牛吃草問(wèn)題，也就是有名的牛頓問(wèn)題，是牛頓的《普遍的算術(shù)》中提到的一道經(jīng)典問(wèn)題：12頭牛4周吃草3格爾，同樣的牧草21頭牛9周吃10格爾。問(wèn)24格爾牧草多少頭牛18周能吃完（格爾為牧場(chǎng)面積單位）？其實(shí)質(zhì)是一道“消長(zhǎng)”問(wèn)題。

牛吃草問(wèn)題典型的特點(diǎn)隱含在建模之中：隨著時(shí)間的推移，草的總量在不斷地增加。草的總量包含兩部分，一部分是原有草量，屬于不變量；另一部分是新生長(zhǎng)的草量，隨著時(shí)間的推移在不斷地增加。另外，模型中還要假設(shè)兩個(gè)不變量：一是每頭牛每天的吃草量是不變的，二是草每天生長(zhǎng)的速度不變。

這樣做的目的其實(shí)是為了簡(jiǎn)化問(wèn)題。就像初中學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)都簡(jiǎn)化為勻速直線運(yùn)動(dòng)，到了高中基本模型就變成了勻變速直線運(yùn)動(dòng)，到了大學(xué)，運(yùn)動(dòng)問(wèn)題直接應(yīng)用微積分的相關(guān)知識(shí)處理。從這個(gè)角度去分析，實(shí)際上我們現(xiàn)在要說(shuō)的是最簡(jiǎn)單的牛吃草問(wèn)題，畢竟科學(xué)是逐步逼近真實(shí)，但永遠(yuǎn)到達(dá)不了真實(shí)，這也給科學(xué)家研究自然現(xiàn)象帶來(lái)了無(wú)盡的興趣。

一、應(yīng)用算術(shù)的思維方法解決問(wèn)題

牛吃草作為一個(gè)基本的數(shù)學(xué)模型，我看了很多輔導(dǎo)的視頻，其實(shí)他們除了沒(méi)有考慮每個(gè)孩子的認(rèn)知水平不同外，對(duì)于問(wèn)題的階梯式設(shè)置還是很好的。具體做法是：先將牛限制在一片草地上吃草，這樣就在很大程度上減少了變化量，使得問(wèn)題有了層次感，孩子思考起來(lái)也就相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單了很多，這也是我采用的方法。

例題：有一片牧場(chǎng)，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供24頭牛吃6周，18頭牛吃10周，問(wèn)可供19頭牛吃幾周？

解法一：

具體解法是：先假設(shè)每頭牛每周吃草量為1份，可按照不變量分成三個(gè)步驟：

1、先求牧場(chǎng)平均每周生長(zhǎng)的牧草量，也就是新牧草的生長(zhǎng)速度,屬于不變量

草的生長(zhǎng)速度等于（對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)乘以吃的較多的周數(shù)減去相應(yīng)的牛的頭數(shù)乘以吃的較少的周數(shù)）除以（吃的較多的周數(shù)減去吃的較少的周數(shù)），文字?jǐn)⑹隹偸菑?fù)雜，列式計(jì)算就比較直觀了。

列式計(jì)算：

2、再求原有草量，等于牛頭數(shù)乘以吃的周數(shù)減去草生長(zhǎng)的速度乘以周數(shù)

列式計(jì)算：

3、最后求19頭牛吃草的周數(shù)

19頭牛每周要吃19份草，每周生長(zhǎng)的牧草量是9份，將19頭牛分成兩組：一組專門吃新生長(zhǎng)的牧草，需要9頭牛；剩余的10頭吃原有草，這樣就可以很巧妙地計(jì)算出來(lái)周數(shù)。

解法二：利用兩種牛吃草方法做出示意圖

從兩種吃法中就可以看出：多出的草量是4周生長(zhǎng)的牧草的份數(shù)，進(jìn)而參照解法1將題目解答出來(lái)。

解法二的意義并不僅僅做出示意圖，解出來(lái)題目，如果將牛放到示意圖的左端，將新生草放到原有草量的右端，這道題目其實(shí)就可以變成同時(shí)不同地的兩個(gè)物體的追擊問(wèn)題，這將對(duì)于孩子在初中乃至于高中的物理學(xué)科的學(xué)習(xí)幫助是很大的。

解法三：19頭牛每周要吃19份草，先讓19頭把每周生長(zhǎng)的9份新生草吃完，這樣他們是吃不飽的，然后大家一起每周需要分享原有草為：

則原有草可供吃的天數(shù)為：

這幾種解法里有些算式雖然相同，但是思維過(guò)程卻不盡相同，這大致就是這些經(jīng)典題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維的美妙之處吧。

解法四：應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決

步驟如下：第一步先求出來(lái)牧場(chǎng)平均每周生長(zhǎng)的草量，即牧草的生長(zhǎng)速度（不變量）

把18頭牛吃10的周草的總量看作是“1”，平均每頭牛每周吃了單位“1”的 ，這樣，24頭牛6周吃草的總量是：

比單位“1”少了： ，少的這些的原因是牧草少生長(zhǎng)了4周，說(shuō)明少的 就是這個(gè)牧場(chǎng)4周的新長(zhǎng)的草量，則牧場(chǎng)平均每周新生的草量為：

第二步：求牧場(chǎng)的原有草量（不變量）

從第一步的假設(shè)就可以看出來(lái)：?jiǎn)挝弧?”的總草量包括了原有草量和10周的新生草量。由于每周新生草量是單位“1”的 ，所以10周的新生草量為單位“1”的 ，則原有草量就是：

第三步:求這個(gè)牧場(chǎng)可供19頭牛吃幾天

19頭牛每周的吃草量為：

去掉每周的新生草量的 ，19頭牛每天還要從原有草量中吃掉：

也就是說(shuō)19頭牛只要每周吃掉原有草量的 ，不足部分從新生草量中補(bǔ)足，所以原有草量可供19頭牛每周消耗的天數(shù)就是所要求的天數(shù)：

解法五：比例的思想

先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一般形式，從而找出這類問(wèn)題的比例關(guān)系；牧場(chǎng)上有y公頃草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，生長(zhǎng)率為 ，這片牧草可供 頭牛吃 周， 頭牛吃 周，問(wèn)可供 頭牛吃幾周？

根據(jù)題意可以知道：x頭牛吃的草，等于牧場(chǎng)原有草量加上t周新生長(zhǎng)的草，也等于x頭牛t周內(nèi)吃完的草。依照這個(gè)等量關(guān)系，我們可以列出來(lái)以下三個(gè)等式，抓住草的生長(zhǎng)率是一定的，從而得到比例關(guān)系。

所以：

利用以上的公式，就可以解決牛吃草問(wèn)題

設(shè)19頭牛吃n周，可根據(jù)以上的公式就可以得到：

解之得：

二、應(yīng)用代數(shù)的思想進(jìn)行求解

例題：有一片牧場(chǎng)，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供24頭牛吃6周，18頭牛吃10周，問(wèn)可供19頭牛吃幾周？

解法六：初等代數(shù)的方法

設(shè)每周有x頭牛吃掉新生長(zhǎng)得草，根據(jù)原有草量不變，就可以列出以下方程，從而得到x的值。

設(shè)可供19頭牛吃y周，依然抓住原有草量不變可得：

或者：

解法七：利用方程組

假設(shè)原有草量為x，每周每頭牛吃掉的草量為a，每周新生長(zhǎng)草量為b，

設(shè)這片草地可供19頭牛吃y周，則：

所以：

可得：

解法八：應(yīng)用函數(shù)的思想

函數(shù)的思想解決問(wèn)題，就是將問(wèn)題涉及到的各種常量和變量統(tǒng)一到一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，這樣可以體現(xiàn)出來(lái)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

設(shè)牧場(chǎng)原有草量為a，每周新生長(zhǎng)的草量為b，每頭牛每周吃掉的草量為c，則草地的草量y可以看作是經(jīng)過(guò)x周和牛的頭數(shù)n的函數(shù)，可得到如下的函數(shù)表達(dá)式：

根據(jù)題意可得到以下方程組：

可供19頭牛吃9周.

其實(shí)牛吃草問(wèn)題是一個(gè)很經(jīng)典得問(wèn)題，值得孩子在不同得年齡階段進(jìn)行練習(xí)，涉及到得數(shù)學(xué)思維方法比較多，在現(xiàn)實(shí)中也有很多的類似問(wèn)題：車站檢票問(wèn)題、超市排隊(duì)付款問(wèn)題、水池抽水問(wèn)題、大壩泄洪問(wèn)題以及初高中物理學(xué)中得追擊問(wèn)題等等。列式計(jì)算結(jié)果也是比較復(fù)雜多變的，比如解法八中得到的方程組，其實(shí)就是齊次線性方程組，解答過(guò)程中如果考慮到其具有非零解的判定定理，應(yīng)用行列式解答，會(huì)減少很多的計(jì)算量。

其實(shí)這樣做的目的并不是說(shuō)牛吃草問(wèn)題有多么復(fù)雜，用多種解法只是幫助孩子能將各種方法思路融會(huì)貫通，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)能夠聯(lián)系起來(lái)理解，從而建立自己解決問(wèn)題的獨(dú)特思維。其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題多年以后可能會(huì)遺忘，但是思考問(wèn)題的方式，將會(huì)一直產(chǎn)生影響。

大概就是這個(gè)原因：愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“所謂智慧，就是把在學(xué)校學(xué)過(guò)的東西都忘掉后，剩下來(lái)的東西”。

那么大家應(yīng)該有所感悟：奧數(shù)這東西要因人而異，本身是很好的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題，但是如果聽(tīng)了培訓(xùn)班的，在小學(xué)為初中乃至高中的知識(shí)提前買單，除了被忽悠的成分，是不是你心理還有和別人相互卷的攀比心作祟？不管你的經(jīng)濟(jì)實(shí)力是不是能匹配這種殘酷的競(jìng)爭(zhēng)，一定要考慮孩子的認(rèn)知水平的發(fā)展程度，不要死記硬背，嚴(yán)重地挫傷了孩子學(xué)習(xí)的興趣，摧毀了孩子的自信，充當(dāng)了潮流的幫兇。請(qǐng)大家思考以下的幾個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該可以減少你的一點(diǎn)焦慮心理。

1、天才是有的，但不一定是你孩子，你的家庭有沒(méi)有孕育天才的土壤？

2、奧數(shù)的很好的，但不是人人都能學(xué)的，95%以上的孩子其實(shí)是不適合奧數(shù)訓(xùn)練的。

3、適度的練習(xí)是可以的，可以有助于提高孩子的成績(jī)，但是你的付出不要想著在孩子身上一定能結(jié)出豐碩的果實(shí)。每個(gè)孩子的認(rèn)知發(fā)展時(shí)間段是不同的，你了解你的孩子的認(rèn)知發(fā)展程度嗎？盲目的進(jìn)行奧賽培訓(xùn)，你付出了代價(jià)的同時(shí)，也可能在嚴(yán)重地挫傷孩子學(xué)習(xí)興趣。

4、奧數(shù)培訓(xùn)如火如荼這么多年，你見(jiàn)過(guò)幾個(gè)數(shù)學(xué)大師是他們培養(yǎng)出來(lái)的？