微分方程組是科學(xué)家用來預(yù)測(cè)物理世界行為的工具。這些方程將一個(gè)或多個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。函數(shù)通常表示物理量，導(dǎo)數(shù)表示它們的變化率，微分方程定義了兩者之間的關(guān)系。

微分方程分為兩類，一類是只有單一變量的常微分方程，另一類是有多個(gè)變量的偏微分方程。這些方程非常常見，在工程、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等許多學(xué)科中，都發(fā)揮著重要作用。自牛頓和萊布尼茨時(shí)代開始，它們就一直是人們進(jìn)行深入研究的來源。

然而，盡管幾個(gè)世紀(jì)以來許多數(shù)學(xué)家做出了巨大的努力，但關(guān)于一些關(guān)鍵方程的解的存在性、唯一性、規(guī)律性和穩(wěn)定性的基本問題仍未解決。

在幫助我們理解偏微分方程方面，沒有其他仍然在世的數(shù)學(xué)家比路易斯·卡法雷利（Luis A. Caffarelli） 的貢獻(xiàn)更大。他引入了巧妙的新技術(shù)，展示了出色的幾何洞察力，并且?guī)砹嗽S多開創(chuàng)性的成果。

今天，挪威科學(xué)和文學(xué)學(xué)院決定將2023年阿貝爾獎(jiǎng)授予卡法雷利，以表彰他“對(duì)非線性偏微分方程的正則性理論的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，包括自由邊界問題和蒙日-安培方程”。

路易斯·卡法雷利。（圖/Nolan Zunk / University of Texas at Austin）

  改變方向  

1948年，卡法雷利出生于阿根廷布宜諾斯艾利斯，在布宜諾斯艾利斯大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。1972年，他在導(dǎo)師卡利克斯托·卡 爾德隆（Calixto Calderon）的指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位。

第二年，卡法雷利前往明尼蘇達(dá)大學(xué)攻讀博士后。在參加了數(shù)學(xué)家漢斯·路易（Hans Lewy）關(guān)于諧波分析的系列講座后，他改變了研究方向。卡法雷利被路易提出的“障礙問題”吸引了。

障礙問題是非線性偏微分方程領(lǐng)域的一個(gè)經(jīng)典問題，它探討的是當(dāng)一個(gè)彈性膜被推向一個(gè)剛性障礙物時(shí)，例如當(dāng)一個(gè)氣球被壓在墻上時(shí)，平衡位置是什么。

很快，他就開始在這個(gè)課題上取得驚人的進(jìn)展，并開始探索更廣泛的“自由邊界”問題。之所以被稱為“自由邊界”，是因?yàn)檫@類問題所討論的邊界在一開始是未知的。比如在剛才提到的氣球例子中，自由邊界是氣球會(huì)在哪里碰到墻壁。還有一些其他的自由邊界問題的例子，比如冰融化成水，這里的自由邊界是冰和水之間的交界。

1976年，他發(fā)表了六篇論文，并于1977年首次在著名的《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表論文：《高維自由邊界的規(guī)律性》。

  唐人街散步  

1980年，卡法雷利來到紐約大學(xué)專門研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的科朗研究所。有一天，在與羅伯特·科恩（Robert Kohn）和路易斯·尼倫伯格（Louis Nirenberg）在唐人街的一次散步中，他們決定共同撰寫一篇關(guān)于納維-斯托克斯方程的論文，這是一組模擬流體動(dòng)力學(xué)的偏微分方程。

納維-斯托克斯方程。它是一組非線性偏微分方程，描述了黏性、不可壓縮的流體，在給定的黏度、集體速度和外部壓強(qiáng)下如何運(yùn)動(dòng)。它可以被簡(jiǎn)單理解為牛頓第二定律的流體版本，只是牛頓第二定律連接的是加速度與作用力，而納維-斯托克斯方程則將流體速度的變化率與作用于流體上的力聯(lián)系了起來。（圖／原理）

這次合作的成果是1982年的論文《納維-斯托克斯方程的合適弱解的部分規(guī)律性》，這是一篇具有里程碑意義的論文，后來獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)2014年斯蒂爾開創(chuàng)性研究貢獻(xiàn)獎(jiǎng)。

當(dāng)尼倫伯格后來被問及如何評(píng)價(jià)卡法雷利作為一位數(shù)學(xué)家時(shí)，他回答說：“非凡的直覺，很了不起……我很難跟上他的步伐。他總能神奇地立即看到其他人看不到的。”

到80年代初，卡法雷利在數(shù)學(xué)界已經(jīng)有了很高的知名度，并獲得了眾多著名的獎(jiǎng)項(xiàng)，比如1982年的圭多·史坦穆奇亞獎(jiǎng)，1984年的博謝獎(jiǎng)。此外，他還是1983年在華沙舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的發(fā)言人。

1983年至1986年期間，卡法雷利在芝加哥大學(xué)擔(dān)任教授，之后他在普林斯頓高等研究院工作了十年。在此期間，他的另一個(gè)主要的工作重點(diǎn)是蒙日-安培方程，這是另一個(gè)著名的非線性偏微分方程。他發(fā)展了現(xiàn)在所謂的“卡法雷利正則理論”，該理論在其他領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，例如最優(yōu)運(yùn)輸理論。

  培養(yǎng)學(xué)生  

卡法雷利懷念與研究生一起工作的日子，他于1994年回到科朗研究所。1997年以后，他一直在德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校擔(dān)任數(shù)學(xué)方面的西德-理查德森主席。 在那里，他除了完成其他日常工作外，還在均質(zhì)化理論方面取得了令人興奮的進(jìn)展，這是一個(gè)偏微分方程研究領(lǐng)域，研究不同尺度的物理性質(zhì)。

卡法雷利不僅在工作的深度方面非常出色，而且也非常高產(chǎn)。年過74歲的卡法雷利已發(fā)表的論文多達(dá)320篇，并且每年還在繼續(xù)發(fā)表。他在科學(xué)界備受愛戴，曾與130多人共同撰寫論文，最常與他合作的是阿夫納·弗里德曼（Avner Friedman）?？ǚɡ桌?/span>論文有19000次引用，這個(gè)數(shù)字證明了他在領(lǐng)域內(nèi)的影響力。他曾為30多名博士生提供指導(dǎo)，2018年，他的博士后阿萊西奧·菲加利（Alessio Figalli）獲得了菲爾茨獎(jiǎng)。

卡法雷利獲得的其他獎(jiǎng)項(xiàng)包括2005年羅夫·肖克獎(jiǎng)、美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)2009年斯蒂爾終身成就獎(jiǎng)、2012年沃爾夫獎(jiǎng)、2013年所羅門·萊夫謝茨獎(jiǎng)和2018年邵逸夫獎(jiǎng)。

阿貝爾委員會(huì)主席Helge Holden說：“將出色的幾何洞察力與巧妙的分析工具和方法相結(jié)合，他已經(jīng)并將繼續(xù)對(duì)該領(lǐng)域產(chǎn)生巨大影響?！?br>