傅里葉(Fourier)全名是讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉，1768年3月21日出生于法國中部歐塞爾的一個平民家庭，他的父親是一個裁縫，母親是一個家庭主婦。傅里葉童年的生活不僅非常困苦，而且還非常不幸，在他9歲的時候，他的父母親同時生病去世，小小年紀(jì)的他便成了一個孤兒。

傅里葉

當(dāng)?shù)氐囊患抑鹘炭此浅？蓱z，便好心收養(yǎng)了他，然后送他到教會的學(xué)校就讀。在學(xué)校期間，傅里葉就表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的特殊愛好和才華，他的數(shù)學(xué)成績非常出色，幾乎考試都是個滿分。在他十二歲的時候，傅里葉轉(zhuǎn)到鎮(zhèn)上的軍校就讀，并立志于當(dāng)炮兵或者工程兵，但是，他的這個當(dāng)兵理想?yún)s因自己出身卑微而遭到無情地拒絕。

再后來，傅里葉開始重新思考和規(guī)劃自己的未來，正當(dāng)他猶豫到底是追隨自己的興趣搞數(shù)學(xué)研究還是當(dāng)個神職人員捧金飯碗的時候，1789年，法國大革命爆發(fā)了，傅里葉猶豫了很久的各種計劃也因此被中斷了。無奈之下，傅里葉只能回到家鄉(xiāng)歐塞爾，并在母校當(dāng)起了老師。

在大革命期間，傅里葉以熱心地方事務(wù)而知名，而且是一個非常有正義感的人。他曾因替當(dāng)時恐怖行為的受害者申辯，結(jié)果因此被捕入獄。出獄后，他被家鄉(xiāng)人民集體推薦去上大學(xué)，隨后成功進入由雅各賓派籌備建立的巴黎高等師范大學(xué)，成為該校的第一批學(xué)生，并因自己出色的數(shù)學(xué)才華給人留下了深刻的印象。但是，僅僅過了4個多月，剛成立的巴黎高等師范大學(xué)就因為雅各賓派的倒臺而關(guān)門大吉。傅里葉在蒙日的幫助下，成功轉(zhuǎn)到1795年成立的黎綜合工科學(xué)校直接當(dāng)起了助教，協(xié)助拉格朗日和蒙日的教學(xué)工作。兩年之后，29歲的傅里葉當(dāng)上了教授。

正當(dāng)傅里葉準(zhǔn)備在數(shù)學(xué)領(lǐng)域大展拳腳的時候，又來事了。拿破侖這個軍事天才，精通數(shù)學(xué)和天文學(xué)，并且對科學(xué)家非常重視，決定要出兵遠征埃及，而且還要帶上一些科學(xué)家，傅里葉很“榮幸”地被選中了。1798年，傅里葉隨拿破侖遠赴埃及。

在開羅，傅里葉擔(dān)任埃及研究院的秘書，并從事許多外交活動，但同時他仍堅持不斷地進行個人的業(yè)余研究，即數(shù)學(xué)物理方面的研究。

1801年，法國在埃及戰(zhàn)敗之后，傅里葉回到了法國。他本來希望自己能夠繼續(xù)回到巴黎綜合工科學(xué)校當(dāng)教授，但是拿破侖很欣賞他的外交能力和行政能力，直接就任命他為伊澤爾地區(qū)首府格勒諾布爾的高級行政長官，相當(dāng)于我們現(xiàn)在的省長。而且由于在行政上的工作表現(xiàn)非常突出，1808年拿破侖又授予傅里葉男爵稱號。

雖然當(dāng)了個大官，而且每日公務(wù)繁忙，但是，傅里葉仍抑制不住自己內(nèi)心對數(shù)學(xué)物理的熱愛。所以在業(yè)余的時間，傅里葉就繼續(xù)搞起了科學(xué)研究。1807年，傅里葉向巴黎科學(xué)院遞交了一篇論文——《關(guān)于熱傳導(dǎo)的研究報告》，在這篇論文中，傅里葉提出了一個令人震驚的結(jié)論：任何一個周期函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這個級數(shù)就是我們現(xiàn)在所說的傅里葉級數(shù)。傅里葉這個結(jié)論有多令人震驚，我這里先舉個例子給你們看一下，比如下面這個不連續(xù)的周期函數(shù)：

圖片來源:https://www./madocs/619/

顯然這個函數(shù)不是一個處處連續(xù)光滑的函數(shù)，因為在  的奇數(shù)倍的地方，函數(shù)是間斷的，所以這些地方是不連續(xù)和不可導(dǎo)的。但是，傅里葉說，不管這個函數(shù)如何跳躍，如何古怪，它一樣可以展開為三角函數(shù)的無窮級數(shù)，即可以表示成無窮多個具有不同振幅、不同相位和頻率等于基頻整數(shù)倍的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的和。

動圖來源:https://www./madocs/619/

但是，傅里葉的這篇論文經(jīng)法國史上最偉大的3L(Lagrange、Laplace、Legendre)——拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審之后被拒絕了。因為傅里葉所提出來的傅里葉級數(shù)與拉格朗日自己在18世紀(jì)50年代處理弦振動問題時對三角級數(shù)的否定相矛盾，所以遭到拉格朗日的反對。拉格朗日以缺乏數(shù)學(xué)嚴(yán)密性為由拒絕傅里葉這篇論文的發(fā)表。

雖然傅里葉的論文未能發(fā)表，法國科學(xué)院審查委員會還是繼續(xù)鼓勵傅里葉鉆研，將結(jié)果嚴(yán)格化，而且還決定把熱傳導(dǎo)問題定為1812年度的科學(xué)大獎?wù)n題進行懸賞征文。

為了繼續(xù)完成關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的研究，傅里葉在1811年提交了修改過的論文，并參加法國科學(xué)院1812年度科學(xué)大獎的角逐。傅里葉在這次角逐中毫無懸念地贏得了1812年度科學(xué)大獎的獎金。(你可別小看這個獎哦，這一獎項表彰的是對科學(xué)、數(shù)學(xué)和技術(shù)問題的創(chuàng)新性解決方法，含金量堪比現(xiàn)在的諾貝爾獎。)

雖然傅里葉是獲獎了，但是這次的審閱人仍然是朗格朗日等人。拉格朗日再一次堅持了他原來的批評意見，認(rèn)為傅里葉這篇修改后的論文仍然缺乏嚴(yán)格性和普遍性，這使得傅里葉的新論文又一次無法發(fā)表在當(dāng)時的科學(xué)院的《報告》里面。傅里葉對他所受到的不公待遇感到非常憤恨。于是，他決定沉下心來繼續(xù)對熱的課題進行更加深入地研究，并把之前的論文鋪開來寫成專著。

拉格朗日對傅里葉關(guān)于數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的批評，代表了純數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)物理學(xué)家之間的一個基本區(qū)別，這是很有意思的。純數(shù)學(xué)家所能用的唯一武器，是精確嚴(yán)格的證明。除非所引證的定理能夠經(jīng)得起它的時代所能提出的最嚴(yán)格的批評，否則純數(shù)學(xué)家們是幾乎不會接受它的。但是，面對無限復(fù)雜的客觀世界，應(yīng)用數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)物理學(xué)家們心里非常清楚，我們不可能找到任何簡單到人類都能夠理解的數(shù)學(xué)理論去完全描述客觀世界。而且他們對于這一點不會感到任何惋惜，因為他們更在乎的是物質(zhì)宇宙本身，而不是苛刻到變態(tài)的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性。

在奪得科學(xué)大獎之后，幾經(jīng)宦海浮沉，1815年，傅里葉終于在拿破侖百日王朝的尾期辭去爵位和官職，毅然返回巴黎以圖全力投入學(xué)術(shù)研究。但是，失業(yè)、貧困以及政治名聲的落潮，使得這時的傅里葉處于一生中最艱難的時期。后來，在昔日的同事和學(xué)生的關(guān)懷下，傅里葉謀得了統(tǒng)計局主管之職。這份工作不繁重，足以為生，使得傅里葉能夠繼續(xù)從事研究工作。

終于在1822 年，傅里葉發(fā)表了數(shù)學(xué)物理史上最著名、最經(jīng)典的劃時代名著之一——《熱的解析理論》。

在這部專著中，傅里葉編入了他1807和1811年關(guān)于熱傳導(dǎo)論文的全部內(nèi)容，而且?guī)缀跷醋魅魏胃膭?。之前批評他嚴(yán)密性不足的那些問題，在固執(zhí)的傅里葉看來，純屬針對他個人的偏見。

后來為了處理無窮區(qū)域的熱傳導(dǎo)問題，傅里葉又導(dǎo)出了我們現(xiàn)在所稱的傅里葉變換，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅里葉的工作意義遠不止此，他迫使人們對函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級數(shù)收斂性問題更是刺激了集合論的誕生。

在發(fā)表了《熱的解析理論》的同一年，傅里葉被選為科學(xué)院的終身秘書，這是極有權(quán)力的職位。1827年，傅里葉又被選為法蘭西學(xué)院院士，還被英國皇家學(xué)會選為外國會員。

傅里葉一生為人正直，他曾對許多年輕的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家給予無私的支持和真摯的鼓勵，從而得到他們的忠誠愛戴，并成為他們的至交好友。在他幫助過的科學(xué)家中，有知名的狄利克雷(Dirichlet)和阿貝爾(Abel)等人。

但也有一件令人遺憾至極的事，就是傅里葉收到伽羅瓦(Galois)的關(guān)于群論的論文時，他已病情嚴(yán)重而未閱，以致論文手稿失去下落。后來的事大家都知道了，伽羅瓦對自己多次提交論文無果而感到非常失望和憤怒，并在一次愚蠢的決斗中付出了自己年僅21歲的生命。這是數(shù)學(xué)界巨大的損失，他可是伽羅瓦啊，史上最具天才的數(shù)學(xué)家之一。伽羅瓦的故事這里就不再展開，以后學(xué)完群論之后有機會再單獨寫一篇文章。

1830年，傅里葉因為心臟病(也有人說是動脈瘤)去世，享年62歲。關(guān)于他的去世原因，也有一個民間說法，說是由于傅里葉極度癡迷熱學(xué)，他認(rèn)為熱能包治百病，于是在1830年的一個夏天，他關(guān)上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，然后被活活地?zé)崴懒耍?/span>

傅里葉去世后, 法國人以各種樣的形式銘記這位偉大的數(shù)學(xué)物理大師，以表示對他的尊敬和紀(jì)念。

比如，20世紀(jì)之后，法國建立了一所以傅里葉名字命名的大學(xué)。

約瑟夫?傅立葉大學(xué)

在他的家鄉(xiāng)歐塞爾伯爵宮墻壁上，也鑲嵌有傅里葉的雕像。

埃菲爾鐵塔上的72個學(xué)者之中，也有傅里葉的一席之地。

埃菲爾鐵塔上刻有傅里葉的名字

還有一條以傅里葉命名的街道，等等等等。

傅里葉街

縱觀傅里葉一生的學(xué)術(shù)成就，他最突出的貢獻就是他對熱傳導(dǎo)問題的研究和新的普遍性數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造，這就為數(shù)學(xué)物理學(xué)的前進開辟了廣闊的道路，極大地推動了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，從而也有力地推動了物理學(xué)的發(fā)展。我國數(shù)學(xué)家、微分方程方面的專家申又棖教授曾經(jīng)說：“傅里葉的創(chuàng)造，是給各種類型的偏微分方程 (波動方程、擴散方程、拉普拉斯方程等) 提供了一種統(tǒng)一的求解方法，就好比從前在算術(shù)中解 “四則問題”時各種難題有各種解法，而運用代數(shù)方程以后，就有了統(tǒng)一的簡便的解法?！边@個比喻，很好地形容出傅里葉的方法在微分方程領(lǐng)域的重要意義和廣泛的實用價值。傅里葉級數(shù)的提出，大大拓寬了人們對函數(shù)的認(rèn)識。

1854 年, 黎曼在討論傅里葉級數(shù)的文章中第一次闡述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)通用的積分定義。1861 年，魏爾斯特拉斯正是運用三角級數(shù)構(gòu)造出處處連續(xù)而處處不可微的病態(tài)函數(shù)。正是從傅里葉級數(shù)提出來的許多問題直接引導(dǎo)狄利克雷、黎曼、斯托克斯以及從海涅直至康托爾、勒貝格等人在實變分析的各個方面獲得了卓越的研究成果，并且導(dǎo)致一些新的數(shù)學(xué)分支，如泛函分析, 集合論等分支的建立。傅里葉的工作對純數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了深遠的影響，這是傅里葉本人及其同時代人都難以預(yù)料到的，而且，這種影響至今還在發(fā)展之中。

當(dāng)然，傅里葉一生的成就不僅僅只局限于與傅里葉級數(shù)相關(guān)的熱力學(xué)與微分方程，他對方程論也有很廣泛的研究，他也是最早使用定積分符號  的人，他甚至是溫室效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)者。這一系列成就也使得傅里葉在數(shù)學(xué)史上能與拉普拉斯，勒讓德等人齊名。

傅里葉一生堅信數(shù)學(xué)是解決實際問題的最卓越的工具，他認(rèn)為： “對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉”。這一見解是傅里葉從事學(xué)術(shù)研究的指導(dǎo)性觀點。傅里葉的研究成果又是表現(xiàn)數(shù)學(xué)美的典型，傅里葉級數(shù)猶同用數(shù)學(xué)語言譜寫的一首長詩。著名物理學(xué)家麥克斯韋曾把《熱的解析理論》稱為“一首偉大的數(shù)學(xué)詩”。開爾文勛爵不但稱之為 “數(shù)學(xué)的詩”, 而且宣稱他自己在數(shù)學(xué)物理中的全部生涯都受到了這部著作的影響。

那么，傅里葉這首偉大的數(shù)學(xué)詩是怎么創(chuàng)作出來的呢？

2 偉大詩篇誕生之路

傅里葉是怎么提出“任何一個周期函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)”這個思想的？他怎么就那么自信地認(rèn)為任何一個周期函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)？下面我們就來看一下傅里葉提出這個思想的思考過程。(這里提醒一下：下面的內(nèi)容會涉及很多數(shù)學(xué)公式，如果你發(fā)現(xiàn)公式顯示不完整，請在公式所在的區(qū)域左右滑動即可看到完整的公式)

有意思的是，傅里葉并不是直接從數(shù)學(xué)上提出這個思想的，而是在研究熱傳導(dǎo)這個物理問題的時候提出來的。我們都知道，在吸收或釋放熱的物體內(nèi)部，溫度分布一般是不均勻的，每一個點的溫度都可能不一樣，而且在任何點上的溫度都會隨著時間而變化。所以溫度T是空間和時間的函數(shù)，其函數(shù)的準(zhǔn)確形式依賴于物體的形狀、密度、材料的比熱，以及初始時刻的溫度分布(即在時刻t=0時物體溫度T的初始分布)。

傅里葉根據(jù)物理原理和實驗建立了在均勻和各向同性的物體內(nèi)，溫度T所滿足的一個偏微分方程： 

這個方程叫做三維空間中的熱傳導(dǎo)方程。其中，  是一個常數(shù)，其值依賴于物體的質(zhì)料，  是空間坐標(biāo)  和時間  的函數(shù)。

傅里葉當(dāng)時解決了特殊情況下的熱傳導(dǎo)問題，即一維空間的熱傳導(dǎo)問題。因為在一維的情況下熱傳導(dǎo)方程具有非常簡單的形式： 

為了直觀地理解這個方程的含義，我們想象一下，有一根又長又細(xì)的圓柱形鐵棒在鐵匠的鍛爐里被不均勻地加熱，它的周身散布著一些熱點和冷點。假設(shè)鐵棒外面有一個完全隔熱的套筒，使得它與外界沒有熱交換，這樣熱量就不會散失了。在這種情況下，根據(jù)熱能自發(fā)地從較高的溫度傳到較低的溫度的原理，即熱力學(xué)第二定律，鐵棒上熱流動的唯一途徑是沿著鐵棒的長度方向從熱點擴散到冷點。這個熱傳導(dǎo)方程(2.2)式描述的就是鐵棒上任何一點的溫度隨時間的變化規(guī)律，并且也告訴了我們，正是溫度在空間上的曲率導(dǎo)致了時間上的變化率。如果用圖把這個方程的解畫出來，它就是一個二維平面上方的曲面：

圖片來源：bilibili up主：3Blue1Brown

可是這個熱傳導(dǎo)方程是怎么得出來的呢？這里我只簡單說一下基本的思路。

傅里葉發(fā)現(xiàn)鐵棒上任何一點的溫度隨時間的變化率是由與它相鄰點的平均溫度的大小關(guān)系決定的，如果相鄰點平均溫度比它的溫度高，那么它的溫度就會升高，而且如果相鄰點平均溫度比它的溫度高出很多，那么它的升溫速度就會更快，反之亦然；當(dāng)相鄰兩點的平均溫度與它的溫度相等時，那么它的溫度就與相鄰點達到熱平衡而保持不變?？傊?，鐵棒上每一點的溫度都會趨向于相鄰兩點的平均值。

比如，我們假設(shè)鐵棒上的熱源都是離散的，若某一點  的溫度為  ，與它相鄰的兩個點  和  的溫度分別為  和  ，那么當(dāng)  ,  就會升溫，反之降溫。而當(dāng)   時，   溫度保持不變。

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這個規(guī)律可以用如下的數(shù)學(xué)語言表述： 這個離散版本的情形通過一個極限過程就可以過渡到連續(xù)版本的方程，也就是上面的熱傳導(dǎo)方程(2.2)式。  

你可能會有疑問，為什么鐵棒上任何一點的溫度隨時間的變化率是由與它相鄰點的平均溫度的大小關(guān)系決定的？我們可以這樣來直觀地理解，任何一點與相鄰兩點互相之間存在熱流動，溫度大的相鄰點會拉升這個點的溫度，同時溫度小的相鄰點會拉低這個點的溫度，當(dāng)兩個相鄰點的熱流共同擴散到這個點時，兩股熱流的較量結(jié)果就決定了該點的溫度變化，若拉高的溫度值等于拉低的溫度值，即  ，說明相鄰的兩股熱流的較量結(jié)果達到一個熱平衡，  的溫度就保持不變。同理，當(dāng)較量結(jié)果打破熱平衡時，  的溫度變化就會倒向較量勝出的那一方。

有了熱傳導(dǎo)方程之后，接下來傅里葉面臨的最重要的任務(wù)就是求解溫度  關(guān)于  和  的具體函數(shù)形式，也就是說： 

但是，對于偏微分方程的求解，如果我們僅僅只有上面那個熱傳導(dǎo)方程(2.2)是，那我們將不可能得到一個具體的方程解  。因為如果沒有其他條件的限制，那么滿足熱傳導(dǎo)方程的解將會有無窮多個。比如，如果我們已經(jīng)知道有一個解  滿足熱傳導(dǎo)方程，那么這個解加上任意常數(shù)(  )或者乘以任意常數(shù)(  )之后也是方程的解，你可以自己代入到熱傳導(dǎo)方程試試。所以，為了求解出溫度  ，我們還需要這個  在初始時刻所滿足的初始條件，以及邊界點所滿足的邊界條件，這兩個條件和熱傳導(dǎo)方程結(jié)合起來之后求解得到的解就是滿足初始條件和邊界條件的方程解。

在解微分方程中，初始條件和邊界條件的重要性絲毫不亞于方程本身，如果沒有初始條件和邊界條件，我們不可能得到有意義的具體的方程解。

傅里葉在求解熱傳導(dǎo)方程的時候，考慮了一種典型的情況，即一根長度為  的鐵棒的兩端絕熱無熱流通過，兩端的溫度保持在0度。另外，他還假定在初始時刻t=0時，鐵棒上各點的溫度分布函數(shù)是一個已知的給定的函數(shù)  。也就是說，他求解熱傳導(dǎo)方程的初始條件和邊界條件如下： 

初始條件：
這里的  是某個已給定的溫度分布函數(shù)，它描述了在初始時刻鐵棒各點的溫度值。

邊界條件： 這個邊界條件的意思就是鐵棒兩端的溫度與外界絕熱，在任意時刻都保持為0度。

有了這兩個條件之后，傅里葉用了一種稱之為分離變量的方法求解熱傳導(dǎo)方程。

首先，他令： (學(xué)過量子力學(xué)的同學(xué)會不會對這個方法有一種似曾相似的感覺，定態(tài)薛定諤方程的即視感有木有? )

其中，  只是空間  的函數(shù)，不含有時間  。同樣，  只是時間  的函數(shù)，不含有空間  。

把分離變量之后的溫度函數(shù)，即2.5式代入一維空間的熱傳導(dǎo)方程2.2式之后，簡單整理一下即可得到如下的結(jié)果： 仔細(xì)觀察這個等式，不難發(fā)現(xiàn)，左邊是僅僅含有空間  的式子，右邊是僅僅含有時間  的式子，要使得這兩個式子對于任意的  和  都能夠相等，當(dāng)且僅當(dāng)左右邊兩邊都為同一個常數(shù)。

不妨假設(shè)這個常數(shù)為  ，即： 整理得到兩個含有常數(shù)  的常微分方程：  這兩個常微分方程是很容易求解的。其中，方程(2.7)的通解為： 其中，  和  均為積分常數(shù)。

根據(jù)邊界條件2.4式，可以得到： 這個等式對于任意的  都成立，因此只能有  ，所以  。當(dāng)然，如果  的話，也能使得上式成立，但如果這樣的話， 就有 和  ，這顯然意義不大，因為鐵棒的溫度都是恒定不變等于0，我們還怎么研究它隨時間的變化規(guī)律，沒意義！

同樣地，根據(jù)另外一個邊界條件可以得到：  要使得這個等式也對于任意的  都成立，則有： 從而：   其中，  為整數(shù)。 

所以常數(shù)  有無窮多個與整數(shù)  有關(guān)的解，我們記為： 可能你會覺得奇怪，為什么同樣是求解滿足  的  ，對于上面的  ，你怎么只取  一個解，而下面那個  的方程，你卻取了包含所有整數(shù)的解。其實，上面那個  的包含整數(shù)的解都合并到那個  里面了。因為如果  的解也取包含整數(shù)的解，比如  (  為整數(shù))，那么邊界條件 就變成  ，這時候就有  ，所以就有：  ，這里的  和  都是整數(shù)，所以  也是取遍所有整數(shù)，那么結(jié)果跟  (  是整數(shù))就一樣了。既然最終結(jié)果都一樣，那么我們先取  也無妨，因為最終  的表達式都是(2.10)式的形式。

所以，既然常數(shù)  有無窮多個解，那相應(yīng)的，函數(shù)  的形式也有無窮多個，并且也與整數(shù)  有關(guān)，我們記為  ，結(jié)合2.9式和2.10式，可得： 

常數(shù)  在這里也相應(yīng)地記為  ， 因為 有無窮多個解，相應(yīng)的常數(shù)  也有無窮多個，所以我們應(yīng)該將它記為更一般的形式  。

現(xiàn)在再來求解方程2.8。很顯然，這個方程的通解就是指數(shù)形式： 其中，  為積分常數(shù)。

把2.11式、2.12式和2.5式結(jié)合起來，我們就可以得到分離變量條件下的溫度函數(shù)的具體形式： 這個解的形式中還有兩個未知的量，  和  ，兩個都是常數(shù)，為了簡單起見，我們干脆把它們都合并為一個常數(shù)，并繼續(xù)記為  ，這樣(2.13)式就可以寫成：   為整數(shù)。

但是，我們上面這樣解出來的  是建立在  可以進行分離變量的基礎(chǔ)上的(2.5式)，也就是說，如果  可以分離變量，那么熱傳導(dǎo)方程2.2式的解就是上面的2.14式，這個操作相當(dāng)于是給解方程增加了限制條件，所以實際求出來的解僅僅是所有解中的一部分，而不是全部的解。

這個時候，傅里葉提出一個重要的論斷，他說由于熱傳導(dǎo)方程式線性的，所以分離變量解的所有線性組合也是方程的解。

舉個例子，假設(shè)現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了熱傳導(dǎo)方程的兩個解  和  ，那么這兩個解的線性組合  也是方程的解，因為導(dǎo)數(shù)這個運算具有線性性。我們把  代入熱傳導(dǎo)方程2.2左右兩邊即可驗證。

先看左邊： 這里由于我們假設(shè)  和   都是熱傳導(dǎo)方程的結(jié)果，所以有： 所以方程左邊得到的結(jié)果就是上面的形式。 

再看右邊： 對比左右兩邊的結(jié)果即可得到：  和  這兩個解的線性組合  也是熱傳導(dǎo)方程的解。

基于熱傳導(dǎo)方程的這個性質(zhì)，傅里葉認(rèn)為在分離變量條件下得到的解  的線性組合仍然是方程的解。故他斷言，熱傳導(dǎo)方程的完全解為： 其中  為任意的常數(shù)。

類似上述的方法，我們可以把兩個常數(shù)(上式中的  和  )合并為一個常數(shù)，并繼續(xù)記為   。所以，熱傳導(dǎo)方程的完全解形式就可以表示為： 這個解的形式中還含有一個未知的常數(shù)  。為了求解  ，傅里葉根據(jù)前面假設(shè)的初始條件： 把t=0代入到2.15式之后得到： 這時候傅里葉面臨這樣的一個問題：由于初始條件給定的  是任意一個有限區(qū)間內(nèi)( )的已知函數(shù)，那么上面的結(jié)果是否意味著任何一個有限區(qū)間內(nèi)的函數(shù)  都可以表示成一個三角函數(shù)的無窮級數(shù)？如果可以，那么這個 能確定嗎？

傅里葉的這個問題看似很自然，實際上需要非常大的勇氣和非凡的洞察力，這是他向偉大進擊的第一步。

為了回答這個問題，傅里葉采用了一些非常復(fù)雜且不太嚴(yán)密的方法。這里只簡單說一下，不再詳細(xì)贅述。首先，為了簡單起見，傅里葉假設(shè)  ,并把2.16式中的正弦函數(shù)都展開成麥克勞林冪級數(shù)，然后交換求和次序得到  的一種冪級數(shù)形式，再跟  直接展開成麥克勞林冪級數(shù)的系數(shù)進行比較之后，得到： 

現(xiàn)在  的各階導(dǎo)數(shù)是已知的, 因為  是已給的一個初始條件。所以    是無窮線性代數(shù)方程組里的未知數(shù)的一個無窮集合。也就是說，傅里葉把關(guān)于  求解的問題轉(zhuǎn)化為求解一個無窮線性代數(shù)方程組的問題。然而，求解無窮線性代數(shù)方程組是一件極其困難的事，傅里葉對幾個不同的  ，用非常復(fù)雜、包含這發(fā)散表達式的程序說明了如何確定  。傅里葉在求解無窮線性方程組的過程復(fù)雜到什么程度，我截一點他在《熱的解析理論》中的推導(dǎo)過程給你們感受感受：

這個推導(dǎo)過程足足用了10頁紙左右的篇幅。傅里葉用他近乎變態(tài)級的分析和計算能力得到了  的表達式，但是這個表達式卻含有無窮乘積和無窮和的形式，他覺得這個表達式?jīng)]有什么作用。最終，他經(jīng)過更為大膽和富有創(chuàng)造性的方法——三角函數(shù)正交性(后面我們會詳細(xì)解釋)，得到了  的表達式：

這是一個偉大的積分公式。

緊接著，傅里葉又作出了一個非常重要的論斷。他注意到上面2.17式中的每一個  都可以解釋為  取值從0到  時, 曲線 下方的面積，這是定積分的幾何意義。而且這樣一個面積即使對很隨意的函數(shù)  都是有意義的。函數(shù)  不必是連續(xù)的, 它可以是帶有棱角的形狀，也可以是跳躍的、間斷的，因為即便如此，曲線積分也是存在的、有意義的，這一點從直觀的幾何圖形上就可以斷定。

所以，傅里葉認(rèn)為他求解出來的  是存在的、有意義的，這也就是說，他原來提出的那個問題：任何一個有限區(qū)間上的函數(shù)  都可以表示成一個三角函數(shù)的無窮級數(shù)嗎？

答案是肯定的。因為他找到了三角級數(shù)的系數(shù)  的具體表達式(也就是2.17式)，使得任意函數(shù)  都可以表示成一個三角函數(shù)的無窮級數(shù)。因此，傅里葉下結(jié)論說，每一個有限區(qū)間的函數(shù)都可以表示為： 

其中： 傅里葉在得到系數(shù)  的過程中用了正弦函數(shù)在一個周期上的積分性質(zhì)。為了得到其中某個系數(shù)，比如  ，傅里葉用  同時乘2.18式的兩邊，然后對  從0到  進行定積分，即： 為了避免符號混亂，上式右邊用了  作為求和指標(biāo)，這樣并不會改變結(jié)果。仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，右邊中的每一項，當(dāng)  時，其積分結(jié)果為： 

這個結(jié)果稱為三角函數(shù)的正交性，是三角函數(shù)非常重要的一個性質(zhì)之一。

而當(dāng)  的時候，積分： 所以，我們得到另一個非常重要的關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)： 這個叫三角函數(shù)的歸一性，后面我們會詳細(xì)談到。

因此，當(dāng)我們用  同時乘2.18式的兩邊并從0到  進行積分之后，右邊就只剩下一項不為0的，其他每一項都等于0，結(jié)果就等于： 整理一下即可得到： 這就是傅里葉所得到的三角級數(shù)的系數(shù)  的表達式。

你可能會對這個表達式感到很奇怪，我們本來是想求  的三角級數(shù)表達式，怎么最終得出來的系數(shù)還包含了  與正弦函數(shù)  乘積的定積分值？

實際上，這個  是已經(jīng)給定的已知條件，它跟一個具體的正弦函數(shù)的乘積的結(jié)果也是確定的，它們乘積的定積分的結(jié)果也是存在和確定的。所以，系數(shù)  當(dāng)然也是一個具體的、確定的值，只不過是用定積分的形式給出。

正因為傅里葉得到了系數(shù)  ，所以他斷言，任何一個函數(shù)(實際上是一個有限區(qū)間的函數(shù))都可以展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。而且，他堅信這個結(jié)論不僅適用于連續(xù)的函數(shù)，還適用于間斷的、不連續(xù)的函數(shù)。傅里葉作出的這個論斷不僅僅有數(shù)學(xué)方面的幾何直觀，而且還有物理方面的實際意義。

我們舉個例子，比如，對上面那個鐵棒熱傳導(dǎo)的模型稍微擴充一下，取兩根鐵棒，每根鐵棒其中一端的溫度值維持在0度，但是另一端的溫度初始值完全不一樣。我們將這兩端接在一起，使得兩根鐵棒合二為一。這時候，整個鐵棒兩端的溫度仍然維持在0度，滿足上面熱傳導(dǎo)模型的邊界條件。而對于初始條件，由于銜接端的溫度初始值不一樣。所以，初始條件的那個溫度分布函數(shù)  是一個不連續(xù)的函數(shù)，因為中間銜接處的溫度是跳躍的、間斷的。但是，盡管如此，這兩根合二為一的鐵棒仍然會按照熱傳導(dǎo)方程進行擴散傳導(dǎo)，并且它們也都符合傅里葉上面所假定的初始條件和邊界條件。所以，這個合二為一的鐵棒的熱傳導(dǎo)方程的解也一定是2.15式所示的形式，并且鐵棒初始的溫度分布函數(shù)  ，盡管是不連續(xù)的、間斷的，也一定可以展開成2.18式的三角函數(shù)級數(shù)。例如兩根鐵棒其中一根初始溫度處處為90度，另一根初始溫度處處為10度，把它們挨在一起之后，熱傳導(dǎo)過程就按照方程2.2開始演化了。

動圖來源：bilibili up主：3Blue1Brown

雖然兩根棒挨在一起之后的整體溫度的初始分布函數(shù)是跳躍的，而且還是呈方波形狀的，但是最終仍然可以通過上述的傅里葉方法得到滿足初始條件和邊界條件的溫度函數(shù)，并自然而然地得到跳躍函數(shù)可以展開成三角級數(shù)的結(jié)論。

傅里葉得到了有限區(qū)間上的函數(shù)  可以展開成正弦函數(shù)的無窮級數(shù)(2.18式)之后，他進一步假定，  也應(yīng)該可以展開成余弦函數(shù)的無窮級數(shù)，因為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的形狀是一樣的，只不過其中之一是由另一個平移之后得到的，比如  就是由  向左平移  個單位得到的。所以，傅里葉假設(shè)，函數(shù)  也可以展開成如下的形式：并利用上面類似的方法，兩邊同乘一個  積分之后得到系數(shù)  的表達式： 其中，   。

這里的2.19式右邊最前面為什么還有一個常數(shù)項，而且還是  ？答案是必須有常數(shù)項，而且寫成  之后，所有的   (包括  ) 都可以用上面2.21式統(tǒng)一給出。

事實上，如果我們僅僅假設(shè)  可以表示成沒有常數(shù)項的余弦級數(shù)： 那么，當(dāng)我們對方程兩邊同時從0到  進行積分之后，左邊是一個定積分表示的值，而右邊每一項的積分都等于0，最后就得到這樣一個結(jié)果： 但是，由于  的任意性，這個定積分值可不是恒等于0的哦，所以這是矛盾的。怎么呢？把這個定積分值乘以  之后加到右邊就可以保證等式成立，比如： 但是這個常數(shù)項  跟上面2.21式還不太一樣(差了一個常數(shù)2)，為了使2.21式也能統(tǒng)一表示各個系數(shù)   ，我們令  =  ，然后把  寫成2.20式的形式，這樣就美美噠！

得到了  展開成余弦函數(shù)級數(shù)的結(jié)果之后，傅里葉繼續(xù)他的分析，他把原來  在有限的區(qū)間  拓寬到了  ，并考慮拓寬區(qū)間后的任意一個  的三角級數(shù)表達式。

傅里葉在這里利用了一個結(jié)論：任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和。這個結(jié)論的證明也非常簡單，我們假設(shè)  可以表示成：  其中：  是奇函數(shù)，  是偶函數(shù)。

根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，我們有另外一個表達式：  這時候我們把  和  看成是已知的，并以此聯(lián)立上面兩個等式來求解  和  這兩個未知量，相當(dāng)于求解二元一次方程組： 

 最后我們得到： 緊接著，非常關(guān)鍵的一步，傅里葉把  展開成正弦函數(shù)級數(shù)(2.18式)，把  展開成余弦函數(shù)級數(shù)(2.20式)，即： 

其中：  。注意，這個展開實際上是在區(qū)間  上的展開結(jié)果，因為我們上面得到的展開式(2.18式)都是基于在區(qū)間  上推導(dǎo)出來的。

同樣的，在區(qū)間  上，傅里葉把  展開成余弦函數(shù)級數(shù)的形式： 其中：   。

由于  在  區(qū)間上可以展開成正弦函數(shù)級數(shù)(2.22式)，且等式兩邊都是奇函數(shù)(因為右邊的每一項  都是奇函數(shù))，那么，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在  這個區(qū)間上，  可以展開成同樣形式的正弦函數(shù)級數(shù)(2.22式)。也就是說，在整個  區(qū)間上，  都可以展開成上面的正弦函數(shù)級數(shù)，雖然這個展開形式只是在  推導(dǎo)出來的。

同樣地，  在整個  區(qū)間上也可以展開成余弦函數(shù)級數(shù)(2.23式)。

現(xiàn)在，在整個  區(qū)間上，  就可以展開成三角函數(shù)級數(shù)： 但是，這里的 兩個系數(shù) 和?  ，  仍然是由  和  這兩個函數(shù)在  這個區(qū)間上的定積分值給出的。我們希望把他們轉(zhuǎn)化成由  的在整個  的區(qū)間上的定積分值給出，以免出現(xiàn)屬于中間過程的函數(shù)  和  。

我們先來看一下這個  ，它是這個積分值： 由于  是奇函數(shù)，而  也是奇函數(shù)，所以兩者的乘積  就是一個偶函數(shù)，那么根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于y軸的對稱性，在整個  區(qū)間上的定積分值滿足：  (注意上面的積分區(qū)間的變化)

另外，由于  是偶函數(shù)，而  是奇函數(shù)，所以兩者的乘積  就是一個奇函數(shù)，那么根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點的對稱性，在整個  的區(qū)間上的定積分值等于0，即有： 把這個式子加到上面的式子，結(jié)果不會改變。因為任何一個數(shù)加上0之后還是那個數(shù)。之所以這樣處理，是因為我們想在被積函數(shù)里面湊出個  ，這樣就能夠達成我們的目標(biāo)。

因此，我們有： 

這樣我們就得到用  在整個  的區(qū)間上的定積分值所表示的  ，

即： 同樣地，  的表達式為： 這個表達式統(tǒng)一包含了  。

這兩個積分表達式是傅里葉真正的偉大工作之一。

綜上所述，傅里葉得到了：任何一個在  區(qū)間上的函數(shù)  都可以展開成如下的三角函數(shù)級數(shù)： 其中： 既然得到了有限區(qū)間  上的函數(shù)  的三角函數(shù)級數(shù)形式，如果  是一個以  為周期的周期函數(shù)，那么在每一個長度為  的區(qū)間上，  的函數(shù)值和形狀都是重復(fù)的，與  的一樣。而剛好2.24式右邊的每個三角函數(shù)的共同的最小周期是  ，所以它們的級數(shù)和，也就是等式的右邊也是一個周期為  的周期函數(shù)。所以，任何一個以  為周期的函數(shù)  都可以表示成三角函數(shù)級數(shù)(2.24式)，等式左右兩邊都是周期為  的周期函數(shù)。

有了上面周期為  的結(jié)論之后，我們很自然地就可以推廣到任意周期為T的函數(shù)。道理也很簡單，如果函數(shù) 是周期為T的周期函數(shù)，我們令： 則可以把函數(shù)  變換成以  為周期的關(guān)于t的周期函數(shù)  ：

這時候  就可以按照上面2.24式進行展開： 其中： 現(xiàn)在我們用  換元回去，把上面關(guān)于t的傅里葉級數(shù)變?yōu)殛P(guān)于x的傅里葉級數(shù)形式，即有： 其中，  。

而且這時候的系數(shù)  和  的形式就變成： 注意，這時候積分區(qū)間變成了  到  ，因為做了換元。同樣地，前面的  也變成了   ，這是非常簡單的積分換元法。

所以，對于周期為T的任意一個周期函數(shù)  ，都可以展開成如下的三角函數(shù)的無窮級數(shù)： 

其中： 這個就是偉大的傅里葉級數(shù)的一般形式，也就是我們本篇開頭所提到的那個傅里葉級數(shù)公式，它可以算是數(shù)學(xué)史上一個里程碑式的成果。

這里特別說明一下，  和  的積分表達式里面的積分區(qū)間其實只要是在一個周期內(nèi)就可以，比如從0到T，或者從任意一個  到  都可以，不一定要按照我們上面從-T/2到T/2這樣形式的區(qū)間，最終的結(jié)果都是不變的。

傅里葉的這個結(jié)果也迫使函數(shù)概念的修改，當(dāng)時其他數(shù)學(xué)家都認(rèn)為分段函數(shù)不可能有一個統(tǒng)一的解析表達式，比如這個函數(shù)，它的圖像在每個  的周期內(nèi)重復(fù)  的形狀，如下圖：

圖片來源：https://www./madocs/619/

對于這樣一個周期函數(shù)，我們無法用單個的解析式來表示它，而只能用分段的解析式來表示它，即每個周期內(nèi)的函數(shù)表達式都不一樣，我們必須在每個不同的周期內(nèi)分別用一個不同的解析式來表示它。但是，重點來了，對于這樣一個無法用單一解析式表示的函數(shù)，傅里葉說可以用一個三角函數(shù)級數(shù)來統(tǒng)一表示它，也就是上面的  在區(qū)間  上的傅里葉級數(shù)(2.25和2.26式，自變量用  或  來表示都可以)，這個級數(shù)在任何區(qū)間都與  的函數(shù)值相等。所以，傅里葉級數(shù)事實上也提供了一個統(tǒng)一表達分段函數(shù)的方法，不得不說這個觀念顛覆了人們一直以來的函數(shù)觀。

不僅如此，傅里葉的這項工作還標(biāo)志著人們從解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)中解放了出來：一個傅里葉級數(shù)在一整段區(qū)間上表示一個函數(shù)，而一個泰勒級數(shù)僅在函數(shù)是解析的點附近表示該函數(shù)。

到這里，我們終于是沿著傅里葉的思路一路披荊斬棘成功抵達了偉大思想的彼岸：任何一個周期函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)——傅里葉級數(shù)。傅里葉對這個結(jié)論深信不疑，他堅信不管一個函數(shù)是怎樣的，有解析式也好，沒解析式也行，不管這個函數(shù)如何古怪，就算是在有限區(qū)間內(nèi)只能用分段的代數(shù)式表達的間斷函數(shù)，通通都可以展開成傅里葉級數(shù)，而且他還深信這個級數(shù)是收斂的。傅里葉關(guān)于這一點的信念是建立在前面所述的幾何證據(jù)(就是上面提到的定積分的幾何意義)之上的，他在他的書中說道：“為了證實新結(jié)果的真實性, 為了明白地給出分析學(xué)常用的表達形式, 沒有什么比幾何圖形對我們更適宜的了?！?/span>

傅里葉上面的一整套基于熱傳導(dǎo)方程邊界問題發(fā)展出來的數(shù)學(xué)方法，看起來幾乎很完美，根本不應(yīng)該存在拉格朗日所批評的所謂的嚴(yán)密性和普遍性問題。但是為什么拉格朗日堅持這樣的批評意見呢？

其實從當(dāng)時的歷史背景來看，傅里葉的方法完全不存在拉格朗日所批評的問題，因為對一個函數(shù)的收斂性和嚴(yán)格性等要求，是在19世紀(jì)的下半葉之后才發(fā)現(xiàn)存在問題的。在拉格朗日所處的時代，他也并不知道這里面是有問題的，但是他卻仍然用不知所為何物的嚴(yán)格性來批評傅里葉。

所以，傅里葉很大程度上是被誤解了，他真的很冤！甚至，傅里葉當(dāng)時對函數(shù)收斂性問題的考慮，比拉格朗日考慮的還要更深刻、更全面。也正是因為他的論文，才吸引來了他的一個學(xué)生狄利克雷對這方面的關(guān)注，并自然而然地把函數(shù)收斂性的問題給引出來。所以，正是傅里葉的工作，才把這個純數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、收斂性的問題引出來。從這個意義來說，傅里葉的成果不僅在那個時代的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性方面沒有問題，而且還有很積極的一面。

還有關(guān)于普遍性方面的問題，即是不是所有的周期函數(shù)都能夠表示成傅里葉級數(shù)？拉格朗日說你傅里葉沒有證明所有函數(shù)都可以這樣表示，所以沒有普遍性。盡管這一點不無道理，但是，這仍然是不合時代背景的標(biāo)準(zhǔn)，因為在當(dāng)時，人們對這個問題也沒有一個準(zhǔn)確的認(rèn)識。

實際上，我們現(xiàn)在都知道，極廣泛的一類有限區(qū)間上的函數(shù)都可以展開成傅里葉級數(shù)。拉格朗日當(dāng)時感覺有很多函數(shù)不能用三角級數(shù)表示，比如帶有棱角的函數(shù)等等，但是傅里葉說，只要你區(qū)間是有限和確定的，幾乎所有的函數(shù)都能表示成三角級數(shù)。之所以說“幾乎所有”，而沒有肯定地說“所有”，是因為后來發(fā)現(xiàn)確實有極少一部分函數(shù)不能展開成傅里葉級數(shù)。也就是說，一個函數(shù)能否展開成傅里葉級數(shù)是有條件的，這個條件是傅里葉的學(xué)生狄利克雷給出的，我們現(xiàn)在稱這個條件為狄利克雷條件：

1.函數(shù)  在一個周期內(nèi)絕對可積(即  )，且是連續(xù)的或只有有限個間斷點，在間斷點處的函數(shù)值為有限值；

2.函數(shù)  在一個周期內(nèi)逐段單調(diào)，即可將一個周期分成有限個子區(qū)間，且函數(shù)  在每個子區(qū)間內(nèi)或不增或不減。換句話說，函數(shù)  在一個周期內(nèi)只有有限個極大值或極小值點。

滿足這兩個條件的函數(shù)都可以展開成傅里葉級數(shù)，而且級數(shù)在連續(xù)點  處收斂于函數(shù)值  ，在間斷點  處，級數(shù)收斂于   ，即收斂于間斷點左右極限的平均值。

條件1中的絕對可積是為了保證周期函數(shù)傅里葉級數(shù)中的系數(shù)  和  都存在，因為這兩個系數(shù)都是通過周期函數(shù)與三角函數(shù)的乘積的積分來計算的，如果原周期函數(shù)不是絕對可積，則系數(shù)  和  有可能不存在，也就不能保證我們可以將周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。而條件2是為了保證級數(shù)能夠收斂到f(x)。具體的證明比較復(fù)雜，這里不再展開。

從狄利克雷條件可以看出，絕大部分正常的函數(shù)，比如連續(xù)函數(shù)、有有限個間斷點或極值點的函數(shù)都可以展開成傅里葉級數(shù)，只有極少一部分奇怪的、反常的函數(shù)，比如有無窮多個間斷點或者有無窮多個極值點的函數(shù)，才無法展開成傅里葉級數(shù)。雖然這類函數(shù)在純數(shù)學(xué)上是存在的，但是和數(shù)學(xué)家們熱衷于構(gòu)造這類奇怪的函數(shù)去當(dāng)反例不同，物理學(xué)家和工程師們都認(rèn)為這些奇怪的函數(shù)在大自然中幾乎不可能出現(xiàn)，因此我們大可放心——對于實際場合中遇到的函數(shù)，這些條件基本都是滿足的。所以對于物理學(xué)家來說，所有的周期函數(shù)都可以展開成傅里葉級數(shù)。

傅里葉在當(dāng)時的歷史背景下，從熱傳導(dǎo)的物理實際問題出發(fā)，并在符合當(dāng)時人們對于函數(shù)收斂性和嚴(yán)密性方面的已有認(rèn)知的條件下，作出了任何周期函數(shù)都可以展開成三角函數(shù)級數(shù)的偉大論斷，這已經(jīng)是傅里葉在當(dāng)時所能做到的最極致的成果，而狄利克雷條件的發(fā)現(xiàn)那是后話了。所以，從這個意義來看，傅里葉當(dāng)時所遭受的待遇真的是太冤、太委屈了，我們都不得不懷疑當(dāng)時拉格朗日們的批評是不是帶有政治成份。

3 換個角度欣賞傅里葉級數(shù)之美

上面我們提到了三角函數(shù)的正交性和歸一性，現(xiàn)在我們來解釋它們的含義，并從另外一個角度來欣賞傅里葉級數(shù)。

首先，我們來回顧一點線性代數(shù)的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時候，我們討論最多的一個對象就是向量，還有關(guān)于向量的加法運算和數(shù)乘運算。如果由許多向量構(gòu)成的一個集合  ，以及定義在這個集合之上的加法運算和數(shù)乘運算(數(shù)域  )滿足八大條件，我們就稱這個集合  為數(shù)域  上的一個線性空間，這八大條件如下所示：

我把這八個條件總結(jié)如下：首先，集合  關(guān)于向量加法構(gòu)成一個交換群(條件1-4)；其次，數(shù)乘有單位元和結(jié)合律(條件5-6)；最后，數(shù)乘和加法運算滿足分配律(條件7-8)。

線性空間里面的元素既可以是真實三維空間里有方向和大小的向量，也可以是其它的抽象對象，只要能滿足八大條件，都可以構(gòu)成線性空間。

有了線性空間之后，我們就可以研究線性空間里面的元素之間的關(guān)系。但是，線性空間里面的元素究竟長什么樣？上面所說的那八大條件，畢竟還是太抽象了，我們能不能具體地把線性空間中的元素——我們統(tǒng)稱之為向量給描述出來？實際上，有時候我們很難直接描述線性空間中的向量究竟是啥，但是我們可以間接地描述它們。

為了簡單起見，我們現(xiàn)在就以二維平面中的向量為例。很顯然，二維平面的所有向量關(guān)于向量的加法運算和實數(shù)域上的數(shù)乘運算構(gòu)成一個線性空間(很容易用八大條件檢驗一下即可)。但是，我們要怎么描述或表示二維平面中的一個向量呢？比如下面這個光禿禿的有限線段，它就是二維平面上的一個向量，既有方向也有長度，我們要怎么樣用數(shù)學(xué)語言來描述它？

這個問題好像問得有點弱智，因為我們都知道，描述一個向量首先要建立一個直角坐標(biāo)系(準(zhǔn)確說叫笛卡爾坐標(biāo)系)，然后用這個向量在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)來描述它。這話沒錯，但是我們怎么建立一個坐標(biāo)系？很簡單，我們就先取兩個向量  和  ，它們的長度我們定義為1個單位，并且讓它們互相垂直。然后，我們以這兩個向量作為基向量，也就是作為描述其他向量的基礎(chǔ)，這兩個基向量我們稱為一組正交歸一的基，它們共同構(gòu)成了一個坐標(biāo)系，使得二維平面中的任何一個向量都可以由它們來表出。

比如上圖所示的一個向量，我們就可以利用基向量來表示它： 

基向量  和  前面的系數(shù)3和4就分別表示了向量  的坐標(biāo)(完整地說應(yīng)該是向量在基向量下的坐標(biāo))，這兩個坐標(biāo)我們是怎么得到的？就是把向量  分別垂直投影到兩個基向量所在的坐標(biāo)軸，然后算一下這個投影出來的新向量的長度是基向量長度的多少倍，這個倍數(shù)就是向量  在基向量下的坐標(biāo)。

有了基向量之后，我們也可以表示向量的加法運算和數(shù)乘運算。比如，向量  與向量  之間的加法： 在二維平面上看向量加法的結(jié)果就是平行四邊形法則，物理上力的合成法則也是這樣。所以，我們可以借助于力的合成這個圖像來直觀和物理地理解向量的加法。

對于向量的數(shù)乘運算，在幾何直觀上看就表現(xiàn)為伸縮操作，比如對向量  乘以2，即坐標(biāo)都伸縮為原來的兩倍：  

可以看到，選定了一組基向量之后，我們可以通過這組基向量來描述其他任何向量，以及描述向量之間的加法和數(shù)乘運算。我們甚至還可以再把這種描述簡化一下，即省去基向量  和  ，直接用向量的坐標(biāo)來表示向量和向量之間的運算，比如向量  可以記為  ，向量的加法可以表示為坐標(biāo)的加法：  ，數(shù)乘運算可以表示為  。

但是，我們這里必須說一下，基向量的選擇是任意的，你也可以選取兩個不垂直的向量作為基向量(但是必須線性無關(guān)，即方向不能相同)，也可以選取長度不為1的向量作為基向量，這樣建立起來的坐標(biāo)系就不是我們通常的直角坐標(biāo)系。然而，用這樣的坐標(biāo)系來描述向量和向量之間的運算，本質(zhì)上跟直角坐標(biāo)系并沒有什么區(qū)別，只是同一個向量在不同坐標(biāo)下的坐標(biāo)會有所不同而已。因為用直角坐標(biāo)系的方式描述起來比較方便和簡潔，所以我們當(dāng)然首選直角坐標(biāo)系。

現(xiàn)在我們再想一下，兩個向量之間還有沒有其他運算？我們中學(xué)的時候?qū)W過向量的基本內(nèi)容，里面是不是還有一個叫點乘或者點積的運算？有沒有印象？ 這里的  是兩個向量之間的夾角。

這個運算跟上面的加法和數(shù)乘運算不太一樣，兩個向量相加之后的結(jié)果仍然是一個向量，一個向量數(shù)乘運算之后也仍然是一個向量，但是兩個向量的點積運算結(jié)果是一個數(shù)，而并不是一個向量。這一點從上面的公式即可看出來。

在直角坐標(biāo)系下，兩個向量的點積結(jié)果等于對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和： 這是因為兩個基向量之間是正交且歸一的，所以  ，  ，  ，這都是根據(jù)點積的定義得到的，把這些結(jié)果代入上式，然后展開計算即可得到上面的式子。

有了點積運算之后，現(xiàn)在我們再換個方式來描述一個向量，比如向量： 我們分別用兩個基向量  和  對  作點積運算，得到：  所以向量  的兩個坐標(biāo)可以分別由點積來表示，即：  既然如此，那我們也可以把向量  表示為： 這里必須再次強調(diào)一下，這個表示方式只有在正交歸一的基下，以及點積運算是  這樣的定義下才成立，在非正交歸一的基下或其他點積的頂一下就不再是這個形式了。

我們看一下這個表達式，是不是有點意思， 向量 的表達式里面竟然含有它本身！咦，稍等一下，這種表達方式怎么那么眼熟啊，好像在上面哪個地方有見過類似的形式。不著急，我們接著往下講。

現(xiàn)在我們來關(guān)注點積這個運算本身，從平面向量的點積運算定義中：  我們可以看出，這個點積運算實際上是定義了一個角度，因為給定兩個向量之后，它們點積運算的結(jié)果就已經(jīng)確定了，而且兩個向量的長度也是確定的。所以，上面的定義式實際上就確定了一個角度的余弦值，從而也就確定了一個角度。顯然，當(dāng)兩個向量的點積為0的時候，它們的夾角為90度，也就是說兩個向量正交的、垂直的。

你還可以從這個定義中得到其他一些有趣的性質(zhì)，比如： 這個意思就是說向量與它本身做點積運算的結(jié)果等于它的長度的平方，這當(dāng)然是大于等于0咯，我們把這個性質(zhì)稱為正定性。當(dāng)  的時候，我們就稱這個向量是歸一化的。

還有兩個向量的點積滿足交換律： 這個性質(zhì)我們稱為對稱性，這些都是很顯然的。

當(dāng)然還有數(shù)乘結(jié)合律：  ，以及點積對加法的分配律：  。

我們把上面這4點總結(jié)起來就是點積運算所滿足的性質(zhì)：

1.對稱性：   

2.線性性，數(shù)乘結(jié)合律：  

3.線性性，加法分配律：   

4.正定性：  ，當(dāng)且僅當(dāng)  的時候，等號成立。

好，現(xiàn)在我們要引出一個非常重要的一個概念。上面我們說到，滿足條件1-8的集合  ，關(guān)于加法和數(shù)域F上的數(shù)乘運算構(gòu)成一個線性空間?，F(xiàn)在我們在這個集合上再定義一個類似平面向量點積的運算，我們這里稱之為內(nèi)積，這個內(nèi)積運算也滿足上面4個性質(zhì)，那么我們就稱這個定義了內(nèi)積運算的線性空間為內(nèi)積空間，如果這個內(nèi)積空間還是一個完備的內(nèi)積空間(即這個空間中的任何一個柯西序列的極限也在這個空間中，而不會跑出這個空間)，那么我們就稱之為希爾伯特空間(用德國偉大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特的名字命名的)。也就是說：

線性空間+滿足4個性質(zhì)的內(nèi)積運算=內(nèi)積空間

完備的內(nèi)積空間=希爾伯特空間

二維平面這個線性空間，關(guān)于向量點積運算顯然就是一個希爾伯特空間，這個空間是我們非常熟悉的，也很自然的。但是，希爾伯特空間是非常廣泛的一個概念，它不僅包含了二維和三維這樣真實的物理空間，而且還包含了許許多多抽象的空間對象，只要這些對象滿足上面所說的線性空間8大條件，以及存在一個滿足4條性質(zhì)的內(nèi)積運算，以及內(nèi)積空間的完備性，都可以稱之為希爾伯特空間。

我們費了那么大的勁兒介紹了那么多線性代數(shù)的內(nèi)容，這個跟傅里葉級數(shù)有毛線關(guān)系？

我們來看一下傅里葉級數(shù)的表達式：  其中：仔細(xì)觀察一下，如果我們把這些   和  看成一組基向量的話(無窮維空間的一組基)： 那么函數(shù)  是否可以看成是一個向量，這個向量在上面這組基下的表達式就是傅里葉級數(shù)。可不可以？我們上面已經(jīng)說了，線性空間中的向量既可以是真實物理空間中有方向有大小的向量，也可以是抽象的對象。所以，向量的概念不僅限于真實的二維和三維的空間，對于函數(shù)這類對象也是適用的。我們可以把一個函數(shù)理解成是一個函數(shù)型的向量，比如任意一個滿足狄利克雷的函數(shù)，我們都可以看成是一個向量，所有滿足狄利克雷條件的函數(shù)構(gòu)成了一個函數(shù)的集合，這個集合的加法運算和數(shù)乘運算我們就定義為一般的實函數(shù)的加法和乘法。那么這個集合顯然就是一個線性空間，因為實函數(shù)的加法和乘法滿足線性空間的8個條件。

現(xiàn)在我們再來看看上面這組基中的每一個基向量。根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，在一個周期內(nèi)的三角函數(shù)積分滿足如下性質(zhì)： 這些結(jié)果的推導(dǎo)是非常簡單的，只需要利用三角函數(shù)積化和差的公式，以及求定積分的方法即可得到，這里不再詳細(xì)證明。

現(xiàn)在我們重點來考察一下上面這些性質(zhì)意味著什么。你仔細(xì)觀察一下，如果我們對任意兩個滿足狄利克雷的實函數(shù)  和  ，定義一個運算  如下：  

當(dāng)  ，這個內(nèi)積我們定義為： 那么，我們上面定義的這個運算  顯然滿足上面所說的內(nèi)積的4個性質(zhì)(這一點由積分運算的線性性即可得證)。所以，這個運算是一個內(nèi)積運算。而且對于這個內(nèi)積運算，上面那組由三角函數(shù)構(gòu)成的基： 

它們兩兩之間是不是就滿足了正交性和歸一性？比如，  和  這兩個基函數(shù)，在上面定義的內(nèi)積運算下： 類比上面我們所說的平面向量內(nèi)積為0即是垂直的觀點，這不就說明  和  兩者是正交的嗎？同樣的，其他任意兩個不同的基函數(shù)的內(nèi)積都等于0。

還有，我們再看  ，它與自己的內(nèi)積結(jié)果等于1： 這不就是歸一化的意思嗎？同樣的，其他任意一個基函數(shù)與自身的內(nèi)積都是1。

綜上所述，這不就是說這組基： 是正交且歸一的一組基嗎？

有了正交歸一的基函數(shù)之后，我們再看傅里葉級數(shù)的表達式是不是就很清楚了。

從上面定義的函數(shù)的內(nèi)積運算可以看出，傅里葉級數(shù)的系數(shù)正是函數(shù)  與各個基函數(shù)之間的內(nèi)積： 我們上面說向量  可以用內(nèi)積的形式表示為： 你現(xiàn)在再看看傅里葉級數(shù)，是不是也是可以寫成類似的形式： 

看到這里之后，想必你可能已經(jīng)理解了上面我們講到傅里葉在求解系數(shù)  和  時所用的方法，傅里葉為什么要用三角函數(shù)  同時乘以正弦函數(shù)級數(shù)  的兩邊，然后進行積分？其實他的這波操作就是在一組正交歸一的基下用內(nèi)積的方法求解向量的坐標(biāo)，跟向量  兩邊同時乘以基向量  和  之后得到  和  是一樣的。

而且，我們這里還要說一點，傅里葉級數(shù)的這組無窮維的基： 是完備的。這里的完備的意思就是說任何一個函數(shù)(滿足狄利克雷條件)或者稱之為向量(抽象的向量)，都可以由這組基表示出來，這就是完備性。這個完備性跟內(nèi)積空間的完備性不是同一個完備性。這里的完備性是針對一組基來說的，而上面的完備性是針對任何一個柯西列的收斂情況而言的。

原來傅里葉級數(shù)的表達式與向量在一組正交歸一的完備基下的表示方式是一回事，它只不過是我們把向量的概念推廣到函數(shù)類，并定義一個類似點積的內(nèi)積運算之后，在一組無窮維的三角函數(shù)基向量下的表達式。所以，滿足狄利克雷條件的實周期函數(shù)構(gòu)成的全體集合，它關(guān)于函數(shù)加法和乘法，以及上面定義的兩個函數(shù)的積分運算，也就是函數(shù)之間的內(nèi)積運算，也構(gòu)成一個內(nèi)積空間，而且這個內(nèi)積空間是完備的，所以它也是一個希爾伯特空間。(希爾伯特空間是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，它也是量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一)

如果我們以上面所說的向量和內(nèi)積的角度來記傅里葉級數(shù)，你還會覺得很難記嗎？簡直不要太簡單好吧，你只需要記住這組基函數(shù)： 而且這組基函數(shù)也是有規(guī)律性的，正余弦函數(shù)里面的角頻率都是原函數(shù)  的基頻率  的正整數(shù)倍，這簡直就跟自然數(shù)一樣簡單和自然。記住了這組基之后，接下來就是原函數(shù)  在這組基下的坐標(biāo)，也就是傅里葉級數(shù)的系數(shù)  和  ，這兩個也很好記，因為我們已經(jīng)有了兩個函數(shù)的內(nèi)積的定義，也就是在一個周期上的積分(前面乘上一個2/T)，利用這個內(nèi)積和向量的表示方法，我們很直觀地就能想到這兩個系數(shù)等于原函數(shù)與各個基函數(shù)之間的內(nèi)積。你看，用這種方法來記傅里葉級數(shù)的公式，是不是如絲滑般的順暢？?

我們從向量和向量在一組基下的表示方式來看待傅里葉級數(shù)，是不是讓你感覺到一股熟悉的味道，就像見到熟悉的老朋友一樣。這個角度也是一個非常優(yōu)美的看待傅里葉級數(shù)的方式。你可能會說，原來傅里葉級數(shù)這么簡單，不就是一個向量在一組下的表達式而已嘛，這也不是什么了不起的成就嘛！如果你這樣想，那未免圖樣圖森破了！

沒錯，如果是對于真實物理空間的二維或三維向量，甚至是n維的向量空間  ，我們都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)的正交歸一的基向量來表示任何一個向量。但是如果對于像由周期函數(shù)這類對象構(gòu)成的一個抽象空間，你給我找出它的一組正交歸一的基試試，就算你找出來了，你怎么知道這組基就是一組完備的基，可以表示任意一個周期函數(shù)。

傅里葉級數(shù)就告訴了我們，由周期函數(shù)這類對象構(gòu)成的抽象線性空間的一組正交歸一的基是什么樣的，這為我們解密了周期函數(shù)的基本構(gòu)建單元，是一項真正偉大的、歷史級別的成果，它足以讓傅里葉名垂千史！

4 結(jié)語

好，終于寫到結(jié)語了，今天這篇文章我們了解了傅里葉的生平故事，以及傅里葉本人提出傅里葉級數(shù)這個偉大思想的物理背景和思考過程。同時，我們也從線性空間、向量和向量在正交歸一基下的表示方式的角度了解了傅里葉級數(shù)的形式意義。如果你能看到這里，那真的是非常地不容易，我先為你點贊！由于文章太長，涉及內(nèi)容也較多，其中難免存在一些不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，如果你發(fā)現(xiàn)了，歡迎你在后臺給我留言和交流。但是文章還沒完，這只是上半篇，結(jié)語這部分我也沒太多內(nèi)容想說了。我們下一篇再來講講傅里葉級數(shù)的物理意義和傅里葉變換等內(nèi)容！

參考資料：