接著就是對(duì)五次方程通解的突破。三次、四次都是同時(shí)解決，唯獨(dú)到了五次方程，韋達(dá)之后160余年也沒(méi)有人突破。期間包括了著名的歐拉、高斯、拉格朗日、柯西這些數(shù)學(xué)史上的神人，都沒(méi)有得到最終的答案。

這個(gè)答案后來(lái)被來(lái)自挪威的一名年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾解決了。阿貝爾是個(gè)苦命人——自小就失去父親，母親終日酗酒，家貧，但他的數(shù)學(xué)天賦卻得到了學(xué)校教師們的一致認(rèn)可，因此，當(dāng)時(shí)的挪威政府資助他到法國(guó)和德國(guó)求學(xué)。

他利用反證法，證明五次方程沒(méi)有代數(shù)解——也就是說(shuō)，你可以對(duì)任何一個(gè)五次方程求得數(shù)值的解，但五次方程沒(méi)有一個(gè)形式通解，即它的解都是一對(duì)一的，不能用五次方程的系數(shù)去表達(dá)。

阿貝爾在1825年把這個(gè)證明過(guò)程交給了高斯，高斯當(dāng)時(shí)對(duì)此沒(méi)有興趣，沒(méi)有理會(huì)。但另一個(gè)德國(guó)數(shù)學(xué)家克雷爾卻非常重視，自費(fèi)資助這個(gè)年輕人出版了整個(gè)證明。這是阿貝爾第一次公開(kāi)發(fā)表自己的研究成果，也是最后一次。

1829年，阿貝爾在挪威患肺結(jié)核去世，年僅27歲。他去世后沒(méi)多久，克雷爾就發(fā)來(lái)了柏林大學(xué)決定聘請(qǐng)阿貝爾為數(shù)學(xué)教授的邀請(qǐng)信。

19世紀(jì)初，兩百年前卡爾達(dá)諾提出的復(fù)數(shù)概念被進(jìn)一步拓展和深化，成為除解決高次方程通解問(wèn)題之后的核心問(wèn)題。

人們開(kāi)始意識(shí)到，復(fù)數(shù)的奇妙在于，把數(shù)這個(gè)極其抽象的東西變成了一個(gè)二維空間里的具象——我們的高數(shù)課本里是以實(shí)數(shù)為橫軸，虛數(shù)i為縱軸，構(gòu)成了一個(gè)平面空間，0+0i是原點(diǎn)，所有的實(shí)數(shù)都不過(guò)是虛數(shù)的一種特例，即a+bi當(dāng)b=0時(shí)的特例。

所以，代數(shù)就成了一個(gè)數(shù)學(xué)空間，一旦明確為數(shù)值，則這個(gè)代數(shù)空間就會(huì)“坍縮”成一個(gè)數(shù)值點(diǎn)！

虛數(shù)到底有啥用？后來(lái)量子力學(xué)中的波函數(shù)，虛數(shù)就代表光的位相，光的波粒二象性——既是波又是粒子，取決于你怎么觀察——就是通過(guò)虛數(shù)來(lái)表示的。

這真的就是人類(lèi)的虛構(gòu)。然而，這個(gè)虛構(gòu)打開(kāi)了關(guān)于空間和維度的想象力之窗：任何數(shù)，任何方程，都可以表示為空間中的線段，而且是帶有指向的線段——向量。

數(shù)和方程的計(jì)算，也都可以轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g中向量的疊加運(yùn)算——比如，兩個(gè)方向相反的向量，可以通過(guò)一定運(yùn)算，比如給其中一個(gè)向量乘以負(fù)數(shù)，把方向變過(guò)來(lái)，就可以與另一個(gè)向量重疊——我們就可以說(shuō)，這兩個(gè)向量是“線性相關(guān)”（linearly dependent）；如果兩個(gè)向量指向不同的方向，不論怎樣運(yùn)算也無(wú)法重疊為一個(gè)方向，那么就是“非線性相關(guān)”（non）——我們很容易想象，說(shuō)明這兩個(gè)向量可以構(gòu)成一個(gè)平面，這叫共面。

如果這個(gè)平面二維空間上有第三個(gè)向量，那么就意味著三個(gè)向量共面，這第三個(gè)向量，就可以由前兩個(gè)向量運(yùn)算得出——就是說(shuō)共面的三個(gè)向量是線性相關(guān)的。而如果這三個(gè)向量不共面，兩兩構(gòu)成垂直的平面，那么我們就進(jìn)入到了三維空間，這三個(gè)向量就構(gòu)成三維空間的“基”——在這個(gè)三維空間中的任意向量，都可以用這三個(gè)基本向量運(yùn)算得出，也就是說(shuō)，三維空間中的四個(gè)向量是線性相關(guān)的。

向量空間的可怕在于，它還可以繼續(xù)下去，超出我們具象的四維、五維繼續(xù)下去，只要是一個(gè)方程如ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，如果只有當(dāng)系數(shù)a，b，c，d，e，f都等于0時(shí)，上述方程才成立，那么向量x^5，x^4，x^3，x^2，x，f就構(gòu)成了一個(gè)六維向量空間，這個(gè)空間中任何其他向量都可以用這6個(gè)向量來(lái)表達(dá)，則空間的維度是6。

接著我們還可以想象，那么這些不同維度的空間是否能發(fā)生關(guān)系？當(dāng)然可以。

二維平面的方程，可以通過(guò)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槿S空間，這叫“線性變換”，也就是二維向量在三維空間中的映射（project）。同樣，三維空間向量也可以通過(guò)映射關(guān)系變換為二維平面，這就叫“投影”（mapping），所以，高維映射到低維叫“投影”，低維映射到高維叫“嵌入”（embed）。

這能干啥呢？后來(lái)的力學(xué)空間、張量、量子力學(xué)領(lǐng)域就需要大量運(yùn)用這類(lèi)數(shù)學(xué)工具！

接著就來(lái)的新的突破。

蘇格蘭的威廉·漢密爾頓爵士出場(chǎng)了。依然是個(gè)神童，十歲就通曉歐洲各國(guó)語(yǔ)言，1827年他還剛大學(xué)畢業(yè)，就被都柏林三一學(xué)院聘為天文學(xué)教授！他自小鐘情文學(xué)，與威廉·沃茲華斯是密友，后者勸他還是致力于科學(xué)，成就會(huì)更大。

因?yàn)闈h密爾頓先是用詩(shī)，后來(lái)用數(shù)學(xué)證明了圓錐折射定理——只要入射角合適，光線經(jīng)過(guò)折射會(huì)變成一個(gè)中空的光錐?！锢憩F(xiàn)象被數(shù)學(xué)推導(dǎo)預(yù)測(cè)出來(lái)，這是十九世紀(jì)初期的第一批次。

漢密爾頓對(duì)虛數(shù)極其感興趣，這就是個(gè)天生感興趣于高度抽象世界的人。他發(fā)現(xiàn)從一維的實(shí)數(shù)a，拓展到二維的虛數(shù)a+bi，可謂打開(kāi)一片新的天地，那么為什么不能拓展到三維？

人們都已經(jīng)知道，數(shù)字可以對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘除，如復(fù)數(shù)（a+bi）與（c+di）可以按照代數(shù)法則和復(fù)數(shù)法則進(jìn)行乘除。——這就是所謂三數(shù)組。這種玩意到底是什么意思？

漢密爾頓天才地發(fā)現(xiàn)，代數(shù)運(yùn)算乘以虛數(shù)i，意味著幾何運(yùn)算上的“逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°”，所以，某個(gè)數(shù)乘以復(fù)數(shù)（a+bi）意味著一次轉(zhuǎn)動(dòng)和一次放大，先乘a放大，再乘bi轉(zhuǎn)動(dòng)。

這只是在二維平面上的操作，漢密爾頓想到，三數(shù)組可以描述二維平面，那么是否可以進(jìn)一步描述三維空間？這一苦思就是十年。

因?yàn)樗龅搅藰O大的困難，三元數(shù)組幾乎無(wú)法找出一個(gè)合適的代數(shù)形式來(lái)表達(dá)。

十年后，1842年10月16日，周一，漢密爾頓路過(guò)布魯姆橋的時(shí)候，靈感終于出現(xiàn)了——三數(shù)組不夠的話，就再加一個(gè)數(shù)進(jìn)去，變成四數(shù)組。

他把四數(shù)組的計(jì)算規(guī)則定義為：i^2=j^2=k^2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。

看到?jīng)]有，其實(shí)就可以理解為順時(shí)針或逆時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系。

這套規(guī)則拿出來(lái)之后，他的同事們反復(fù)測(cè)算驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)一切都沒(méi)毛病，但就是無(wú)法理解到底是什么意思。而且，漢密爾頓自己也很驚詫——如果這樣也可以的話，我真不知道我們創(chuàng)造數(shù)字的自由度能有多大。

如果四數(shù)組描述三維空間，那么第四個(gè)數(shù)到底是干嘛用的？漢密爾頓自己認(rèn)為，第四個(gè)數(shù)當(dāng)然是描述第四維時(shí)間的?！纱怂譄o(wú)意中成為第一個(gè)把空間與時(shí)間合二為一的科學(xué)家——個(gè)人認(rèn)為跟他的詩(shī)人想象力有關(guān)。

漢密爾頓還沒(méi)有停止，他構(gòu)造出了八數(shù)組，十九世紀(jì)末期又有了十六數(shù)組。他發(fā)現(xiàn)，從二維到四維，乘法交換律失效了，從四維到八維，乘法結(jié)合律也失效了，從八維到十六維，除法也失效了。

關(guān)鍵問(wèn)題是，這一切都意味著什么呢？

其后四元數(shù)遇到了后起之秀海威塞的挑戰(zhàn)，他發(fā)明了矢量概念，即用三數(shù)組來(lái)描述空間的點(diǎn)，矢量乘法就是我們?cè)诟邤?shù)中學(xué)過(guò)的點(diǎn)積和叉積。矢量比較好地適用于工程學(xué)，應(yīng)用較廣。所以逐漸替代了四元數(shù)組。

直到二十世紀(jì)初，人們才逐漸理解，其實(shí)兩者有很大的差別，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，矢量方法就是轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)操作平臺(tái)，就像我們把手表放在轉(zhuǎn)表盒里轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去看手表一樣；而四元數(shù)則是代表的空間位置和轉(zhuǎn)動(dòng)本身。這個(gè)概念，一直到近一百年后，人們研究到質(zhì)子、中子和電子的自旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，才得以理解四元數(shù)的強(qiáng)悍。

1843年10月16日漢密爾頓爵士在經(jīng)過(guò)都柏林皇家運(yùn)河上的布魯姆橋時(shí)，靈感突發(fā)想到了第四個(gè)數(shù)，因?yàn)樗?dāng)時(shí)怕自己走過(guò)橋之后就忘記了，直接拿出刀子就刻在橋西頭上。當(dāng)然，后來(lái)這個(gè)涂鴉沒(méi)有了，不過(guò)后世為了紀(jì)念這一天，再次把這個(gè)四元數(shù)計(jì)算法則銘刻在了那座橋上，造就了歷史上最著名的數(shù)學(xué)涂鴉。

其實(shí)，幾乎就是在同一時(shí)間，尼古拉·羅巴切夫斯基也想到了非歐幾何——即基于彎曲空間的另一套幾何法則——誰(shuí)說(shuō)了法則是不能更改的？

漢密爾頓在四元數(shù)組中提到了標(biāo)量a，和其余三項(xiàng)向量，把向量理解為旋轉(zhuǎn)——僅僅十二年之后，法拉第就發(fā)現(xiàn)了電場(chǎng)和磁場(chǎng)，但法拉第不太懂?dāng)?shù)學(xué)，無(wú)法描述，直到再十余年后的麥克斯韋，才把向量與電磁場(chǎng)結(jié)合了起來(lái)。

插上了一段——三元數(shù)組也好，四元數(shù)組也好，從形式上提出了一個(gè)數(shù)據(jù)矩陣的問(wèn)題。而矩陣式的問(wèn)題，最早來(lái)源于兩千年年前中國(guó)西漢時(shí)期的著名數(shù)學(xué)著作——九章算術(shù)。

在這部著作中，第一次提出了三元一次方程組的解答方法——也就是我們熟知的消元法。把消元法抽象為純粹的形式，其實(shí)就是行列式。只不過(guò)九章算術(shù)沒(méi)有提出代數(shù)，得到的都是具體的數(shù)值解。