至此，懷爾德放棄了原先追求的保險(xiǎn)精算事業(yè)，成為莫爾在德州大學(xué)奧斯汀分校培養(yǎng)的第一位拓?fù)鋵W(xué)的博士，他們也因此成為摯友。懷爾德后來成為一名著名的拓?fù)鋵W(xué)家，他是莫爾全部學(xué)生中成就最為卓越的。莫爾是這樣評(píng)價(jià)懷爾德的：“在德州大學(xué)我所有獲得博士學(xué)位的學(xué)生中，懷爾德博士是最優(yōu)秀的一個(gè)。他確實(shí)表現(xiàn)出不尋常的學(xué)術(shù)產(chǎn)出能力，我認(rèn)為他有特殊好的根本性興趣去準(zhǔn)備解決確定的數(shù)學(xué)問題[7]?！?/section>
懷爾德和莫爾參加美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)1930年年會(huì)
懷爾德在德州大學(xué)奧斯汀分校任教僅一年，便于第二年和家人一起搬到俄亥俄州立大學(xué)并擔(dān)任助理教授。這一時(shí)期懷爾德經(jīng)常給莫爾寫信，討論自己的研究和教學(xué)，以及如何不情愿在俄亥俄州立大學(xué)簽署終生忠誠(chéng)于國(guó)家政治與道德的宣誓。懷爾德對(duì)沒有頭腦的愛國(guó)主義之?dāng)骋猓蛯?duì)自由主義思想之渴望伴隨了他的一生。1926年，懷爾德轉(zhuǎn)到了密歇根大學(xué)，開始了在密歇根大學(xué)長(zhǎng)達(dá)41年的執(zhí)教生涯。1935年，懷爾德晉升為教授。他培養(yǎng)的學(xué)生人數(shù)眾多，共計(jì)培養(yǎng)了26個(gè)博士。懷爾德還非常善于發(fā)現(xiàn)和鼓勵(lì)有潛質(zhì)的人才，他在20世紀(jì)30年代對(duì)斯廷羅德（N. E. Steenrod）的代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域非常感興趣。在懷爾德的指導(dǎo)下，斯廷羅德開始了他的第一次研究。當(dāng)斯廷羅德完成他本科訓(xùn)練后，他返回俄亥俄州立大學(xué)工作了一年半，然后在懷爾德的安排下進(jìn)入哈佛大學(xué)，之后又到普林斯頓追隨數(shù)學(xué)家萊夫謝茨（S. Lefschetz）學(xué)習(xí)代數(shù)拓?fù)洹?/section>
數(shù)學(xué)家哈爾莫斯1964年拍攝的懷爾德與羅伯特·里奇
懷爾德還曾設(shè)法在密歇根為年輕的波蘭拓?fù)鋵W(xué)家艾倫伯格（S. Eilenberg）找到容身之地，那時(shí)有一些人對(duì)此還很反對(duì)。艾倫伯格和斯廷羅德的著名合作始于懷爾德為斯廷羅德在密歇根謀到教職之時(shí)，他們二人合作完成了同調(diào)論的公理化[8]。艾倫伯格也得以有機(jī)會(huì)與麥克萊恩（S. Mac Lane）合作公理化同調(diào)代數(shù)，并進(jìn)而創(chuàng)立了范疇論[9]。懷爾德甚至影響了著名數(shù)學(xué)家斯梅爾（S. Smale）以及數(shù)學(xué)教育改革家貝格爾（E. G. Begle）等名人。
數(shù)學(xué)家哈爾莫斯1960年為懷爾德拍的照片
在密歇根大學(xué)，懷爾德開設(shè)了《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的課程，這門課內(nèi)容非常廣泛，不僅僅局限于數(shù)學(xué)，因而成為密歇根大學(xué)校園里最為流行的課程。學(xué)生們從中學(xué)到了數(shù)學(xué)概念的發(fā)展史，以及數(shù)學(xué)是文化的重要組成部分。課程的聽眾非常多元化，學(xué)生們經(jīng)常能在他的課后獲得教益。他的學(xué)生雷蒙德（F. Raymond）曾評(píng)價(jià)：“在我所知道的所有偉大數(shù)學(xué)家中，懷爾德是最平易近人的。他有一種幽默感，他的智慧使許多同事將他奉為神父一樣。他和妻子尤娜一起把他們家變成一個(gè)好客的去處。我的孩子始終稱呼他們懷爾德爺爺和懷爾德奶奶。每年在圣誕節(jié)，懷爾德太太仍然為我們的孩子們做襪子掛在煙囪，這樣做已經(jīng)有三十多年了[10]?！?/section>懷爾德在密歇根大學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮了非常積極的作用。1927年，他和數(shù)學(xué)家阮里希（G. Y. Rainich）創(chuàng)辦了一個(gè)有點(diǎn)神秘的研究俱樂部，名為“小俱樂部”（The Small Club）。他們認(rèn)為，每月才會(huì)面一次的學(xué)院大俱樂部（Large Club）在研究興趣的發(fā)展上并沒有取得很大的成效。小俱樂部的成員在每周二晚上會(huì)面，每次由俱樂部成員提交一篇科學(xué)論文。這些論文通常是成員自己的研究領(lǐng)域，但有時(shí)也可能是關(guān)于一個(gè)新數(shù)學(xué)成果的重要報(bào)告。起初成員有8名來自數(shù)學(xué)系，1名來自哲學(xué)系，3名來自物理學(xué)系。后來，其他有興趣的研究人員，包括一些研究生也被邀請(qǐng)加入。
數(shù)學(xué)家哈爾莫斯1958年為懷爾德拍的照片
1947年，懷爾德晉升為研究教授，他是密歇根大學(xué)第一個(gè)數(shù)學(xué)研究教授、第一個(gè)大學(xué)研究主席（1947-1967）。在懷爾德的帶領(lǐng)下，密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系成為世界一流的數(shù)學(xué)中心。由于懷爾德在學(xué)校展現(xiàn)出了知識(shí)分子真正的影響力，因而備受校方敬仰。1959年，密歇根大學(xué)授予他“Henry Russel Lecturer”，這是密歇根大學(xué)授予教工的最高榮譽(yù)。1975年，密歇根大學(xué)又為他創(chuàng)立了“懷爾德數(shù)學(xué)教授獎(jiǎng)金”。懷爾德還參與創(chuàng)辦了《密歇根數(shù)學(xué)雜志》（The Michigan Mathematical Journal）。為了紀(jì)念懷爾德在拓?fù)鋵W(xué)上的貢獻(xiàn)，1966年3月17-19日在密歇根大學(xué)召開了專門的學(xué)術(shù)會(huì)議，以紀(jì)念懷爾德70歲生日，會(huì)議的全部學(xué)術(shù)論文發(fā)表在1967年度《密歇根數(shù)學(xué)雜志》的第2期和第3期上。為紀(jì)念他80歲生日，1977年7月25-29日在圣巴巴拉召開了“代數(shù)幾何與代數(shù)拓?fù)鋰?guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議”，并出版了會(huì)議文集[11]。
懷爾德1961年與數(shù)學(xué)史家凱尼斯·梅一起在會(huì)議中
懷爾德一生的學(xué)術(shù)研究工作主要集中在兩個(gè)大方面，一是純粹數(shù)學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)研究；二是對(duì)數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域的思考。無論哪一方面的工作，都為懷爾德?lián)Q來了世界級(jí)的學(xué)術(shù)聲譽(yù)。在拓?fù)鋵W(xué)的研究上，懷爾德取得了杰出的成就，當(dāng)選為美國(guó)科學(xué)院院士、AMS和MAA的雙料主席就可見一斑。他還曾是1933年組建的普林斯頓大學(xué)高等研究院成員（1933-1934）。[12]他是莫爾領(lǐng)導(dǎo)的德州拓?fù)鋵W(xué)派中重要一員，與諸多拓?fù)涿乙黄饛氖逻^研究，由他領(lǐng)導(dǎo)的密歇根拓?fù)鋵W(xué)派在美國(guó)非常知名。懷爾德一生共發(fā)表論著百余篇，其中拓?fù)鋵W(xué)占據(jù)了一半以上。
懷爾德1946年在普林斯頓周年紀(jì)念大會(huì)
（圖片來源：DUREN P. A century of mathematics in American:Part II[M]. New York:American Mathematical Society, 1989: 332—333. 第三排左二為懷爾德；第一排左八為黎斯、左九為萊夫謝茲、左十為維布倫、右一為華羅庚；第二排左五為哥德爾、左十為艾倫伯格、左十二為維納；第二三排間右五為馮·諾依曼；第三排右五為麥克萊恩；第四排右四為赫爾曼·外爾；最后一排左六為斯汀羅德、右二為貝格爾、右七為埃米爾·阿廷。）
按照時(shí)間劃分，懷爾德的拓?fù)鋵W(xué)研究大致可以分為兩個(gè)時(shí)期。第一個(gè)時(shí)期為1924-1930年，這一時(shí)期他主要沿著他的博士導(dǎo)師莫爾開創(chuàng)的路線研究點(diǎn)集拓?fù)?，致力于連續(xù)曲線與連續(xù)理論的研究。第二個(gè)時(shí)期為1930-1950年，懷爾德主要研究高維拓?fù)渑c流形的拓?fù)淅碚?sup>[13]，他給出了球面的拓?fù)淇坍?，若爾?dāng)—布勞威爾定理的存在性以及廣義流形的理論。從1924年開始，懷爾德對(duì)集合的連續(xù)體、連通性等問題進(jìn)行了細(xì)致的研究。那時(shí)正是點(diǎn)集拓?fù)浯笮衅涞赖臅r(shí)代，當(dāng)今的拓?fù)鋵W(xué)者已經(jīng)很難明白為何那時(shí)的數(shù)學(xué)家對(duì)一些奇怪的集合感興趣。在博士論文中，懷爾德證明一個(gè)緊的連續(xù)體局部連通當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)開集的連通分支強(qiáng)連通[14]。1928年，懷爾德證明對(duì)于m維歐氏空間Em的子集兩點(diǎn)之間不可約連通，如果其局部連通則弧連通[15]。1931年，懷爾德又證明對(duì)于連續(xù)體M，a,b∈M，并且對(duì)于每個(gè)分離a和b的p∈M-[a,b]，則M弧連通[16]。1932年，懷爾德在芝加哥作了美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的研討會(huì)報(bào)告。當(dāng)時(shí)美國(guó)有兩個(gè)大的拓?fù)鋵W(xué)派，一個(gè)是莫爾開創(chuàng)的德州點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)派，另一個(gè)是普林斯頓的組合拓?fù)鋵W(xué)派。懷爾德逐漸從點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)派“脫離”。在這次報(bào)告中，他通過將集合論與組合拓?fù)涞姆椒ńY(jié)合，將平面上的一些定理推廣到n維空間，展示了如何在高維空間中使用同調(diào)論。不僅如此，他還意識(shí)到了兩個(gè)學(xué)派各自的不足，這在當(dāng)時(shí)是非常難得的。
1942年，懷爾德在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)上作了講座，由于第二次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，他的報(bào)告直到1949年才以《流形的拓?fù)洹窞轭}出版[17]。懷爾德在這本著作中的主要目標(biāo)是將舍恩弗里斯定理推廣到高維[18]，他的主要工具是同調(diào)論。他用n維廣義流形代替M，K為滿足特定連通與局部連通性質(zhì)的閉集合。在一些情形中，K本身即為一個(gè)低維流形?！读餍蔚耐?fù)洹钒藨褷柕虑捌诖罅课窗l(fā)表的研究，并將此前他的一系列已發(fā)表的研究進(jìn)行了推廣，可以看作是20世紀(jì)50年代之前懷爾德拓?fù)鋵W(xué)研究的自我總結(jié)，是一部集大成之作[19]。在這部著作中，懷爾德關(guān)于點(diǎn)集拓?fù)渑c組合拓?fù)浣y(tǒng)一性的思想體現(xiàn)地淋漓盡致。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究方面，1944年懷爾德在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》發(fā)表了“數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)”一文，是他最早在以往的純粹拓?fù)鋵W(xué)研究之外，開始思考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的文章。通過查閱德州大學(xué)奧斯汀分?！岸酄柗颉げ祭锼箍泼绹?guó)史中心”保存的懷爾德手稿等文獻(xiàn)資料，可以發(fā)現(xiàn)懷爾德的一個(gè)關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和相關(guān)內(nèi)容注記的筆記本（沒標(biāo)記具體年限），筆記本內(nèi)部貼有希爾伯特（D. Hilbert）在德國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》上的兩篇文章內(nèi)容剪紙，分別為“公理化思想”[20]和“數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)”[21]文中的部分內(nèi)容，尤其是希爾伯特說的原話，懷爾德在貼紙間隙用英文手寫了一句話：“What is nature of proof this？”[22]，可見，他是在梳理20世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大流派之間的爭(zhēng)論而開始了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的哲學(xué)思考。在懷爾德看來，“數(shù)學(xué)證明僅僅是對(duì)那些我們通過直覺提出之問題的檢驗(yàn)過程”[23]。
懷爾德于1952年出版了《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡(jiǎn)介》一書，按照他自己在序言里面所強(qiáng)調(diào)的，這是他在密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系所上的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”課程二十多年的成果，這門課程不是為了本科數(shù)學(xué)專業(yè)從事教師、保險(xiǎn)精算師和統(tǒng)計(jì)學(xué)家準(zhǔn)備的，而是為那些將來離開大學(xué)后打算終身從事數(shù)學(xué)研究的人，而他們又缺少現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的人。這門課程對(duì)他們的訓(xùn)練主要是經(jīng)典數(shù)學(xué)及其應(yīng)用，主要還是20世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)部分，尤其是康托（G. Cantor）集合論思想方法之前的數(shù)學(xué)。全書包含兩大部分，第一部分是數(shù)學(xué)的基本概念與方法，包括公理化方法、集合論、無窮集、良序集與序數(shù)、線性連續(xù)與實(shí)數(shù)系統(tǒng)、群論及其對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性。第二部分是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題各類觀點(diǎn)的發(fā)展，包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的早期發(fā)展、弗雷格與羅素的形式邏輯、直覺主義、形式系統(tǒng)與數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)的文化背景?？梢哉f，懷爾德正是在這門課程的教學(xué)過程中形成了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的哲學(xué)思考[24]。1952年12月29日美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)在密蘇里州圣路易斯舉辦專題學(xué)術(shù)會(huì)，懷爾德發(fā)表了卸任專題委員會(huì)副主席的一個(gè)演講，題目為“數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化與增長(zhǎng)”，他認(rèn)為數(shù)學(xué)家們最重要的是維持一套標(biāo)準(zhǔn)和傳統(tǒng)，使我們能夠維護(hù)我們稱之為數(shù)學(xué)的連續(xù)增長(zhǎng)。懷爾德的動(dòng)機(jī)是想在個(gè)人層面上探討數(shù)學(xué)概念的起源方式，并研究那些促進(jìn)數(shù)學(xué)概念形成和影響其成長(zhǎng)的因素。他以數(shù)與幾何、解析幾何、微積分、曲線等概念為案例，討論了數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化歷程，尤其還為曲線到拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)化歷程畫了歷史思維導(dǎo)圖。通過這些案例討論了概念形成的影響因素、概念的生命周期。懷爾德堅(jiān)信數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)化特征。數(shù)學(xué)概念是不穩(wěn)定的，即使它們的嶄露頭角是離散事件，它們也會(huì)不斷增長(zhǎng)。與任何進(jìn)化過程一樣，數(shù)學(xué)概念進(jìn)化過程中的環(huán)境影響不容忽視。正如個(gè)體數(shù)學(xué)家不是在真空中工作，并受到他的前人和同事工作的影響一樣，數(shù)學(xué)本身也不是在真空中進(jìn)化的[25]。總之，懷爾德堅(jiān)信：數(shù)學(xué)是現(xiàn)代社會(huì)重要的文化組成部分，數(shù)學(xué)不會(huì)獨(dú)立于文化因素而發(fā)展，從人類學(xué)的觀點(diǎn)把數(shù)學(xué)作為一個(gè)文化子系統(tǒng)研究是非常必要的。1968年，懷爾德出版了《數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化：一個(gè)初步的研究》一書[26]，系統(tǒng)介紹了文化的概念，數(shù)學(xué)作為一種文化的思想。詳細(xì)討論了數(shù)的進(jìn)化、幾何的進(jìn)化、影響數(shù)學(xué)進(jìn)化的力量、數(shù)學(xué)進(jìn)化的規(guī)律與過程?？傊?，懷爾德認(rèn)為“數(shù)學(xué)是一種不斷進(jìn)化的文化現(xiàn)象”。
1981年，懷爾德出版了《數(shù)學(xué)作為一種文化體系》一書。為了闡述數(shù)學(xué)作為一種文化體系，他利用圖形表示數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即所謂的“數(shù)學(xué)之樹”。數(shù)學(xué)可以被表示為樹形的布局，它的根是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它的枝干代表數(shù)學(xué)的各種子領(lǐng)域。在那里，圖論這樣的子領(lǐng)域從它的母體拓?fù)鋵W(xué)分離出來，則相應(yīng)的表示為樹的一個(gè)枝條從代表拓?fù)涞拇笾l長(zhǎng)出來。數(shù)學(xué)就是按照這樣的歷史生長(zhǎng)起來——代數(shù)和幾何是不同的樹枝，公理體系和邏輯表示為根。他這里是仿照人類學(xué)家懷特將文化表示為一個(gè)文化體系或其分支的理論，認(rèn)為“數(shù)學(xué)是我們一般文化的子文化”，將其表示為一棵樹、一個(gè)向量系統(tǒng)。從而，幾何構(gòu)成一個(gè)向量，代數(shù)構(gòu)成另一個(gè)向量，拓?fù)溆质且粋€(gè)，如此等等?；蛘呶覀兛梢詫⑽覀兊南蛄肯到y(tǒng)基于“數(shù)學(xué)評(píng)論”雜志給出的學(xué)科分類。向量系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)，其中每一個(gè)向量都力求進(jìn)一步的成長(zhǎng)，不同的向量互相撞擊，通過將想法擴(kuò)散到其它向量而為其提供幫助，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致新的融合，從而因其自身優(yōu)越性而成為新的向量。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一向量不再是從屬性的樹根，而是其它向量中的一個(gè)，它以與其它向量完全相同的方式運(yùn)轉(zhuǎn)[27]。懷爾德晚年對(duì)自己的工作進(jìn)行了回顧與反思。在《現(xiàn)代科學(xué)家與工程師》所寫的一頁半的自傳中[28]，懷爾德論述了從經(jīng)典的若爾當(dāng)曲線定理（1887）開始的拓?fù)鋵W(xué)史，闡述了自己如何將平面曲線拓?fù)鋵W(xué)推廣到高維情形，如何統(tǒng)一了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，這些重要的結(jié)果都收錄在他的《流形的拓?fù)洹芬粫?。他還談到自己1952年出版的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡(jiǎn)介”的講義，把自己引向了數(shù)學(xué)概念進(jìn)化和數(shù)學(xué)文化哲學(xué)的研究領(lǐng)域。1972年3月11日，懷爾德在加州理工學(xué)院舉辦的美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)午餐會(huì)上作了“回顧與反思”的演講[29]。懷爾德強(qiáng)調(diào)，他一直試圖在課程教學(xué)的過程中向?qū)W生們傳達(dá)一些關(guān)于數(shù)學(xué)是如何被創(chuàng)造出來的，而創(chuàng)造者和他們一樣是人類的想法。他回顧自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的年代，美國(guó)數(shù)學(xué)甚至世界數(shù)學(xué)普遍處于一個(gè)低谷的時(shí)期，主要是數(shù)學(xué)沒有什么“應(yīng)用”。當(dāng)時(shí)很少有人意識(shí)到抽象和更一般的數(shù)學(xué)概念可能會(huì)被證明在50年后科學(xué)中的重要性。他在演講中提到愛因斯坦對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)有很高的評(píng)價(jià)，并強(qiáng)調(diào)自己經(jīng)常引用愛因斯坦的陳述：“公理化所帶來的進(jìn)步在于邏輯形式和直觀的內(nèi)容……對(duì)于這一幾何解釋，我非常重視，因?yàn)槿绻也皇煜に?，我將永遠(yuǎn)無法發(fā)展相對(duì)論。”懷爾德是著名的拓?fù)鋵W(xué)家，更是數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域的一位少有的巨匠。他將數(shù)學(xué)視為一種文化體系，被認(rèn)為是從1931年以來第一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀[30]，《數(shù)學(xué)作為一種文化體系》則被譽(yù)為“數(shù)學(xué)哲學(xué)人文主義轉(zhuǎn)向”的標(biāo)志性著作[31]。懷爾德的數(shù)學(xué)文化理念、數(shù)學(xué)文化哲學(xué)，對(duì)當(dāng)今中國(guó)數(shù)學(xué)教育的人文主義傾向以及數(shù)學(xué)文化研究、教學(xué)與傳播的興起影響深遠(yuǎn)。可以說，懷爾德是世界范圍內(nèi)當(dāng)之無愧的“數(shù)學(xué)文化”巨匠和奠基性人物。
劉鵬飛，長(zhǎng)春師范大學(xué)教授，曾任吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)；中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)史分會(huì)常務(wù)理事。徐乃楠，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授；中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)史分會(huì)理事。王濤，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所副研究員，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)史分會(huì)理事。注釋：
[1] Wilder, R. L. The Cultural Basis of Mathematics. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Cambridge, MA: Vol 1, 1950:258-271. 注：中文可參見肖運(yùn)鴻譯，數(shù)學(xué)的文化基礎(chǔ)，《科學(xué)文化評(píng)論》，2015年第2期：20-33。
[2]Raymond, F. Raymond Louis Wilder 1896-1982. In: National Academy of Sciences Biographical Memoirs, Volume 82, The National Academy Press, Washington, D. C. 2002. http://www./publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/wilder-raymond.pdf
[3]注：兩人雖然都姓莫爾但彼此之間并沒有任何親屬關(guān)系。
[4]Burton, J. F. The Moore method, American Mathematical Monthly, 1977, 84: 273-77.
[5]也即下述論文：Moore, R. L. On the foundations of plane analysis situs. Trans. Amer. Math. Soc, Vol. 17, 1916, 131-164.中的第15個(gè)定理.
[6]Wilder, R. L. Concerning continuous curves. Fund. Math. 7(1925), 340–377.
[7]Whyburn, L. R. L. Moore’s First Doctoral Student At Texax. In: Millett, K. C. Algebraic and Geometric Topology: Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder, July 25-29, 1977. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1978, 33.
[8]Eilenberg, S. , Steenrod, N. E. Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 1945. 31, 117--120.
[9]Eilenberg, S. , Mac Lane, S. Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, 1945,46: 480–509.
[10]Raymond, F. Raymond Louis Wilder 1896-1982. In: National Academy of Sciences Biographical Memoirs, Volume 82, The National Academy Press, Washington, D. C. 2002. http://www./publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/wilder-raymond.pdf
[11]Millett, K. C. Algebraic and Geometric Topology: Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder, July 25-29, 1977. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1978.
[12]詳見普林斯頓大學(xué)高等研究院網(wǎng)站介紹：https://www./scholars/raymond-louis-wilder
[13]Raymond Louis Wilder, McGraw-Hill Modern Scientists and Engineers, vol. 3, 1980, 318-319.
[14]Wilder, R. L.Concerning continuous curves. Fund. Math., 1925, 7: 340–377.
[15]Wilder, R. L. A Connected and Regular Point Set Which has no Subcontinuum. Trans. Amer. Math. Soc., 1927, 29: 332-340.
[16]Wilder, R. L. On connected and regular point sets. Bull. Amer. Math. Soc., 1928, 34: 649-655.
[17]Wilder, R. L. Topology of manifolds. Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. vol 32, 1949.
[18]Eilenberg, S. Book Review: Topology of manifolds. Bull. Amer. Math. Soc., 1950, 56: 75-77.
[19]Begle E G. Review of Topology of Manifolds by Wilder, Raymond Louis, MR0029491. http://www./mathscinet/pdf/10526.pdf
[20]Hilbert, D.Axiomatisches Denken. Math. Ann. 78, 1922, 405-415.
[21]Hilbert, D. Die logischen Grundlagen der Mathematik. Math. Ann. 88, 1922, 151-165.
[22]History and foundations of mathematics. Research notes. Raymond Louis Wilder Papers, 1914-1982, Archives of American Mathematics, Dolph Briscoe Center for American History, University of Texas at Austin. Box 86-36/23.
[23]Wilder, R. L. The nature of mathematical proof. Amer. Math. Monthly. 51(1944), 309-323. 注：這是懷爾德1943年11月28日在芝加哥舉辦的美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)會(huì)議上的邀請(qǐng)演講，應(yīng)論文出版編輯的要求，他在文后以附錄的方式對(duì)其中涉及到的完全集、序集、良序集、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等數(shù)學(xué)概念給出了詳細(xì)的注釋。
[24]Wilder, R. L. Introduction to the Foundations of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc.1952.
[25]Wilder, R. L. The origin and growth of mathematical concepts. Bull. Amer. Math. Soc. 59, 1953, 423-448.
[26]Wilder, R. L. Evolution of Mathematical Concepts, An Elementary Study. New York: Wiley & Sons, Inc.,1968.
[27]Wilder, R. L. Mathematics as a Cultural System. New York: Peragmon Press, 1981: 1-20.
[28]'Raymond Louis Wilder,' McGraw-Hill Modern Scientists and Engineers, vol. 3, 1980, 318-319.
[29]Wilder, R. L. Recollections and Reflections. Math. Mag. 46(1973), 177-182.
[30]Smorynski, C. Mathematics as a cultural system, The Mathematical Intelligencer, 1983, 5(1): 9-15. 中文可參見：蔡克聚譯，數(shù)學(xué)——一種文化體系，《數(shù)學(xué)譯林》，1988，（3）：47-48.
[31]Hersh, R. What is mathematics, really? Oxford University Press,1997.
