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弗朗西斯·蘇說：錯過數學，就意味著未曾經歷人類那些美麗的思想。數學家哈代在《一個數學家的辯白》中提到：當埃斯庫羅斯（古希臘詩人）被人們遺忘了,阿基米德仍會被人們記住,因為語言文字會消亡，而數學思想卻不會。也有人感慨——數就是一種思想。那就循著數的發(fā)展歷程，聊聊先賢們的思考吧！ 我們將用以計量事物的件數或表示事物次序的數稱之為自然數。至于自然數何時產生，并不可考，共識是，人類自從從事生產實踐活動后，對自然數的認識便開始了，慢慢的有了數字符號。四大文明古國不約而同的采用了一橫或一豎表示數字“1”，從“1”開始了數字符號的演變，“1”便有了“數字之母”的稱謂。 從上圖四大文明古國早期數字上，不難看出，上下左右的排列組合，開始累積起越來越大的數，慢慢的從“5”或“10”開始，有了不同的變化。符號背后有著不同文明的各自思考，稍稍有所不同的是古巴比倫文明，由于古老的美索不達米亞平原盛產一種軟泥，削尖的木筆在軟泥上就會印下一個類似倒三角形的印記，稱之為楔形（是下面尖上面粗的一種形狀，像楔子）數字。然而，作為數字符號開始的自然數，盡管在不同文明都最早出現(xiàn)，但不約而同的缺少0，這也導致了后來許多地區(qū)沒有把0歸入自然數范疇，0是不是自然數一度爭議不斷。自然數后，分數開始出現(xiàn)，比較一致的看法是分數源于分配，當一個整體要被分割成若干份，分數自然產生。在許多民族的古代文獻中，都有關于分數的記載和各種不同的分數制度。早在公元前2100多年，古代巴比倫人就使用了分母是60的分數，公元前1850年左右的埃及算學文獻中，也開始使用分數，古埃及人就曾創(chuàng)造了這樣的符號表示分數：分數在我國也很早就出現(xiàn)了，春秋時代的《左傳》中記載有諸侯的都城大小，最大不可超過周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。印度的分數表示法和我國相似，再往后，阿拉伯人發(fā)明了分數線，分數的表示法由此誕生。分數之后，緊接著產生的并非負數，而是無理數，這也是導致了第一次數學危機產生的“元兇”。危機源于信仰，在哲學成為生活方式的古希臘，人們非常熱衷于“世界的本源是什么”這樣的話題。公元前600年前后的泰勒斯提出“世界的本源是水”，他的學生阿那克西曼德提出“世界的本源是火”，有人則認為是一種暗物質，直到公元前520年前后，畢達哥拉斯提出世界的本源是數，“萬物皆數”成為了畢達哥拉斯學派的信仰。但有所局限的是，畢達哥拉斯把“數”局限在“能表示為整數比形式”（即分數形式）的數，也就是有理數。而熟知勾股定理的學派信徒發(fā)現(xiàn)，單位正方形的對角線長，無論如何都無法用“整數比”表示，信徒希帕索斯透露了這一發(fā)現(xiàn)，動搖了學派信仰的基石，引起了學界的恐慌，從而導致了第一次數學危機的產生。
這種無法用兩個整數之比表示的數，被稱為“非可比數”，即“無理數”。無理數出現(xiàn)而導致的數學危機，極大的推動了數學的發(fā)展，使得古希臘人堅信，觀察和測量并不一定可靠，只有通過演繹推理證明的結論才是靠得住的，從而催生了《幾何原本》的誕生，公理化體系由此提出。約公元前400多年，魏文侯的老師李悝在他編纂的《法經》中，提出類似“3-5”這樣的問題，用不足“2”來表示，這是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最早關于負數的表達。后來，成書于公元一世紀的數學專著《九章算術》，便有正負數加減法則的記載：魏晉時期數學家劉徽給《九章算術》作注時，進一步提出了區(qū)分正負數的方法——正算赤，負算黑，否則以斜正為異。意思是說，用紅色的小棍擺出的數表示正數，用黑色的小棍擺出的數表示負數，也可以用斜擺的小棍表示負數，用正擺的小棍表示正數。
華夏祖先用顏色區(qū)分正數與負數，也開始了用正負數來表示相反意義的量，例如他們用紅色算籌記賬以表收入多少，黑色算籌表示支出。其它文明對負數的認識則來得較晚，例如從古巴比倫人解二次方程開始，到丟番圖的《算術》，負根一直未曾出現(xiàn)。稍早使用負數的便是印度人，數學家婆羅摩笈多在628年完成的《婆羅摩修正體系》第18章中，給出了正負數的運算法則, 認為負數就是負債和損失, 并用小點或小圈標在數字上面表示負數。歐洲人一直忌諱負數的存在，人們一度陷入了關于方程負根意義的討論中，文藝復興開始后的好長時期，包括韋達、帕斯卡在內的數學家都認為負數是荒謬的。然而負數的不被認同并不妨礙虛數在那個時期被提出，不斷的爭論中，思想的碰撞激起了關于數的絢麗火花。作為最重要的數字之一，0的產生頗具爭議。有記載早在公元前3000多年，古巴比倫人就會用空位表示0，古代中國的籌算系統(tǒng)也采用了空位的方法。也有人提出，古埃及人曾用特別符號表示0，瑪雅數字中0則以貝殼模樣出現(xiàn)，但當瑪雅人以各種形式使用“0”表示“沒有”后，0的使用規(guī)則又成了一道難以逾越的鴻溝。有著確鑿證據的是，印度人發(fā)明了現(xiàn)今使用的“0”，并且將它使用于十進制的進位過程中。0的出現(xiàn)時間現(xiàn)已考證為公元300年前后（印度人認為早在公元前2000年左右，婆羅門教文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應用），在印度的一個神廟石壁上也發(fā)現(xiàn)了這一符號。0在古印度出現(xiàn)絕非偶然，這與他們的宗教信仰有關。在印度宗教中，世間萬物皆生于“無”，“無”是人類追求的最高境界，狂熱的宗教文化“空”奠定了零產生的思想基礎，古印度人能夠自然的接受表示“沒有”的0。當阿拉伯人將包括0在內的印度數字傳入西班牙后，由于羅馬教皇認為0是一個魔鬼數字，對使用者施以酷刑，進行封殺，因而歐洲人很長一段時間未曾使用0作為數字符號。有學者甚至認為，正是由于封殺0的緣故，已經掌握了阿基米德的逼近法計算圓周率的歐洲人，小數點無法進位，才導致祖沖之的π近似值領先世界上千年。負數得以承認，也使0的含義不再束縛于“沒有”，成為了介于正數與負數之間的中間數，一個基準，甚至被視為一個平衡關系的支點。至此，現(xiàn)代意義上的實數在時間序上，經歷了自然數、分數、無理數、負數以及0的出現(xiàn)，終于匯聚一堂。由于實數與數軸上的點一一對應，而數軸描述的是一維世界，所以“實數”也被稱之為“一元數”。“二元數”指的便是復數，這與虛數的引入有關，它源于方程根的求解。對于一元二次方程，當判別式△＜0時，認定方程無解，一度時間人們認為這是無可厚非的。為了解決這樣的疑惑，盡管笛卡爾在1637年就引入了虛數的說法，但在萊布尼茨看來，這是無法接受的。然而類似情況總是反復出現(xiàn)，又不得不面對這樣的現(xiàn)實。事實上，接受虛數的存在只是一個時間問題，當歐拉引進了符號i表示單位虛數后，一切便迎刃而解，進而復數概念于1813年被高斯確立。
人們發(fā)現(xiàn)，用直角坐標系的y軸表示虛數，則復數z=a+bi（a、b均為實數）就是復平面上的一個點，用復數解決平面幾何問題，勢如破竹，復數為二維世界的描述增添了一把利劍。由于復數的廣泛應用，人們很自然地又想到，能不能仿照復數集找到“三元數”?愛爾蘭數學家哈密爾頓經過長期的研究發(fā)現(xiàn)不存在三元數。因為要想在實數基礎上建立三維復數，使它具有實數和復數的各種運算性質，這是不可能的。他在1843年發(fā)現(xiàn)一個“新數”，這種新數要包含四個分量，并且乘法交換律再也無法得到滿足。于是他開始研究“四維復數”，提出了“四元數”的概念，由實數加上三個虛數單位 i、j和k 組成，而且它們有如下的關系：i2 = j2 = k2 = -1， io = jo = ko = 1 , 每個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示為a + bi+ cj + dk（其中a、b、c 、d是實數）。對于i、j和k本身的幾何意義可以理解為一種旋轉。四元數的出現(xiàn)，成功的開啟了近世代數的大門，盡管四元數的用途仍在爭議，但它的運算在電動力學與廣義相對論中有廣泛的應用。四元數以后還誕生了八元數、雙四元數等，它們都是超復數。八元數沒有結合律，代數運算律在數的發(fā)章過程中逐漸丟失。我們生活在三維世界里，自然地，復數和四元數有著眾多的應用，而八元數的維度多，且其乘法不再滿足交換律和結合律，它的應用有待人們進一步探索。歷數數的發(fā)展歷程，混沌與糾纏中，人們慢慢明晰了方向，期間蘊含著對意義、探索、自由、真理的追尋，無處不在的是思想的碰撞，某種意義上，數就是一種思想，人類智慧的結晶。
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