摘 要：在材料學(xué)中應(yīng)變硬化指數(shù)的物理意義是反映材料均勻變形的能力。文中通過研究材料的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線和相關(guān)公式，推導(dǎo)了應(yīng)變硬化指數(shù)與材料的屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度之間的關(guān)系和公式，并介紹了如何使用MS Excel的計(jì)算功能求解材料的應(yīng)變硬化指數(shù)n值的方法。

0 引 言

材料的應(yīng)變硬化是指由于材料的塑性變形引起的硬度和強(qiáng)度增加的度量。應(yīng)變硬化指數(shù)值越大，材料不易進(jìn)入分散失穩(wěn)（即在單調(diào)拉伸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線中的負(fù)荷值最高點(diǎn)處，此處材料發(fā)生失穩(wěn)而頸縮），材料的應(yīng)變強(qiáng)化的能力強(qiáng)，即把變形從大應(yīng)力處向小應(yīng)力處轉(zhuǎn)移的能力。應(yīng)變硬化指數(shù)隱含的物理意義是整個變形區(qū)域上應(yīng)變分布的均勻性。應(yīng)變硬化指數(shù)一般用字母n表示，對于理想的彈性體，n=1；理想的塑性體，n=0；工程上常用的退火低碳鋼，n≈0.2；大多數(shù)金屬材料，n=0.1～0.5。一般來說隨著材料的強(qiáng)度增加，n值減少[1-3]。對于一個工程構(gòu)件來說，假若應(yīng)變硬化指數(shù)低，那么很可能會在均勻變形量還很小的時候過早發(fā)生局部變形而出現(xiàn)頸縮。因此高強(qiáng)度的材料為了避免材料發(fā)生軟化或者過早形成疲勞裂紋，一般要求靜拉伸時，n值不低于0.1。如上所述，應(yīng)變硬化指數(shù)n值的高低表示材料發(fā)生縮頸前，依靠硬化使材料均勻變形能力的大小。

應(yīng)變硬化指數(shù)一般要通過特定的試驗(yàn)測量并計(jì)算得到[4-7]。為了能快速直觀地得到某種金屬材料的應(yīng)變硬化指數(shù)值，本文通過一般的公式推導(dǎo)，研究應(yīng)變硬化指數(shù)與單調(diào)拉伸抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度的關(guān)系，并介紹了如何借助MS Excel的強(qiáng)大計(jì)算功能求得相應(yīng)的應(yīng)變硬化指數(shù)n值的方法和過程。

圖1 工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線和真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

1 工程應(yīng)力-應(yīng)變與真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系

工程中常通過材料試樣的拉伸試驗(yàn)得到材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線[8]，如圖1所示。

材料單調(diào)拉伸試驗(yàn)得到的名義應(yīng)力S等于載荷F除以試樣的原始截面面積A0，其名義應(yīng)變e等于試樣伸長量Δl除以原始長度l0（試樣的原始標(biāo)距），數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：F為試樣拉伸載荷；A0為試樣原始面積；Δl為試樣的變化伸長量；l0為試樣（標(biāo)距）原始長度。

應(yīng)力的變化是以不變的原始截面積A0來計(jì)量，而應(yīng)變是以試樣的原始標(biāo)距l(xiāng)0來度量。但實(shí)際上在變形過程的每一瞬時試樣的截面積A和長度l都在變化，這樣，就不能真實(shí)反映材料在拉伸變形過程中應(yīng)力和應(yīng)變的變化，而必須采用真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線。真實(shí)應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)變的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

當(dāng)試樣拉伸至l長時，假設(shè)試樣長度有一微小增量dl，則應(yīng)變增量為

對式（5）由l0至l積分，得到真實(shí)應(yīng)變

式中：A為試樣拉伸過程中的瞬時面積；l為試驗(yàn)拉伸過程的總長度，l=l0+Δl。

試樣拉伸過程中，在發(fā)生頸縮前，根據(jù)體積不變的假設(shè)：

聯(lián)立式式（1）、式（2）、式（3）、式（5）、式（6），可得：

圖2 材料拉伸負(fù)荷（力）-伸長曲線圖

式（7）和式（8）為真實(shí)應(yīng)力、真實(shí)應(yīng)變與名義應(yīng)變、名義應(yīng)力的關(guān)系式。

2 屈服強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度的關(guān)系

考慮到一些金屬在拉伸試驗(yàn)時無明顯的屈服現(xiàn)象，本文統(tǒng)一以0.2%殘留變形的應(yīng)力作為屈服強(qiáng)度來進(jìn)行相關(guān)的推導(dǎo)和計(jì)算。

試樣在拉伸試驗(yàn)時，施加載荷（力）到試樣被拉斷，由載荷數(shù)據(jù)與試樣伸長量數(shù)據(jù)，可以得到如圖2所示的載荷（力）-伸長曲線，可以直接得到的數(shù)據(jù)是屈服載荷F0.2和抗拉載荷Fb，由此可計(jì)算得到的是名義屈服強(qiáng)度和名義抗拉強(qiáng)度。

名義屈服強(qiáng)度S0.2的意義是，在伸長軸上找到一點(diǎn)，其值大小等于標(biāo)距伸長的0.2%，從這點(diǎn)引一條與彈性段平行的直線，與負(fù)荷-伸長曲線的交點(diǎn)對應(yīng)的負(fù)荷值F0.2，除以試樣原始面積得到的值即為S0.2，即

式中，r0表示拉伸試樣原始直徑（假設(shè)拉伸試樣為圓棒型）。

胡克定律指出，當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比[9-11]，S=E·e（E為材料的彈性模量）?？傻茫?/p>

材料拉伸的負(fù)荷（力）-伸長曲線的特點(diǎn)是變形初期符合胡克定律，負(fù)荷（力）與伸長成正比，表現(xiàn)為直線關(guān)系，即所謂的彈性段?？梢愿鶕?jù)點(diǎn)斜式，得到過點(diǎn)（0.2%× l，0）的直線方程（見圖2所示）：

整理得

再由ε=ln(1+e)，經(jīng)過變換，得

注意，式（14）中等號左邊的符號e為名義應(yīng)變符號，等號右邊的底數(shù)e為自然底數(shù)e=2.7182818…。

將式（14）代入式（13）得：

式（15）經(jīng)變換得

式（16）兩邊取自然對數(shù)得

根據(jù)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線由彈性階段進(jìn)入到均勻塑性變形階段，在單調(diào)拉伸過程中，試樣由屈服到發(fā)生頸縮的形變強(qiáng)化規(guī)律，滿足冪乘硬化定律的Hollomom方程式[12-15]：

式中：σ為真應(yīng)力；ε為真應(yīng)變；K為強(qiáng)度系數(shù)；n為硬化指數(shù)。將式（17）代入到式（18）中，得到：

式中：σ0.2為真實(shí)屈服強(qiáng)度（真實(shí)屈服應(yīng)力）。

又因?yàn)?/p>

聯(lián)立式（20）和式（21），整理后得

式（22）就是名義屈服強(qiáng)度S0.2、單調(diào)拉伸強(qiáng)化系數(shù)K、單調(diào)拉伸硬化指數(shù)n的關(guān)系式。

抗拉強(qiáng)度的定義Sb是材料在拉伸過程中所承受的最大負(fù)荷Fb除以試樣的原面積A0，即：

由負(fù)荷-伸長曲線圖（圖2）可知，F(xiàn)b是曲線上的負(fù)荷最高點(diǎn)，在該點(diǎn)上的負(fù)荷-伸長曲線的斜率就等于零，即：

由于F=σ·A，可得dF=σ·dA+A·dσ=0，

根據(jù)塑性變形時，體積不變原理，dV=d（A·l）=A·dl+ l·dA=0

整理得：

聯(lián)立式（25）和式（26），得：

整理得：

這就是頸縮（或塑性失穩(wěn)）的條件：當(dāng)硬化速率等于該處的真應(yīng)力時就開始頸縮。

再結(jié)合冪乘定律σ=K·εn，求導(dǎo)得

聯(lián)立式（27）和式（28），化簡后整理得到在塑性失穩(wěn)頸縮瞬間：

式中，εb為發(fā)生頸縮時（瞬間）的應(yīng)變。

負(fù)荷-伸長曲線圖（圖2）上的負(fù)荷最高點(diǎn)Fb，即發(fā)生頸縮瞬間的真實(shí)應(yīng)力為

式中:σ′b為頸縮瞬間的真實(shí)應(yīng)力強(qiáng)度;Ab為頸縮瞬間的橫截面積。

由體積不變原理：A0·l0=Ab·lb，得名義抗拉強(qiáng)度：

聯(lián)立式（29）、式（30）、式（31）和式（32）整理后得到

式（33）就是名義抗拉強(qiáng)度Sb、單調(diào)拉伸強(qiáng)化系數(shù)K、單調(diào)拉伸應(yīng)變硬化指數(shù)n的關(guān)系式。其中式（33）中的底數(shù)e為自然底數(shù)e=2.7182818…。

聯(lián)立式（22）和式（33），并整理得：

式（34）就是推導(dǎo)出來應(yīng)變硬化指數(shù)n與名義抗拉強(qiáng)度Sb和名義屈服強(qiáng)度S0.2的關(guān)系式。式中底數(shù)e為自然底數(shù)e=2.7182818…。

圖3 MS Excel計(jì)算求解界面示意圖

3 單調(diào)硬化指數(shù)n的求解過程和方法

前面我們分別推導(dǎo)出了單調(diào)拉伸過程中名義抗拉強(qiáng)度Sb與名義屈服強(qiáng)度S0.2與應(yīng)變硬化指數(shù)的關(guān)系公式。聯(lián)立上述式（34），進(jìn)行變換處理：

這樣就轉(zhuǎn)換成方程，即求硬化指數(shù)值n的適當(dāng)值，使得等式兩邊的值相等（名義抗拉強(qiáng)度Sb與名義屈服強(qiáng)度S0.2可由拉伸試驗(yàn)獲得）。適當(dāng)對該方程進(jìn)行移項(xiàng)處理后得方程式：

這類方程比較難以求解，本文介紹如何使用MS Excel自帶的規(guī)劃求解器進(jìn)行該方程的計(jì)算求解方法。如圖3所示，打開MS Excel表后按表格中的內(nèi)容填寫相關(guān)的注釋。

1）在B3單元格中輸入單調(diào)拉伸試驗(yàn)中得到的名義抗拉強(qiáng)度值Sb；

2）在B4單元格中輸入單調(diào)拉伸試驗(yàn)中得到的名義抗拉強(qiáng)度值S0.2；

3）在B5單元格中輸入材料的彈性模量E；

圖4 調(diào)出規(guī)劃求解功能

圖5 規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置對話框

4）在B6單元格中輸入“=B4/B3”，計(jì)算屈強(qiáng)比；

5）在B7單元格中輸入硬化指數(shù)n的初始值，根據(jù)文獻(xiàn)，硬化指數(shù)n一般在0～1之間；

6）在B8單元格中輸入“=B6*B7^B7/EXP(B7)”，即中間值M1

7）在B9單元格中輸入“=1/1.002*(LN(B4/206000+ 1.002))^B7”，即中間值M2：

8）在B10單元格中輸入“=B8-B9”，即M1-M2的差值；

9）在B11單元格中輸入“=B3*EXP(B7)/B7^B7”，求K值，即K=

具體求解操作過程如下：

設(shè)置規(guī)劃求解條件，如圖4所示，數(shù)據(jù)→規(guī)劃求解，彈出如圖5所示的對話框。如果沒看到“規(guī)劃求解”項(xiàng)，需要加載MS Excel的分析工具庫。在圖5對話框中設(shè)置規(guī)劃求解條件：

設(shè)置目標(biāo)單元格，選擇$B$10單元格，將其目標(biāo)值設(shè)定為0；

設(shè)置可變單元格，選擇$B$7單元格，即n值可進(jìn)行變化，并設(shè)置其約束條件，通過“添加”按鍵，對$B$7單元格設(shè)置約束，即n值為0～1之間變化，見圖5中的紅色“6”。

使用“非線性GRG”求解方式，點(diǎn)擊求解，即可求出所找的硬化指數(shù)n值，本例中計(jì)算得n=0.081 381。

“規(guī)劃求解”是MS Excel中一個強(qiáng)大的計(jì)算分析工具，可通過更改用于計(jì)算目標(biāo)單元格的單元格中的值，查找目標(biāo)單元格的最優(yōu)值。

4 結(jié)論

1）本文通過推導(dǎo)，建立了名義屈服強(qiáng)度S0.2和名義抗拉強(qiáng)度Sb與單調(diào)拉伸強(qiáng)度系數(shù)K和單調(diào)拉伸硬化指數(shù)n的關(guān)系式。

2）在已知材料在單調(diào)拉伸試驗(yàn)時的（名義）屈服強(qiáng)度S0.2和（名義）抗拉強(qiáng)度Sb的條件下，可求得材料的硬化參數(shù)K值和應(yīng)變硬化指數(shù)n值，并介紹了如何運(yùn)用MS Excel中“規(guī)劃求解”的計(jì)算功能來求解硬化參數(shù)K值和n值的方法和步驟。

3）本文推導(dǎo)的關(guān)系式，對于一些試驗(yàn)條件不足的工廠和研究部門，通過材料的拉伸試驗(yàn)得到的名義屈服強(qiáng)度S0.2和名義抗拉強(qiáng)度Sb，能夠快速地估算材料的K值和n值，并起到一定的指導(dǎo)作用。

文章引用：鄭學(xué)斌,尚鵬舉.應(yīng)變硬化指數(shù)與屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度關(guān)系的研究[J].機(jī)械工程師,2017,(05):102-105.