有限元法是一種將偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組，進而求解邊值問題的數(shù)值方法，最早由Courant于1973年提出，用來求解勢論中的變分問題，自此以后該方法得到了極大的發(fā)展，并被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)分析以及其他領(lǐng)域問題的求解。由于有限元法不僅能適應(yīng)各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)，而且計算精度高，因此成為了處理微波工程和電磁學(xué)問題的一種通用方法。

本文從有限元法的一般原理出發(fā)，推導(dǎo)出矢量場的邊值問題，從而建立有限元公式。

1.1 有限元法的一般原理

使用加權(quán)殘差法或變分法可以建立有限元公式。加權(quán)殘差法是從邊值問題的偏微分方程出發(fā)，而變分法則是從邊值問題的變分形式出發(fā)。本小節(jié)采用加權(quán)殘差法來建立有限元公式，

考慮如下偏微分方程：

式中， L為微分算子， 為待求未知解或者稱作自由度，f 為激勵函數(shù)。為了尋找 的解，首先使用如下一組基函數(shù)將其展開：

式中， ( =1,2,…,N )為基函數(shù)，其線性組合可表示未知解； 為相應(yīng)的未知展開系數(shù)。加權(quán)殘差法確定 的思想是：將式（2-2）代入式（2-1）中，然后乘以加權(quán)函數(shù)并在整個求解區(qū)域 中進行積分，得到式：

給定一組加權(quán)函數(shù)，式(2-3)就定義了一個代數(shù)方程組，在滿足邊界條件的要求下求解該代數(shù)方程組即可得到 。加權(quán)函數(shù) 一般等于 ，以此構(gòu)建有限元公式的過程稱為伽遼金法。式(2-3)變成

或

式中，

對于自共軛問題，則有

因此有 =，即式對應(yīng)的線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是對稱矩陣。

在構(gòu)建有限元公式過程中，最關(guān)鍵的一步是找到一組可以用來展開未知解的基函數(shù)，但對于不規(guī)則形狀的二維三維問題，這一步驟極其困難。因此有限元法的基本思想是將求解區(qū)域 劃分為許多子域，稱為有限單元(有限元)，然后使用簡單的基函數(shù)來近似單元內(nèi)的未知解。

在構(gòu)建有限元公式過程中，最關(guān)鍵的一步是找到一組可以用來展開未知解的基函數(shù)，但對于不規(guī)則形狀的二維三維問題，這一步驟極其困難。因此有限元法的基本思想是將求解區(qū)域劃分為許多子域，稱為有限單元(有限元)，然后使用簡單的基函數(shù)來近似單元內(nèi)的未知解。

1.2 矢量場的邊值問題以及有限元公式建立

1.2.1 邊值問題

在介電常數(shù)為 、磁導(dǎo)率為 的區(qū)域 中，需要求解由電流密度 產(chǎn)生的電場強度 ，求解二維或三維區(qū)域 。求解服從給定邊界條件的Maxwell方程組：

消去式(2-9)中和式(2-10)中的 ，可得到關(guān)于 的矢量波動方程為

式中，和分別為相對磁導(dǎo)率和相對介電常數(shù)；和 分別為自由空間中的波數(shù)和本征阻抗。

處理兩種不同的電場邊界條件-理想導(dǎo)體表面的齊次Dirichlet條件和阻抗表面的混合邊界條件，將邊界條件假設(shè)為：

式中，P是邊界上的切向電場，是上的歸一化表面阻抗， 表示邊界上的邊界源。

式(2-13)至式(2-15)所描述的邊值問題通常很復(fù)雜，尤其是當(dāng)求解區(qū)域 不規(guī)則以及相對介電常數(shù) 非均勻時，很難得到封閉形式的解析解，而數(shù)值算法中的有限元法因具有能夠處理任意形狀邊界和非均勻媒質(zhì)的能力成為了唯一選擇。

1.2.2 有限元公式建立

采用加權(quán)殘差法建立有限元公式，給式(2-13)乘以一個合適的加權(quán)函數(shù)，并在求解區(qū)域 中進行積分，從而得到原邊值問題的弱式表達式，即

對式(2-16)應(yīng)用矢量恒等式

后，其中

再應(yīng)用高斯定理

然后，應(yīng)用式(2-15)的邊界條件，得到式(2-13)的弱式表達式為

式(2-20)作為有限元的基本方程，被用于有限元計算區(qū)域劃分出的每個子區(qū)域。

1.3 矩陣填充與求解

將區(qū)域劃成小的有限單元后，在劃分的每一個小單元內(nèi)，使用一組離散值插值可得到電場強度。在選擇給定單元每一條棱邊上電場的切向分量后，使用一組矢量基函數(shù)對其他位置的進行插值。下面以四面體單元中的場插值為例，采用式(2-21)進行插值：

式中，表示單元e中連接節(jié)點l和k的棱邊上的電場切向分量，表示相應(yīng)的插值函數(shù)或基函數(shù)。將四面體單元中與節(jié)點l 和k 相關(guān)的線性標(biāo)量基函數(shù)分別表示為 和 ，則式(2-21)中的矢量基函數(shù)可以寫成

式中，為連接節(jié)點l 和k 的帶符號的邊長。式(2-22)定義的基函數(shù)為矢量函數(shù)，相應(yīng)的單元稱為矢量元或棱邊元。

由于每一個單元中的電場E 都可以用該單元中棱邊上的切向電場分量進行插值，因此整個區(qū)域 中的電場可以表示為

式中，為除了上的棱邊的所有棱邊總數(shù)，為第j條棱邊上的切向分量，為相應(yīng)的矢量基函數(shù)。此外，為上的棱邊總數(shù)，和 表示這些棱邊上的切向電場和相應(yīng)的基函數(shù)。

將式(2-23)代入式(2-20)中，使用矢量基函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，由于上有 ，故式公式參考此處在上積分為0，因此可以得到

式中，

式(2-24)可以寫成緊湊形式

求解上式可得到。由于式(2-25)中單元之間的相互作用是局部的，因此是一個稀疏且對稱的矩陣，它可以由稀疏矩陣求解算法高效求解。求出后，由式(2-27)可以求出中每一處的場值。

求解該矩陣方程一般有兩種方法：迭代求解和直接求解。前者包括共軛梯度法和廣義最小殘差法等，迭代求解法是一種逼近精確解的近似方法，該方法因程序設(shè)計簡單和消耗低計算機內(nèi)存，常常被用于大型稀疏矩陣求解。而后者有高斯消元法、LU分解法、LDLT分解法等，這些方法通過有限步運算便可以得到精確解。