數學的世界一方面獨立于現實世界，另一方面又與現實世界有千絲萬縷的聯系。當我們游歷完數學世界，再重新回到現實世界中時，對現實世界就會有很多新的認識。事實上，有些數學語言已經完全融入到我們的生活中了；數學素養(yǎng)越高的人，越會自然地使用更多的數學語言來描述事物和表達觀點。從這個意義上說，數學為我們觀察和理解現實世界提供了一個獨特的窗口。

不過，大眾對數學作為一種素養(yǎng)仍然缺乏認知，而只是把她看作一類知識、學校的一門必修課程。數學在學校的課程體系中的重要地位，不僅沒有提高大眾對數學的認知水平，反倒引發(fā)了“唯分數論”的逆潮，給數學教育的推行制造了更大的障礙。

大眾對數學教育的認知主要來源于數學教學活動，特別是學校的教學活動。在他們看來，數學教學就是具體化的數學教育，所以數學教學是什么樣子，數學教育就是什么樣子。

確實，數學教育在大多數時候都是通過各種形式的數學教學活動來實現的。然而，并非所有的教學活動都具備教育功能，有些教學活動甚至是反教育的。譬如治病要吃藥，但不等于吃藥就是治病，亂吃藥甚至還會送命。

事實上，當下有太多的數學教學就是在“亂吃藥”，不僅沒有實現數學教育的目的，反而增加了學生對數學的誤解和反感。

“亂吃藥”的一個典型例子就是發(fā)明大量的解題口訣，讓學生通過背口訣拿（高）分，硬生生把一個注重思考問題的學科教成了“背多分”的科目。

錯誤的教學活動極大地誤導了大眾對數學教育的認知。大多數學生學的其實都是“偽數學”，可謂“李逵不見了，李鬼滿地跑”。我下面要討論的就是兩個流毒甚廣的認識誤區(qū)。

誤區(qū)一：計算要算得又快又準。

不得不說，這是很有中國特色的認識誤區(qū)?！八愕糜挚煊譁省背３Ｗ鳛槲覀兊脑缙跀祵W教育優(yōu)于其他國家的一個重要證據被反復提及，真是貼金貼到屁股上了。“人肉計算機”或許可以作為實用技術或是表演項目拿出來炫耀，卻不屬于數學教育的范疇。

四則運算是小學階段數學課程的一個重要學習內容，學習目標是掌握這四種基本運算的操作方法和應用。計算的準確率和計算速度是檢驗前一個學習目標的便利手段，因為如果沒有掌握正確的操作方法，就不可能達到很高的準確率，而計算速度快則說明對操作流程的運用得心應手。

“算得又快又準”確實是很完美的結果，完美得讓人挑不出一點毛病。然而正因為完美，它必定是不適合作為普遍標準的——完美的要求從來都只是口號的素材，譬如“五講四美三熱愛”，“毫不利己專門利人”，等等。

事實上，這個要求遠遠超出了四則運算的學習目標，因為即便準確地理解了操作方法，也不等于在具體的場景下能夠達到很高的準確率，至于速度要求更是憑空給學生增加了好幾級的難度。

當然，我反對的是明顯超出學習目標的準確度和速度標準，而不是徹底否定這兩個標準。如果不太復雜的計算題也達不到一半的準確率，或者一個運算要做好幾分鐘，這樣的表現足以說明學生對操作方法的理解存在問題。

為什么小學們都熱衷于追求很高的準確率和計算速度？因為幾乎所有的數學題都涉及計算，一道原本懂得做的題目，如果其中一個計算步驟出錯，就會導致最后的答案錯誤。從某種程度上來說，計算是解題鏈條中最不能短的那塊“板”，所以只要可以加得長一點，老師們就總希望它更長。

為了降低數學解題對計算能力的依賴性，英美等很多國家的學校允許在限定范圍的題目中使用計算器。我認為這是一個很好的解決方案，只是需要防范走向另一個極端，即計算器的濫用。

“算得又快又準”這個認識誤區(qū)，從根本上是源于不了解素養(yǎng)和技能的區(qū)別。簡單地說，素養(yǎng)就是對事物的認知和理解，而技能則是實際操作的能力。如果以足球來打比方，前者近似地對應足球迷，而后者則近似地對應運動員。要求大多數人都能上場踢球，不僅難以實現而且也完全不必要；讓大多數人都能欣賞和討論足球才是正確的方向，而且是可行性很高的目標。

教育是關于素養(yǎng)而不是技能水平的活動，是熏陶和浸潤的過程。而技能水平的提升是一個培訓的過程，并且通常與選拔相關聯。

不過，現代教育由于具有一定程度的強制性，因而就不再是純粹的素養(yǎng)培育，而是與技能培訓形成一定的交疊。但當我們把這種交疊任意擴大，乃至于把教育和培訓混為一談時，就可能完全摧毀了教育的功能，制造出一大批“工具人”。事實上，以選拔為導向的教育體系往往會導致這樣的結果。

在四則運算中，多位數乘除法是復雜度最高的情形。多位數乘除法的計算過程更多地是依靠一個環(huán)環(huán)相扣的操作流程來實現，而不是對運算本身的理解。事實上，所有關于多位數乘除法的算法^[注]都是以解決計算的技術性困難為目標的。因此，學生提高多位數乘除法的計算準確率和熟練度，對他們理解乘除法的意義和性質幾乎沒有什么幫助。另一方面，多位數乘除法的操作流程非常復雜，他們往往需要花費大量的精力去練習。最終的結果是，大多數學生都被這項“唯手熟爾”的任務折磨得精疲力盡。

【注】多位數乘除法的算法形式并不唯一，在不同國家有很多個版本。例如，在《數學的驚奇：意想不到的圖形和數字》一書中，就列舉了美國、德國、瑞典、俄羅斯等國的算法。這些算法的具體形式各不相同。如果加上歷史上出現過的算法，形式就更多了。古代的算法流程通常更繁瑣，更不容易理解。

當我們?yōu)閷W生的“人肉計算”能力而洋洋自得的時候，請不要忘記，如果我們已經偏離了正確的方向，越努力前進，犯的錯誤就越大。

誤區(qū)二：學數學就是不斷地解題。

我猜想，在大多數人的夢里，數學的形象很可能是如巨浪一般撲面而來的數學題。每個主科的學習都需要做題，為什么數學題就會給人一種“題?！钡母杏X呢？

首先，數學的題量確實明顯大于其他科目。即使在同樣的時間段內（比如一個學期）作比較，數學題也比其他科目的題目多。加上數學的學習時間長，總量就更龐大了。相對而言，在“密度”上較為接近數學題的是物理題，但物理課的學習時間還不到數學課的一半，而且有相當比例的學生不讀高中，物理課的學習時間就更是大大縮短了。

其次，數學題的變化非常豐富。其他科目的題目通常都是圍繞特定的知識點提問，譬如對某個概念的理解，兩個對象之間的關系，等等。提問的方式比較固定，而且答案也基本上是“標準”的。因此，做題只是相當于把學過的知識點重新回顧一遍。物理和化學有些題目要求解釋生活現象中的物理和化學原理，表面上看需要一定的分析能力，但大多數只要多背背答案就可以應付。

數學的很多題目卻不是“對知識點提問”，而是要運用知識點（例如某個對象的性質或某個計算公式）去解決問題。題目中如果有一個條件不一樣，解法就可能完全不同。因此，僅僅記住知識點對解題幾乎沒有什么作用。

例如，平行四邊形的基本性質是“對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補”（最后一個性質可以利用第一個性質推出）。如果一道幾何題的圖形中包含平行四邊形，怎樣利用這些性質來解答題目？顯然，把上面幾句話念上一百遍也不能把題目做出來。

數學和其他科目的題目之所以有顯著不同的特點，是因為科目的特性不一樣。其他科目在本質上是“知識型”科目，關注的是學生是否了解在設定范圍內的知識內容；數學則屬于“分析型”科目，注重的是建立不同的知識點之間的關聯性，并且以嚴謹的邏輯來理解這些關聯性。

當然，“知識型”科目并不全是知識性內容，也會涉及對知識內容的解釋和分析，但后者不是學習重點，而且對解析能力的要求不高；同樣地，數學也有知識性內容，但它們占的比重很小，更多地是作為鍛煉分析推理的基礎。

“知識型”科目很容易得到大眾的認可，因為它們讓人感覺不斷在“漲知識”，學習效果立竿見影。而學數學大部分時間都在“因為所以”，折騰半天好像也沒懂多少東西，能拿得出手的大概也就只有加減乘除算得快了。

這種對比反差很像武術中的外功和內功。前者刀槍棍棒和各種拳法套路，熱鬧又好看；后者一天到晚好像就是在發(fā)呆，枯燥而無味。

數學練的“內功”就是分析推理能力和邏輯嚴謹性，它們都是底層的基本素養(yǎng)。不得不說，這些素養(yǎng)在全世界范圍內都嚴重缺失，所以各種詭辯和謬論才得以肆意橫行。

很多人誤認為學數學的目的就是解題，一方面是被表象迷惑了，因為解題確實一直貫穿在數學學習的過程中；另一方面是想當然地把數學和其他科目等量齊觀，按“知識型”科目來理解。這兩方面的原因歸根結底都是沒有理解數學這個學科的特點和數學學習的意義。

如前所述，數學這個科目的學習目標是分析推理能力和嚴謹的邏輯。不同的數學題被設計出來，都是為了測試學生的這些能力可以經受多大的考驗。因此，只有在解題過程中磨練和提高這些能力，才是有效的解題。

現實的情況是，絕大多數的解題都是無效的——題目做完了，能力卻沒有提高。造成這種狀況的原因比較復雜，在這里暫且不展開討論。

請注意，解題是否有效與答案的對錯無關。答案正確并不意味著是有效的解題，而答案錯誤也可以是有效的解題——甚至效果更強。只要在解題的過程中有獨立的思考和清晰的思路，就是有效的解題。錯誤的解答為我們提供了一個很好的機會（有時候還是可遇不可求的），審視自己的分析模式和推理過程存在什么漏洞。

為什么我們要旗幟鮮明地反對題海戰(zhàn)術和解題套路？因為它們與有效解題的目標是完全相悖的。

題海戰(zhàn)術的宗旨是接觸盡可能多的題目，形成類似于“肌肉記憶”的效果。這很明顯是一種“（考試）提分”技巧，而不是以提高能力為目標。有效解題的的核心是“重質不重量”，充分挖掘一道題的解答方法引發(fā)的思考和啟發(fā)。對于已經充分理解了的性質、關聯性、處理技巧等等，無需反復做相關的題目。

有效解題的最高境界是“能不解題就不解題”——讀完題后如果判定沒必要做就直接跳過。另一種等價的表達是，“只做能引發(fā)我思考的題目”。著名數學家華羅庚對于讀書方法也表達過類似的觀點，即只讀作者的思路與他的猜測不一致的書。這種讀書方法不僅能把有限的時間用在讀最“有用”的書上，而且可以避免形成“盡信書”的習慣。

解題套路有很大的迷惑性，因為從表面看來，它們似乎是解題思路的歸納總結。大多數老師都熱衷于傳授解題套路，學生也樂于接受這些套路，覺得它們用起來省時省力，卻不知這些省掉的“時”和“力”才是最不應該省的，因為它們正是有效解題的那個“效”。

更嚴重的問題是，解題套路就像毒癮，一旦沾上了就會越來越依賴它，越來越抗拒獨立思考。如果試圖擺脫它，過程就像戒毒一樣漫長且痛苦，非意志力強大者不能做到。戒毒還可以通過人為干預強行阻斷毒品的供給，這種“思想的毒品”卻無法人為阻斷，只能靠戒“毒”者本人完成“阻斷”的動作。

題海戰(zhàn)術和解題套路只是錯誤的數學教學方式的兩個典型代表。數學教學之所以走上“反數學教育”的歧途，根源還是教育體系中融合了選拔機制，對教育功能形成了很大的沖擊。選拔導向越明顯的教育體系，教學活動的扭曲程度就越大。協調教育和選拔的矛盾沖突，是全世界的教育體系面臨的共同難題。