折疊 編輯本段 歷史雞兔同籠是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一。 大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的: 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何? 這四句話的意思是: 有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有多少只雞和兔? 下面是較為簡單的計(jì)算方式: (總腳數(shù)-總頭數(shù)×雞的腳數(shù))÷(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))=兔的只數(shù) (94-35×2)÷2=12(兔子數(shù)) 總頭數(shù)(35)-兔子數(shù)(12)=雞數(shù)(23) 解釋:讓兔子和雞同時(shí)抬起兩只腳，這樣籠子里的腳就減少了總頭數(shù)×2只，由于雞只有2只腳，所以籠子里只剩下兔子的兩只腳，再÷2就是兔子數(shù)。 折疊 編輯本段 方法折疊 假設(shè)法
折疊 方程法一元一次方程 (一)解:設(shè)兔有x只，則雞有(35-x)只。 解得 則雞有:35 - 12 = 23 只 (二)解:設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只。 解得 則兔有:35 - 23 = 12(只) 答:兔子有12只，雞有23只。 (注:在設(shè)方程的未知數(shù)時(shí)，通常選擇腿多的動(dòng)物，這將會(huì)使計(jì)算較簡便) 二元一次方程組 解:設(shè)雞有x只，兔有y只。 解得 答:兔子有12只，雞有23只。 折疊 抬腿法方法一 假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47(只)腳。籠子里的兔就比雞的腳數(shù)多1，這時(shí)，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)。 方法二 假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24只腳 ， 這時(shí)雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35-12=23只雞。 方法三 我們可以先讓兔子都抬起2只腳，那么就有35×2=70只腳，腳數(shù)和原來差94-70=24只腳，這些都是每只兔子抬起2只腳，一共抬起24只腳，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到雞有23只。 折疊 列表法
折疊 公式公式1: (兔的腳數(shù) × 總只數(shù) - 總腳數(shù))÷(兔的腳數(shù) - 雞的腳數(shù))= 雞的只數(shù) 總只數(shù) - 雞的只數(shù) = 兔的只數(shù) 公式2: (總腳數(shù) - 雞的腳數(shù) × 總只數(shù)) ÷ (兔的腳數(shù) - 雞的腳數(shù))= 兔的只數(shù) 總只數(shù) - 兔的只數(shù) = 雞的只數(shù) 公式3: 總腳數(shù) ÷ 2 - 總頭數(shù) = 兔的只數(shù) 總只數(shù) -兔的只數(shù) = 雞的只數(shù) 公式4: 兔總只數(shù) = (雞兔總腳數(shù) - 2 × 雞兔總只數(shù)) ÷ 2 雞的只數(shù) = 雞兔總只數(shù) - 兔總只數(shù) 公式5: 雞的只數(shù) = (4 × 雞兔總只數(shù) - 雞兔總腳數(shù)) ÷ 2 兔的只數(shù) = 雞兔總只數(shù)-雞的只數(shù) 公式6:4× + 2(總數(shù)x)=總腳數(shù) (x = 兔，總數(shù) - x = 雞數(shù)，用于方程) 折疊 編輯本段 解題思路折疊 理解中國古代《孫子算經(jīng)》共三卷，成書大約在公元5世紀(jì)。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術(shù)題，比如"雞兔同籠"問題: 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何? 題目中給出雉兔共有35只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，看作是一只腳，那么，兔子就成了2只腳，即把兔子都先當(dāng)作兩只腳的 雞。雞兔總的腳數(shù)是35×2=70(只)，比題中所說的94只要少94-70=24(只)。 松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會(huì)增加2只，即70+2=72(只)，再松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)又增加2，2，2，2……，一直繼續(xù)下去，直至增加24，因此兔子數(shù):24÷2=12(只)，從而雞有35-12=23(只)。 我們來總結(jié)一下這道題的解題思路:如果先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是:兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù))÷(每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù))。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。 折疊 思路"雞兔同籠"是一類有名的中國古算題。最早出現(xiàn)于《孫子算經(jīng)》中。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法--"假設(shè)法"來求解。因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路。 例1有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只 解:我們設(shè)想，每只雞都是"金雞獨(dú)立"，一只腳站著;而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，·也就是 244÷2=122(只) 在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次。因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù) 122-88=34(只)， 有34只兔子，當(dāng)然雞就有54只。 答:有兔子34只,雞54只。 上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式: 總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù). 總頭數(shù)-兔子數(shù)=雞數(shù) 上面的解法是《孫子算經(jīng)》中記載的。做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單!能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2,4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時(shí)，"腳數(shù)"就不一定是4和2，上面的計(jì)算方法就行不通。因此，我們對這類問題給出一種一般解法. 如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有4×88只腳，比244只腳多了 88×4-244=108(只) 每只雞比兔子少(4-2)只腳，所以共有雞 (88×4-244)÷(4-2)= 54(只). 說明我們設(shè)想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。而是雞.因此可以列出公式 雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)). 當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是"雞"，那么共有腳2×88=176(只)，比244只腳少了 244-176=68(只). 每只雞比每只兔子少(4-2)只腳， 68÷2=34(只). 說明設(shè)想中的"雞",有34只是兔子，也可以列出公式 兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)). 上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù)。 假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，稱為"假設(shè)法". 折疊 編輯本段 例題例2紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅，藍(lán)鉛筆各買幾支? 解:以"分"作為錢的單位.我們設(shè)想，一種"雞"有11只腳，一種"兔子"有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。 已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有 藍(lán)筆數(shù)=(19×16-280)÷(19-11) =24÷8 =3(支). 紅筆數(shù)=16-3=13(支). 答:買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆。 對于這類問題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的"腳數(shù)"19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是"兔子",8只是"雞",根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是 8×(11+19)=240(支) 比280少40. 40÷(19-11)=5(支) 就知道設(shè)想中的8只"雞"應(yīng)少5只，也就是"雞"(藍(lán)鉛筆)數(shù)是3. 30×8比19×16或11×16要容易計(jì)算些。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計(jì)算. 實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù)。例如，設(shè)想16只中，"兔數(shù)"為10,"雞數(shù)"為6，就有腳數(shù) 19×10+11×6=256. 比280少24. 24÷(19-11)=3, 就知道設(shè)想6只"雞",要少3只 例3一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí). 甲打字用了多少小時(shí)? 解:我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù))，甲每小時(shí)打30÷6=5(份)，乙每小時(shí)打30÷10=3(份). 把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù)，總頭數(shù)是7."兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問題了. 根據(jù)前面的公式 "兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "雞"數(shù)=7-4.5 =2.5 也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí)。 答:甲打字用了4小時(shí)30分. 例41998年時(shí)，父母年齡(整數(shù))和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年? 解:4年后，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86。我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù)，弟的年齡看作"兔"頭數(shù)。25是"總頭數(shù)"，86是"總腳數(shù)"。根據(jù)公式，兄的年齡是 (25×4-86)÷(4-3)=14(歲). 1998年，兄年齡是 14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)×4+4=40(歲). 因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是 (40-10)÷(3-1)=15(歲). 這是2003年。 答:公元2003年時(shí)，父年齡是兄年齡的3倍. 例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只? 解:因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成"8條腿"與"6條腿"兩種。利用公式就可以算出8條腿的 蜘蛛數(shù)=(118-6×18)÷(8-6) =5(只). 因此就知道6條腿的小蟲共 18-5=13(只). 也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀。再利用一次公式 蟬數(shù)=(13×2-20)÷(2-1)=6(只). 因此蜻蜓數(shù)是13-6=7(只). 答:有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。 例6某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人? 解:對2道，3道，4道題的人共有 52-7-6=39(人). 他們共做對 181-1×7-5×6=144(道). 由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣 兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5, 總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39. 對4道題的有 (144-2.5×39)÷(4-2.5)=31(人). 答:做對4道題的有31人。 以例1為例 有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只? 以簡單的X方程計(jì)算的話，我們一般用設(shè)大數(shù)為X，那么也就是設(shè)兔為X，那么雞的只數(shù)就是總數(shù)減去雞的只數(shù)，即(88-X)只。 解:設(shè)兔為X只。則雞為(88-X)只。 4X+2×(88-X)=244 上列的方程解釋為:兔子的腳數(shù)加上雞的腳數(shù)，就是共有的腳數(shù)。4X就是兔子的腳數(shù)，2×(88-X)就是雞的腳數(shù)。 4X+2×88-2X=244 2X+176=244 2X+176-176=244-176 2X=68 2X÷2=68÷2 X=34 即兔子為34只，總數(shù)是88只，則雞:88-34=54只。 答:兔子有34只，雞有54只。 |
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