圓中常見的性質(zhì)定理主要有以下幾條：

01 “四等定理”

 “四等定理”主要揭示的是圓中“弧、弦、弦心距和圓心角”之間的數(shù)量關(guān)系：

02 “垂徑定理”

 “垂徑定理”主要揭示的是圓中四組量：過圓心、平分弦、平分弧、垂直于弦之間的關(guān)系：

03 “圓冪定理”

圓冪定理是相交弦定理、割線定理、切割線定理得統(tǒng)一，如下圖，如果交點為P的兩條相交直線與圓O相較于A、B與C、D，則有PA·PB=PC·PD。

特別地，如圖(III)，有PA^2=PC·PD；如圖(IV)，PA和PC此時是圓O的公切線，此時PA=PC。

解法分析：本題的背景是內(nèi)接與圓的四邊形ABCD，根據(jù)AB=BD，可知B為弧ABD的中點，繼而根據(jù)垂徑定理可得BO垂直平分AD，由于題目背景已知了AO:OP的值，因此過點P作AD的垂線構(gòu)造A型基本圖形，可求出BP:PD，再利用圓冪定理，可以求出BP和DP的長度。

求出BD的長度后，就可以得到AB的長度，在Rt△BAE和Rt△AOE中利用勾股定理可以求出OE的長度。利用“直徑所對的圓周角是直角”，可得CD⊥AD，繼而得到OE//CD且OE為△ACD的中位線，求出CD的長度。同時根據(jù)OE的長度，利用勾股定理求出AE的長度，進(jìn)而得到AD的長度。

最后利用△BPC和△APD相似，求出BC的長度。

本題的難點在于構(gòu)造基本圖形求出BD的長度，本題中求BD的長度與2020上海中考25題第(3)問有異曲同工之處。

解法分析：本題的背景是圓背景下與切線、垂徑定理、圓冪定理相關(guān)的幾何證明題。首先根據(jù)已知條件可知CQ為圓O的直徑。由于本題需要求得是OE的長度，因聯(lián)想構(gòu)造與△COE相似的三角形，同時觀察到F為線段DE的中點，而CQ又垂直DQ，因此聯(lián)想延長DQ、CB交于點G，得到Q為DG中點。

繼而利用FQ是△DEG的中位線求出GE的長度，再利用圓冪定理求出GQ的長度，從而求出CQ的長度，利用“同角的銳角三角比相等”或“相似三角形對應(yīng)邊成比例”可以求出OE的長度。

對于圓中的性質(zhì)定理得運用，其難點在于輔助線的添加，因此需要充分挖掘圖形中邊和角之間的數(shù)量關(guān)系，從而添加合適的輔助線，再利用合適的定理進(jìn)行問題解決。