2023湖南岳陽(yáng)23

解法分析(1)

根據(jù)三角形中位線定理得：
MN=AC，MN∥AC.

解法分析(2)①

方法1：特殊三角形

在Rt△ABE中，
sin∠BAE===，
∴∠BAE=30°，
∴∠MBE=60°.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
BN=BF，∠NBF=∠MBE=60°，
∴△BNF是等邊三角形，
進(jìn)而證明：CN=FN，
∴∠BCF=∠BNF=30°.

方法2：隱圓(定弦定角)

在Rt△ABE中，
sin∠BAE===，
∴∠BAE=30°.
∵∠ACB=∠AFB=45°，
∴點(diǎn)A、B、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BCF=∠BAF=30°.

解法分析(2)②

含特殊角的三角形

★在△ABD中，
∠ABD=45°，∠BAD=30°，
作DG⊥AB于點(diǎn)G.
設(shè)BG=DG=，則AG=4-，
∵tan∠BAD=，
∴=，
∴=2-2，
∴BD==2-2，
∴CD=4-(2-2)=6-2.

★在△ACD中，
∠ACD=45°，∠CAD=60°，
作DG⊥AC于點(diǎn)G.
設(shè)CG=DG=，則AG=4-，
∵tan∠CAD=，
∴=，
∴=6-2，
∴CD==6-2.

解法分析(3)

標(biāo)準(zhǔn)圖

1.作MN邊上的高BG；
2.以點(diǎn)B為圓心，BG長(zhǎng)為半徑畫圓B；
3.以BC為直徑畫圓N，兩圓交于點(diǎn)H；
4.依題意補(bǔ)全圖形.

情況1：∠BAE+∠ABF=180°.
隱圓-對(duì)角互補(bǔ)

根據(jù)中位線定理易證：
∠BMN=∠BAC.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
∠BEF=∠BMN=∠BAC.
∴∠BAC+∠BEC=∠2+∠BEC=180°，
∴點(diǎn)A、B、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠1=∠2，
易證：∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥BF，
∴∠BAE+∠ABF=180°.

情況2：∠BAE=∠ABF.
隱圓-定弦定角

根據(jù)中位線定理易證：
∠BMN=∠BAC.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
∠BEF=∠BMN=∠BAC.
∴點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，
∴∠1=∠2，
易證：∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥BF，
∴∠BAE=∠ABF.