上期文章《世界是非線性的之三（混沌）》討論了混沌問題，得到如下結(jié)論：

1) 世界是非線性的，也是混沌的。即使是“簡單”的三體問題也會復(fù)雜得難以解析求解，世界的運動具有極大的隨機性。

2) 對一個復(fù)雜系統(tǒng)無法做到長期預(yù)測。如果認為人生路徑、股票走勢、戰(zhàn)爭與和平都是可以預(yù)測的，那就大錯特錯了，“無?！辈攀菑?fù)雜系統(tǒng)的常態(tài)。

3) 即使是隨機性非常強的混沌系統(tǒng)，也有一定的規(guī)律可循。如果能從宏觀角度發(fā)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的“奇怪吸引子”，就可據(jù)此判斷系統(tǒng)運動的位置和邊界概率，并進一步依靠對規(guī)律和時間的堅守受益。

這期文章我們再討論一下分形問題。

一圖勝千言，數(shù)學(xué)上的分形體現(xiàn)出的復(fù)雜、神秘和美感是讓人印象深刻的。

自然界是分形的，從天體運行、山脈河流、植物生長到晶體構(gòu)成中都能發(fā)現(xiàn)分形現(xiàn)象。分形具有如下一些特征：

1) 結(jié)構(gòu)的自相似性；

2) 簡單的構(gòu)造即可形成精細復(fù)雜的系統(tǒng)；

3) 遞歸實現(xiàn)分形；

4) 難以做到對分形進行準確數(shù)學(xué)描述；

5) 分形結(jié)構(gòu)并非連續(xù)、光滑、可微；

6) ......

1) 能夠以小見大。我們的見識總是有限的，管中窺豹是常態(tài)，分形讓我們有機會從局部出發(fā)去正確認識更大規(guī)模的整體。

2) 歷史不重復(fù)，但總是在押韻。這是馬克.吐恩的名言，可以理解為增加時間維度后的分形。歷史是一面鏡子，可以照出現(xiàn)實，同樣也可以預(yù)示未來。太陽之下無新事，只是換一種方式的元亨利貞循環(huán)。

3) 埋下一粒種子，等待一棵大樹。成長是一種自下而上的分形，不起眼的一粒種子、稚嫩的一棵小苗都可能長成參天大樹，簡單的想法也可能成就一個帝國。