試題內(nèi)容：

在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,D為中線AE上一點,連接BD,以D為旋轉(zhuǎn)中心,將線段DB逆時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段DP,連接BP、CP.如圖,當(dāng)D為AE中點時,則CP的長為     .

解法分享

孔祥瑞

解法分析

中位線+手拉手相似

取AB的中點F，連接FC、FD.

1.FD為△AEB的中位線
∴FD=BE=.

2.△FBC和△DBP都是等腰直角三角形，
易證：△FBD～△CBP，
∴==，
∴CP=.

倍長中線(平行線)+手拉手相似

1.延長BD到點F，使DF=BD，
易證：AF=BE=3.
(輔助線可替換為：過點A作BC的平行線，交BD的延長線于點F.)

2.△ABC和△FBP都是等腰直角三角形，
易證：△ABF～△CBP，
∴==，
∴CP==.

隱圓(垂線)+手拉手全等

1.以AE為直徑畫圓D，交AB于點F，
連接CD、FD、CF、EF.
易證：圓D經(jīng)過點C，EF⊥AB，
∠CDF=2∠CAB=90°.
(輔助線可替換為：作EF⊥AB于點F.)

2.△FDC和△BDP都是等腰直角三角形，
易證：△FDB～△CDP，
∴CP=BF==.

一線三直角全等+矩形

如左圖，易證△BFD?△DGP，
由于點D和點E都是中點，
易求得：BF=DG=3，F(xiàn)D=GP=，
進(jìn)而計算出：
PN=，CN=，
∴CP=.

按右圖構(gòu)建一線三直角，同理可解.

一線三直角全等+建系

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
依題意求出：點A、B、E、D、F的坐標(biāo)；如圖，易證△BFD?△DGP，
進(jìn)而求出點G、P的坐標(biāo)，
根據(jù)兩點間距離公式求得：
CP=.