【原】為什么愛因斯坦場(chǎng)方程是物理學(xué)中最重要的方程？探究史瓦西解背后的數(shù)學(xué)原理

老胡說科學(xué) 2024-12-22 發(fā)布于江蘇

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這絕對(duì)是你一生中將要學(xué)習(xí)的最重要的方程之一。左邊表示流形的曲率，右邊表示其中物質(zhì)的分布。它被稱為愛因斯坦方程或愛因斯坦場(chǎng)方程，因?yàn)樗恢挂粋€(gè)方程。

這個(gè)流形通常被描述為我們周圍的時(shí)空。

流形就是一種看起來像平坦的“表面”，但實(shí)際上可能是彎曲的。它的關(guān)鍵特點(diǎn)是：局部看像平面，但整體可能是彎的。例如，地球表面是一個(gè)彎曲的二維流形，但當(dāng)你站在上面時(shí)，它感覺是平坦的。在我們文章的語(yǔ)境中，時(shí)空是一個(gè)四維流形，描述了一切發(fā)生的舞臺(tái)。

從數(shù)學(xué)的角度來看，相對(duì)論僅僅是微分幾何、張量計(jì)算、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、李群和李代數(shù)、泛函分析以及偏微分方程的結(jié)合。但我們將在這里關(guān)注這個(gè)非線性偏微分方程的一個(gè)特定解，即施瓦西解。

或者

這個(gè)偏微分方程的一個(gè)解是一個(gè)度規(guī)張量，它定義了流形或時(shí)空的幾何。一個(gè)偏微分方程可以非常簡(jiǎn)單地看作一個(gè)自動(dòng)售貨機(jī)：你輸入一些東西（通常是錢），它輸出一些東西（通常是你想要的汽水罐）。就像我們感興趣的這個(gè)偏微分方程一樣，輸入是它的一個(gè)正確數(shù)學(xué)解，輸出可能是對(duì)應(yīng)流形中的幾何結(jié)果。在廣義相對(duì)論的具體案例中，這個(gè)流形是四維的，其中三維代表空間，一維代表時(shí)間。所以，愛因斯坦方程的每一個(gè)輸入或解都會(huì)給出一個(gè)不同的時(shí)空幾何。

施瓦西解只是這些可能輸入中的一個(gè)，也是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的。我們不會(huì)證明這個(gè)度規(guī)實(shí)際上是愛因斯坦場(chǎng)方程的解，因?yàn)橛?jì)算非常非常冗長(zhǎng)，但我們將分析和解釋每一項(xiàng)。不過在這之前，讓我們先看一下施瓦西用于找到這個(gè)特定解的假設(shè)。

第一個(gè)是假設(shè)：球?qū)ΨQ性。流形被假定在旋轉(zhuǎn)群 SO(3)下是不變的。SO(3)是三維空間中所有可能旋轉(zhuǎn)的集合。

想象圍繞任意軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)球，SO(3) 描述了你可以做到而不改變球的大小或形狀的所有方式。這意味著度規(guī)在任何對(duì)應(yīng)于三維旋轉(zhuǎn)的變換下都不變，度規(guī)系數(shù)只能依賴于徑向坐標(biāo) r，

換句話說，距離中心的距離，除了角度部分，它包括了球坐標(biāo)系統(tǒng)中由 sin?θ^2引起的依賴。

第二個(gè)假設(shè)是沒有旋轉(zhuǎn)。要討論這個(gè)，我們需要首先定義角動(dòng)量。角動(dòng)量是物體的自旋動(dòng)量，一個(gè)旋轉(zhuǎn)的陀螺或行星具有角動(dòng)量。這是物體保持旋轉(zhuǎn)的方式，除非有東西阻止它。在這個(gè)度規(guī)中，角動(dòng)量為零，這可以通過矩陣中所有非對(duì)角線上的項(xiàng)為零來體現(xiàn)。如果情況不是這樣，就會(huì)有一種被稱為坐標(biāo)系拖拽的現(xiàn)象，

這在著名的克爾解（Kerr Solution）中是存在的。

第三個(gè)假設(shè)是徑向?qū)ΨQ性。這是球?qū)ΨQ性的結(jié)果，意味著度規(guī)的徑向部分只依賴于r的大小，而不是方向。

第四個(gè)假設(shè)是真空。這可能聽起來有些奇怪，因?yàn)檎婵帐菦]有物質(zhì)參與的情況。流形的球形幾何形狀是由它中心的天體（比如恒星或行星）的球形特性直接決定的。也就是說，流形的外部彎曲（比如時(shí)空的彎曲）是因?yàn)橹行奶祗w本身是球形的，流形的幾何特性反映了中心天體的對(duì)稱性和形狀。簡(jiǎn)單來說，中心天體的形狀“塑造”了周圍流形的幾何結(jié)構(gòu)。

因此，重要的是要注意，這個(gè)度規(guī)解僅描述了物體外部的曲率，而不是內(nèi)部的曲率。從數(shù)學(xué)上來說，能量動(dòng)量張量 T_μν在每一點(diǎn)上都為零，這種情況極大地簡(jiǎn)化了愛因斯坦場(chǎng)方程。在微分幾何中，我們說時(shí)空是“Ricci 平坦”的。

最后一個(gè)假設(shè)是沒有電荷。結(jié)果是度量 g_μν 純粹是引力的，沒有電磁場(chǎng)張量 F_μν。

讓我們?cè)俅慰纯词┩呶鹘獾耐暾姹尽?/span>

理解在微分幾何中，度規(guī)分量決定了距離、角度和因果結(jié)構(gòu)非常重要。當(dāng)度規(guī)張量 g_μν只有對(duì)角線項(xiàng)（如施瓦西解）時(shí)，它意味著某些對(duì)稱性和數(shù)學(xué)、物理上的簡(jiǎn)化。具有非零非對(duì)角線項(xiàng)的情況反映了更復(fù)雜的現(xiàn)象，比如旋轉(zhuǎn)的靜態(tài)時(shí)空或附加場(chǎng)的存在（如電磁場(chǎng)）。

施瓦西解作為一個(gè)對(duì)角線度量表明坐標(biāo)基向量彼此正交。滿足愛因斯坦場(chǎng)方程并且是對(duì)角線的另一種度規(guī)是用于宇宙學(xué)的佛里德曼-羅伯遜-沃爾克度規(guī)，它假設(shè)宇宙是均勻且各向同性的。如果有非零非對(duì)角線項(xiàng)，坐標(biāo)基向量將不再彼此正交。例如，克爾解具有一個(gè)非零項(xiàng)，這引入了時(shí)間和角動(dòng)量分量之間的耦合。這種度量描述了一個(gè)旋轉(zhuǎn)的黑洞。