   在函數(shù)和幾何相關(guān)的綜合題中，我們常常會遇到“分類討論”的問題，怎么分類才能確保不遺漏？當遇到多種情況的時候又該如何選擇分類路徑，這是我們這一節(jié)中需要討論和探討的問題。 所謂的分類討論，就是在解決問題時，根據(jù)解題需要對問題進行科學、合理的分類，然后逐類進行討論，從而使得問題得到圓滿解決。 數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因單子有如下幾方面： (1)由概念定義引起的討論。比如絕對值、平方根、一元二次方程的實根個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等； (2)由運算的性質(zhì)、運算的發(fā)展引起的討論。 (3)由圖形位置的不確定性引起的討論。有些幾何問題，根據(jù)題設(shè)不能只用一個圖形表達題意，必須仔細、全面地考慮各種可能的不同位置關(guān)系，然后分類討論，再逐一加以解決。 (4)在問題中含有字母參數(shù)引起的討論。 (5)對于問題情境比較復(fù)雜的情況需要分類討論。   教材中與幾何定理相關(guān)的分類討論問題   對于教材中與幾何定理相關(guān)問題的分類討論隸屬于上述分類中“由圖形位置的不確定性引起的討論”： 諸如三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理的證明. 如圖1，在△ABC中，如果將直線l保持與邊BC平行而進行移動，分為以下三種情況：①l與邊AB、AC分別交于點D、E；②l與邊AB、AC的延長線分別交于點D、E；③l與邊AB、AC的反向延長線分別交于點D、E.分別對這三種情況進行證明，最后歸納得出“三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理”.其中的證明過程也滲透著類比推理和演繹推理思想.
諸如圓周角的性質(zhì)定理的證明. 比如在證明圓周角定理時，我們將圓周角的兩邊所處的位置分為三種情況：角的一邊落在直徑上；角的兩邊在某一直徑的兩側(cè)；角的兩邊在某一直徑的同側(cè)，如下表所示.分別對這三種情況進行證明，最后歸納出“圓周角定理對任意圓周角都成立”的結(jié)論.
諸如四邊形的分類問題.(來源于顧泠沅《數(shù)學思想方法》) 以下分類雖然不是一個嚴格的科學分類，如四邊形中除了平行四邊形、梯形外，還有既非平行四邊形亦非梯形的一般四邊形，但是，它確實從紛繁復(fù)雜的四邊形中梳理出一個有序的結(jié)構(gòu)，有利于更好地記憶與四邊形相關(guān)的知識。
 教材中與代數(shù)計算相關(guān)的分類討論問題 ①由概念定義引起的討論如下二例所示： 諸如一元二次方程根的判別式相關(guān)的內(nèi)容. 諸如與“去絕對值”相關(guān)的代數(shù)計算的相關(guān)內(nèi)容.
②由“問題中含有字母參數(shù)引起的討論”如下例所示：諸如解含字母系數(shù)的方程： 對于復(fù)雜問題的分類討論和路徑選擇問題 在很多復(fù)雜情境中，不單單涉及一種類型的分類討論問題，此時又該如何選擇呢？ 問題1：直角三角形+相似三角形的存在性問題
如上例所示，本題涉及了二次函數(shù)與動點背景下與直角三角形、相似三角形存在性相關(guān)的問題，此時的分類討論遇到了一個難點：到底是先討論直角三角形的存在性還是相似三角形的存在性？對于本題而言，先確定了直角三角形，即確定了點P的位置，才能對于相似三角形的存在性進行討論。 所以先討論∠PCD或∠PDC=90°的情況，再討論相似的情況，此時構(gòu)造一線三直角模型，再利用圖中的兩組相似實現(xiàn)線段比的轉(zhuǎn)化： 情況1：∠DCP=90°的情況
情況2：∠CDP=90°的情況
問題2：點在線段及其延長線+三角形的存在性問題 在壓軸題中，我們常常會遇到“點在線段或其延長線(折線)上的分類討論問題”，此類問題的典型特征是，如“點P在直線AB上”或“點P在射線AB上”或“當點P在線段AB上”或“點P落在線段AB或線段BC上”，當出現(xiàn)此類關(guān)鍵詞時，要有“分類討論”的意識，根據(jù)點的不同位置畫出不同的圖形，再進行相應(yīng)的幾何證明或幾何計算。 兩張圖形雖然不同，但是邊與邊、角與角之間的關(guān)系往往沒有改變，改變的是線段之間的和差關(guān)系。從特殊到一般，這也是我們發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的一種常用方法。
對于此類問題，我們先對點的位置進行分類，然后再進行進一步的分類討論和計算，這樣在邏輯思考順序和計算上更加完善。 |
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