慢程度。

讓我們仔細(xì)分析加速度的這個(gè)表達(dá)式。先看第二項(xiàng)。引入一個(gè)沿位置矢量方向的單位矢量：

(4)

稱之為徑向單位矢量。對(duì)于圓軌道，位置矢量的方向沿半徑背向圓心。引入了徑向單位矢量之后，加速度的這一項(xiàng)可以寫成。前面曾經(jīng)說過，用表示沿曲線的內(nèi)法線方向的單位矢量。對(duì)于圓軌道，內(nèi)法線方向沿半徑指向圓心。因此，。于是，加速度的這一項(xiàng)就可以改寫成。利用速率與角速度的關(guān)系式，這一項(xiàng)也可以寫成。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這一項(xiàng)正好就是法向加速度。這個(gè)結(jié)果啟發(fā)我們猜測，在加速度的表達(dá)式 (3) 式中，第一項(xiàng)應(yīng)該就是切向加速度。