試題內(nèi)容

中華文明源遠(yuǎn)流長(zhǎng),如圖①是漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖形,人們稱之為趙爽弦圖,被譽(yù)為中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰.2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)依據(jù)趙爽弦圖制作了會(huì)標(biāo),該圖有4個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形和中間一個(gè)小正方形,巧妙的證明了勾股定理.
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖①,若直角三角形的直角邊BC=3,斜邊AB=5,則中間小正方形的邊長(zhǎng)CD=     ,連接BD,△ABD的面積為     .
知識(shí)遷移
如圖②,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),連接PA,PB,PC,當(dāng)∠BPC=90° ,BP的長(zhǎng)度為根號(hào)10,△PAB的面積為     .
拓展延伸
如圖③,已知∠MBN=90°,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,交射線BM,BN分別于A,C兩點(diǎn).
(1)已知D為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接CD,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足為點(diǎn)E;在CE上取一點(diǎn)F,使EF=BE;過(guò)點(diǎn)F作GF⊥CD交BC于點(diǎn)G,試判斷三條線段BE,DE,GF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)在(1)的條件下,若D為射線BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為射線EC上一點(diǎn),當(dāng)AB=10,CF=2時(shí),直接寫出線段DE的長(zhǎng).

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

CD=1(勾股之差)，
△ABD的面積為：AD×BC=.

知識(shí)遷移

將弦圖補(bǔ)齊，
△PAB的面積為：BP=5.

拓展延伸(1)

作GH⊥BE于點(diǎn)H，
1.四邊形EFGH是矩形，GF=HE；
2.根據(jù)ASA/AAS證明△BED?△GHB，
DE=BH；
3.BE=BH+HE=DE+GF.
將弦圖補(bǔ)齊，DE為勾，BE為股，GF為勾股之差.

拓展延伸(2)

當(dāng)點(diǎn)F在線段EC上時(shí)

在△BEC中，BC=AB=10，
設(shè)BE=，則EC=+2，
由勾股定理得：
BE+EC=BC，
即：+(+2)=10，
解得：=6，=-8(舍去)，
所以：BE=GH=6，GF=BE-DE=6-DE，
=，即：=，
解得：DE=；

當(dāng)點(diǎn)F在線段EC的延長(zhǎng)線上時(shí)

在△BEC中，BC=AB=10，
設(shè)BE=，則EC=-2，
由勾股定理得：
BE+EC=BC，
即：+(-2)=10，
解得：=8，=-6(舍去)，
所以：BE=GH=8，GF=DE-BE=DE-8，
=，即：=，
解得：DE=32/3；
綜上所述：DE=或32/3.